2025中考数学复习：旋转（解析版）

中考数学复习专题一旋转

(绕某点旋转)

一、选择题

1.平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(6,1),将04绕原点按逆

时针方向旋转90。得则点B的坐标为()

A.(-^,1)B.(-1,>/3)C.(1,>/3)D.(73,1)

【分析】先根据旋转的性质作图，利用图象则可求得点B的坐标.

【解析】过点B作尤轴于点C,过点B作3PLy轴于点F,

•・•点A的坐标为(Ml),将绕原点按逆时针方向旋转90。得

:.BC=,CO=BF=1,

.••点B的坐标为：卜1,⑹.

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是运用数形结合思想得出BC,C。的

长.图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的

坐标.

2.如图，点P(L4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q,则点Q的坐

标是()

A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,-1)D.(-4,1)

【分析】根据旋转的方法，作图即可确定旋转以后点的坐标.

【解析】点的坐标为(L4),根据旋转中心0,旋转方向顺时针，旋转

角度90。，画图，

从而得Q点坐标为(4,-1).

故选：C.

【点睛】本题涉及图形变换，旋转，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，

旋转角度，通过画图求解.

3.如图，在平面直角坐标系中，I2ABC中点A的坐标是(3,4),把团ABC绕原点

。逆时针旋转90。得到A!B'C,则点A'的坐标为()

A.(4,—3]B.(—4,3)C.(—3,4)D.(—3,—4]

【分析】连接以，OA',过点A作AEBJx轴于E,过点4作轴于F，根据

旋转的性质可得。1=04,利用同角的余角相等求出=然后利用“角

角边"证明I2A0E和OAB全等，根据全等三角形对应边相等可得

OF=AE,A'F=OE,然后写出点4的坐标即可.

【解析】解：如图，连接(M,OA,过点A作AEElx轴于E,过点4作AFA轴

于尸，则ZAEO=/OE4'=90。，

r点A的坐标是(3,4),

:、AE=4,OE=3.

vOA绕坐标原点0逆时针旋转90。至0A,

f

.\OA=OA,ZAOA=90°9

VZAOF+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

ZOAE=ZAOF,

在A4OE和Q4/中，

ZOAE=NA'OF

-ZAEO=ZOFA',

OA=OA'

AOEFRAAS'）,

；.OF=AE=4,AF=OE=3,

.••点4的坐标为（Y,3）.

故选：B

【点睛】本题考查了坐标与图形变化流转，熟记性质并作辅助线构造出全等三

角形是解题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，A（0,2也）,B（6,0）,点P为线段AB的

中点，将线段AB绕点。逆时针旋转90。后点P的对应点P/的坐标是（）

A.（-3,石）B.（-石，3）C.（73,-3）D.（-1,6）

【分析】根据旋转的性质可得到A和B，的坐标，再根据A和B，的坐标求得其中

点P'的坐标即可.

【解析】解：将线段AB旋转之后得到的线段为A，B，，

由旋转的性质可得A（-26,0）B,（0,6）

此时P'是线段为AB，的中点，

・••点P'的坐标为（皿2,5辿）即（-73,3）.

22

故选：B.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化一一旋转：旋转不改变图形的形状和大小,

根据旋转角度求出旋转之后的坐标即可.

5.在平面直角坐标系中，点4（2,0）,3（5,4）,连接A3得到线段A3,现将线段AB

绕点A旋转90。，点B的对应点为9,则点b的坐标为（）.

A.（5,-4）B.（-2,3）C.（—2,3）或（5,-4）D.（-2,3）或（6,-3）

【分析】由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论.

