人教版九年级数学下册《实际问题与反比例函数（第1课时）》示范教学设计

实际问题与反比例函数（第1课时）教学目标1．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．2．能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数图象、性质解决问题的综合能力．3．能够根据实际问题确定自变量的取值范围．教学重点能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数图象、性质解决问题的综合能力．教学难点能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数图象、性质解决问题的综合能力．教学过程知识回顾1．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？【答案】（1）设：设反比例函数的解析式为(k≠0)．（2）列：把已知x与y的一对对应值同时代入(k≠0)中，得到关于k的方程．（3）解：解方程，求出k的值．（4）写：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．2．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有哪些性质？【答案】（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．【设计意图】回顾学过的反比例函数的相关知识，为下文讲解实际问题与反比例函数作铺垫．新知探究一、新课导入【问题】拉面又叫甩面、扯面、抻面，是中国城乡独具风味的一种传统面食．如果要把体积为15cm3的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y（单位：cm）关于面条粗细（横截面积）S（单位：cm2）的函数关系式吗？【师生活动】教师先引导学生写出答案，然后追问：你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的实例吗？【答案】【设计意图】让学生体会生活中的实际问题与反比例函数的紧密联系，为下文展开实际问题与反比例函数的探究作铺垫．二、典例精讲【例1】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示．设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（）．A． B．C． D．【师生活动】教师引导学生分析解题思路和需要注意的地方：先根据面积公式确定函数的解析式，再由自变量的取值范围确定图象的端点，注意实际问题中的反比例函数的图象可能只是双曲线的一部分．【答案】A【解析】因为剪去的两个小矩形全等，所以它们的面积都是10，即xy＝10，故，所以y是x的反比例函数．由于2≤x≤10，因此函数图象应是双曲线中处在第一象限的分支上的一部分，从而排除选项B，D．当x＝2时，y＝5；当x＝10时，y＝1，故函数图象的两个端点为(2，5)，(10，1)．故选A．【设计意图】通过例1，让学生掌握几何图形中反比例函数问题的解决方法．【例2】市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？【师生活动】学生代表板书作答，教师和其他学生补充纠正，然后教师讲解知识点．【答案】解：（1）根据圆柱的体积公式，得Sd＝104，∴S关于d的函数解析式为．（2）把S＝500代入，得500＝，解得d＝20（m）．如果把储存室的底面积定为500m2，施工时应向地下掘进20m深．（3）根据题意，把d＝15代入S＝，得S＝，解得S≈666.67（m2）．当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m2．【新知】用反比例函数解决实际问题的一般步骤：（1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式给出），并理清常量与变量之间的关系．（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示．（3）列：由题目中的已知条件列出方程（组），求出待定系数．（4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范围．（5）解：运用函数的解析式和相关性质解决实际问题．【设计意图】通过例2，让学生分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数性质解决问题的能力．【例3】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？【师生活动】教师引导学生分析：根据“平均装货速度×装货天数＝货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度＝货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式．【答案】解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，∴v关于t的函数解析式为．（2）把t＝5代入，得（吨/天）．从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．【归纳】建立反比例函数的解析式的两种方法：（1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为，然后求出k的值；（2）列方程法：若题目所给的信息中变量之间的函数关系不明确，则通常列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，通过变形得到反比例函数的解析式．【设计意图】通过例3，让学生分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，了解建立反比例函数的解析式的两种方法．【例4】如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L（1L＝1dm3）的圆锥形漏斗．（1）漏斗口的面积S（单位：dm2）与漏斗的深d（单位：dm）有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积为100cm2，那么漏斗的深为多少？【师生活动】小组讨论后学生代表作答，教师补充．【答案】解：（1）由题意得，故．（2）∵漏斗口的面积为100cm2，100cm2＝1dm2，∴，∴d＝3dm．【新知】常见的典型数量关系：涉及的量反比例函数的解析式路程s（定值）、时间t、速度v或三角形的面积S（定值）、三角形的底边a、该底边上的高h或矩形的面积S（定值）、矩形的长a、宽b或圆锥的体积V（定值）、圆锥的底面积S、高