高考数学 热点题型和提分秘籍 专题09 指数函数 理（含解析）

专题九指数函数【高频考点解读】1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4.知道指数函数是一类重要的函数模型．【热点题型】题型一指数函数性质的考查例1、求下列函数的定义域和值域．(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－|x＋1|；(2)y＝eq\f(2x,2x＋1)；(3)y＝.【提分秘籍】解决与指数函数的性质问题时应注意(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断．(2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用．【举一反三】已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【热点题型】题型二指数函数的图象及应用例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【答案】(1)A(2)[－1,1]【提分秘籍】1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：y＝ax与y＝|ax|是同一函数的不同表现形式．函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．【举一反三】当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是下图中的()【热点题型】题型三分类讨论思想在指数函数中的应用例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．【提分秘籍】分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a>1或0<a<1两种情况讨论．本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a取值不定故要分两种情况进行讨论．【举一反三】若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.【高考风向标】1．（·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是()图1­1ABCD2．（·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.3．（·辽宁卷）已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因为0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.4．（·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.5．（·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y36．（·陕西卷）下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是()A．f(x)＝xeq\f(1,2)B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x7．（·陕西卷）已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________．【答案】eq\r(10)【解析】由4a＝2，得a＝eq\f(1,2)，代入lgx＝a，得lgx＝eq\f(1,2)，那么x＝10eq\f(1,2)＝eq\r(10).8．（·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))x<－1或x>eq\f(1,2)，则f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<eq\f(1,2)，故－1<10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2.9．（·湖南卷）设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.10．（·浙江卷）已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lgx＋lgy，∴2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx2lgy，故选择D.【随堂巩固】1．已知a<eq\f(1,4)，则化简eq\r(4,4a－12)的结果是()A.eq\r(4a－1) B．－eq\r(4a－1)C.eq\r(1－4a) D．－eq\r(1－4a)【答案】C【解析】eq\r(4,4a－12)＝eq\r(4,1－4a2)＝(1－4a)eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\r(1－4a).2．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则()A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)3．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则taneq\f(aπ,6)的值为()A．0 B.eq\f(\r(3),3)C.1 D.eq\r(3)4．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图像可能是()5．给出下列结论：①当a<0时，(a2)eq\s\up15(eq\f(3,2))＝a3；②eq\r(n,an)＝|a|(n>1，n∈N＋，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)eq\s\up15(eq\f(1,2))－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠eq\f(7,3)}；④若2x＝16,3y＝eq\f(1,27)，则x＋y＝7.其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．②④6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为()A.eq\f(1,2) B．2C．4 D.eq\f(1,4)7．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．若x>0，则(2xeq\s\up15(eq\f(1,4))＋3eq\s\up15(eq\f(3,2)))(2xeq\s\up15(eq\f(1,4))－3eq\s\up15(eq\f(3,2)))－4xeq\s\up15(－eq\f(1,2))(x－xeq\s\up15(eq\f(1,2)))＝________.【答案】－23【解析】原式＝(2xeq\s\up15(eq\f(1,4)))2－(3eq\s\up15(eq\f(3,2)))2－4xeq\s\up15(1－eq\f(1,2))＋4xeq\s\up15(－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝4xeq\s\up15(eq\f(1,2))－33－4xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋4＝－23.9．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a＝________.10.若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a11．已知2x2＋x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2，则函数y＝2x－2－x