【解析】解：当4?绕点A逆时针旋转90。时，

此时过点作8力1.无轴于点D,

vABAC+ZB'AD=90°,ZDB'A+ZB'AD=90°,

ABAC=ZDB'A,

在37M和八4（田中，

'NACB=NBQA

<ABAC=ZDB'A,

AB=AB'

AACB/△JB'ZM（AAS）,

:.AD=BD,B'D=AC,

•••A(2,0),8(5,4),

；.BC=4,AC=3,

3'(-2,3),

当A5绕点A顺时针旋转90。时，

过点&作？轴于点E,

vABAC+AB'AC=90°,ACB'A+AB'AC=90°,

;.NBAC=NCB，A,

在，MCA和八以中，

ZACB=ZB'CA

<ABAC=ZCB'A,

AB=AB'

△ACB^AB,C4(AAS),

AC=BC,B'C=AC,

vA(2,0),8(5,4),

；.BC=4,AC=3,

【点睛】本题考查了旋转的性质、两点间的距离和全等三角形的判定和性质，灵

活运用所学知识求解是解决本题的关键.

6.如图，点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点，将E1ABC

绕点B逆时针旋转90。后得到AA2C.若反比例函数y=工的图象恰好经过A3的

X

【分析】作A'HD轴于巴证明，A03三.BM4'(A4S),推出。1=3",OB=A'H,

求出点4坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题.

vZAOB=ZAHB=ZABA=90°,

・•・ZABO+ZABH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

・・・NBAO=ZABH,

-BA=BA,

AOB^BHA(AAS),

:.OA=BH,OB=AH,

,・,点A的坐标是(-2,0),点3的坐标是(0,6),

OA=2,OB=6,

:.BH=OA=2,AH=OB=6,

:.OH=4,

(6,4),

•：BD=AD,

.-.D(3,5),

・••反比例函数y=&的图象经过点。，

X

:.k=15.

故选C.

【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考选择题中的压轴题.

7.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，点D(3,2)在

边AB上，以C为中心，将回CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D'的坐标是

A.(1,6)B.(-1,0)

C.(1,6)或(-1,0)D.(6,1)或(-1,0)

【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D，到x轴、y

轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D'的坐标.

【解析】解：因为点D(3,2)在边AB上，

所以AB=BC=3,BD=3-2=1,

(1)若把E1CDB顺时针旋转90。，

则点D'在x轴上，OD'=1,

所以D'(-1,0)；

(2)若把I3CDB逆时针旋转90。，

则点D'到x轴的距离为6,到y轴的距离为1,

所以D'(1,6),

综上，旋转后点D的对应点D'的坐标为(-1,0)或(1,6),

故选：C.

【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此

题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况.

8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角回OAB位置如图，ZOBA=90。，点B的

坐标为(1,0),每一次将120AB绕点0逆时针旋转90。，同时每边扩大为原来

的2倍，第一次旋转得到回OAiBi,第二次旋转得到130A2B2,…，以此类推，则

20212021

A.(22022,22022)B.(-2,2)C.(22021,-22021)D.(-22022,-22022)

【分析】E1AOB是等腰直角三角形，OA=1,根据等腰直角三角形的性质，可得

点A(L1)逆时针旋转90。后可得4(-2,2),同理AG4,一4)，依次类推可求得，4(8,-8),

4(16,16),这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标.

【解析】是等腰直角三角形，点B的坐标为(L0),

:.AB=OB=1,

•••A点坐标为(1,1).

将Q4B绕原点。逆时针旋转90。得到等腰直角三角形。4片，且A旦=2AB,

再将。。4月绕原点。顺时针旋转90。得到等腰直角三角形外灰，且人当=24瓦，

依此规律，

•・•点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，

即A(-2,2),4(-4,-4),4(8,-8),4(16,16).

•••2022=505x4+2,

.・.点4()22与4同在一个象限内.

■.--4=-22,8=2"16=24,

，.点心(-2叫一2的).

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练

掌握等腰直角三角形的性质并能够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题

的关键.

二、填空题

9.如图，AABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（TO）,

现将AABC绕A点按逆时针方向旋转90。，则旋转后点C对应点的坐标是

【分析】根据图形在坐标中的旋转步骤，对线段AB、AC先逆时针旋转，然后连

接BC即可得出旋转后的图形，直接读出点的坐标即可.

【解析】解：如图所示，逆时针旋转后的图形如图，

根据图像可得：点C的坐标为：（-2,3）,

故答案为：（-2,3）.

【点睛】题目主要考查图形在坐标系中的旋转，掌握图形旋转步骤是解题关键.

4

10.如图，直线y=§x+4与X轴轴分别交于A,3两点，把AAOB绕点A逆时针旋

转90。后得到AAOB,则点B的坐标是.

【分析】过点8,作轴于点C,根据题意求出B、A的坐标，然后证明VAB'C

和-BA。全等，根据对应边相等进行代换进而求出答案即可.

【解析】解：如图，过点K作轴于点C,

4

y^-x+4,当x=0时，y=

44

当y=O时，—%+4=0,-x=-4,x=-3；

.•.B(0,4),A(-3,0)

:.OB=4,OA=3

由旋转的性质知，AB=AB',ZBAB=90°

:.ZBAO+ZCAB'=90°

B'C_Lx轴，ZAOB=90°

:.ZB'CA=ZAOB^90°,

ACAB+ZABC=9(f

又iZBAO+ZCAB'=9(f

ZAB'C=ZBAO

在VAB'C和，54。中

ZB'CA=ZAOB

<ZAB'C=ZBAO

AB'=BA

/.ABC=BAO

:.CB=OA=39CA=OB=4

.•.OC=O!A+C4=3+4=7

点2’在第二象限内

二点8,的坐标是(-7,3).

故答案为：(-7,3).

【点睛】本题考查的旋转和全等的知识点，解题关键在于把握题干知识点证明全

等之后进行代换即可.

11.如图，在边长为1的小正方形网格中，团ABC的三个顶点都在格点上，将12ABe

绕点B逆时针旋转90。得到回A'B'C',则图中阴影部分图形的面积为.(结

果保留n).

：B

【解析】试题解析：根据旋转的性质和勾股定理得到：A'B2=AB2=22+32=13.

二90%xl31〜c13"

S阴影二^-一万以小二彳万一3.

考点：1.扇形面积的计算；2.旋转的性质.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为(2,0),(0,-4),

若将线段AB绕点A顺时针旋转90。得到线段AC,则点C的坐标为.

【分析】如图，过点C作CHEIx轴于H.证明EIAOB三团CHA(AAS),推出CH=

0A=2,AH=0B=4,可得结论.

【解析】解：如图，过点C作CH13X轴于H.

•••A(2,0),B(0,4),

.••OA=2,OB=4,

•••ZAHC=ZAOB=ZBCA=90°,

.-.ZCAH+ZBAO=90°,ZABO+ZBAO=90°,

.-.ZCAH=ZABO,

在团AOB和团CHA中，

ZAHC=ZAOB

<ZCAH=ZABO,

AC=AB

.-.0AOB=ECHA(AAS),

・・・CH=OA=2,AH=OB=4,

・・・OH=AH-OA=2,

・・・C(-2,2).

【点睛】本题考查坐标与图形变化表转，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造全等三角形解决问题.

13.如图所示的平面直角坐标系中，13ABe是由回ABC绕点P顺时针旋转90。

得到的，则点P的坐标是.

y

【分析】根据对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心作图求解即可.

【解析】解：如图，点P即为所求，P(1,0).

【点睛】本题考查坐标与图形变化表转变换，解题的关键是理解对应点连线的

垂直平分线的交点是旋转中心.

14.如图，AABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(-1,0),

现将AABC绕A点逆时针旋转90°,再向右平移一个单位后点C的对应点O的

坐标是•

【分析】利用旋转变换的性质画出图形，观察图形即可得结论.

【解析】AABC绕A点逆时针旋转90。后的图像如图：

观察图象，可知c对应的点G坐标为(-2,3),

(-2,3)再向右平移一个单位后点C的对应点C'的坐标是(T，3)

故答案是：(T3).

【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、平移，解题的关键是画出旋转后的图

形，属于中考常考题型.

15.如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点0逆时

针旋转75。，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点3"的坐标为.

-2-1012x

【分析】连接0B,03’由题意可得乙水加=75。，可得出ZCO?=30。，可求出夕的

坐标，即可得出点的坐标.

【解析】解：如图：连接0B,。8',作笈/Ely轴

.-.ZCOB=45°,OB=20

・・・绕原点0逆时针旋转75。

:/BOB'=75°

.-./.COB'=30°

-：OB,-OB-2y/2

■■■MB'=42,MO=yf6

B'(—\/2,,^6)

••・沿y轴方向向上平移1个单位长度

B"(—,\/2,y/6+1)

故答案为：(-五,>/6+1)

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，熟练掌握

网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键.

16.如图，把正方形铁OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(。，3),

点P(T,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次

旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片

连续旋转2022次，点P的坐标变为.

BA

P・•P・・・

P・•P

C0①②③3

【分析】首先求出Pi〜P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题.

【解析】解：第一次Pi(2,1),

第二次P2(4,1),

第三次P3(7,2),

第四次P4(ll,2),

第五次P5(14,1),

发现点P的位置4次一个循环

•••2022+4=505……2

•••P2022的纵坐标与P2相同为1,横坐标为4+4x3x505=6064

”2022(6064,1)

故答案为：(6064,1).

【点睛】本题考查坐标规律问题，由前面几个点的坐标寻找出规律是解题的关键.

三、解答题

17.如图，已知.ABC三个顶点的坐标分别为A(T2),8(-3,4),C(-2,6),在给出

的平面直角坐标系中：

(1)作出ABC绕点A顺时针旋转90。后得到的△ABC；并直接写出G的坐标；

(2)作出ASC关于原点。成中心对称的△&BzG；并直接写出色的坐标

【分析】(1)ABC绕点A顺时针旋转90。，则ABLA%AC1AQ,连接B6,

即可得到所求图形，并得到G的坐标；

(2)ASC关于原点。成中心对称的△人与6,则点A(T,2),8(-3,4),(7(-2,6)与

点4,鸟，4的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解.

【解析】(1)解：ABC绕点A顺时针旋转90。，如图所示，

•••点G(3,3).

(2)解：根据；ASC关于原点。成中心对称的△人鱼作图如下,

原因原点的中心对称，则点A(T2),5(-3,4),C(-2,6)与点儿,层，G的坐标关

系是横纵坐标变为原来的相反数，

.•.4(1,-2),巴(3,-4),QC2.-6),

【点睛】本题主要考查图形在平面直角坐标系中的变换，解题的关键是点的坐标.

18.已知：在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为

A(5,4),B(0,3),C(2,l).

(1)画出一ABC关于原点成中心对称的并写出点A的坐标；

(2)画出将△ABC绕点Ci按顺时针旋转90。所得的并写出点4的坐标为

(3)在y轴上有点P,使尸A+PC最小，直接写出P点坐标为；PA+PC的最

小值％.

【分析】(1)分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得出答案.

(2)分别作出点4,耳绕点G按顺时针旋转90。所得的对应点，再顺次连接即可

得出答案；

(3)作点C关于y轴的对称点D,连接AD交y轴于点P,此时PA+PC的值最

小，最小值为AD的长，根据轴对称的性质可得点。(-2,1),求出线段AD,直线AD

的解析式，即可求解.

【解析】(1)解：如图，△/!由G即为所求，点A的坐标为(-5,-4).

(2)解：如图，△A与G即为所求.4(-5,2).

(3)解：如图，作点C关于y轴的对称点D,连接4)交y轴于点P,此时P4+PC

的值最小，最小值为AD的长，

・・•点C(2,l),

点。(-2,1),

AD=J(5+2『+(4_l)2=758;

设直线AD的解析式为y=kx+b〈k丰0),

把点。(-2,1),4(5,4)代入得:

-2k+b=\

,解得：

5左+6=4

313

二直线AD的解析式为>=齐+/，

13

当X=0时，y=y,

此时点P的坐标为

故答案为：J无，［。，£)

【点睛】本题主要考查了图形的轴对称变换，旋转变换，求一次函数的解析式,

正确得出对应点的位置是解题的关键.

19.实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为。，3),

(3,2).

(1)画出。AB绕点B顺时针旋转90。后的△0W?；

(2)点M是。1的中点，在(1)的条件下，M的对应点奴的坐标为.

(3)以点B为位似中心，相似比为2:1,在x轴的上方画出△040放大后的VO"A'B.

【分析】(1)找到0,A绕点B顺时针旋转90。后的对应点。，A,顺次连接。，A；B,

则―0AB即为所求；

(2)点M是OA的中点，在(1)的条件下，即可得到点M的对应点步的坐标；

(3)延长30'至。"，财至4",使得B(T=2BO,BA1=2BA,连接ATT,则O"A'B

即为所求.

(1)

如图，找至U0,A绕点B顺时针旋转90。后的对应点。，4,顺次连接。，A1B,

则，OW3即为所求；

(2)

由题意得，点M与点乙在图上标出，

由图可知，。'。，5),4(4,4),

,・,点M是。4的中点，

•••经过旋转点河'也是O'A'的中点，

(3)

如图，延长30'至O",加至4",使得3。"=2"7,BA"=2BA,连接A"O",则O"A'B

即为所求.

【点睛】本题考查了画旋转图形，在平面直角坐标系中画位似图形，掌握旋转的

性质和位似图形的性质是解题的关键.

20.如图，直线y=gx+2交无轴于A,交y轴于B

(1)直线AB关于y轴对称的直线解析式为

(2)直线AB绕原点旋转180度后的直线解析式为—；

(3)将直线A8绕点P(T0)顺时针方向旋转90度，求旋转后的直线解析式.

【分析】(1)先根据关于y轴对称确定两个坐标，然后运用待定系数法求解；

(2)根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求确定两个点的坐

标，然后利用待定系数法求解；

(3)点A、B对应点D、E的坐标，再利用待定系数法求解即可.

【解析】(1)解：由题意得:A(T,0),8(0,2),

・•・关于y轴对称，则此直线过点(。，2)和(4,0),

设函数解析式为：y=kx+b,

J6=2

••[4Z+/?=0'

L—l

解得一2,

b=2

••・函数解析式为：y=-gx+2；

故答案为：y=-3x+2；

(2)解：••・关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数,

・••可得函数解析式过点(。，-2)和(4,0),

同理可得函数解析式为：

故答案为：y=gx-2；

(3)解：点A、B绕点尸(TO)顺时针方向旋转90度的对应点分别为D、E,

过点后作口，》轴于点F,如图，

PA=PD=3,PB=PE,ZBPE=90°,ZPOB=NEFP=90°,

D(-l,3),ZBPF+ZEPF=/EPF+ZPEF=90°,

NBPF=NPEF,

:.APOB=AEFP,

：.EF=OP=l,PF=OB=2,

E(L-l),

函数解析式过点(-1，3)和(1，-1),

同理可得函数解析式为：J=-2x+l.

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是掌握几种对称的特点.

21.图，直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),将线段

AB绕点A顺时针旋转90。得到线段AC,反比例函数y=?A*0,x＞0)的图象经过

k

(2)求出反比例函数丫=[(左力。,彳＞0)的解析式.

【分析】(1)过点C作CDEIx轴，根据三角形全等的判定和性质，可求C(3,1)；

(2)把C的坐标代入了=?左#0户＞0)求得k即可.

(1)

解：rA(1,0),B(0,2),

.,.OA=1,OB=2,

过点C作CD配轴，

・・・线段AB绕点A顺时针旋转90。得到线段AC,

.-.AB=AC,ZBAC=9Q°,

・・・ZOAB+ZCAD=90°,

・・•ZAOB=90°,

・・・NOAB+NOBA=90。，

・•・ZOBA=ZCAD,

又・・・ZAOB=ZCDA=90°,

・••团ABO三团CAD(AAS),

・・・AD=0B=2,CD=OA=1,

OD=OA+AD=1+2=3,

・・・C(3,1),

(2)

k

・•,反比例函数y=-(左wo,x>o)的图象经过点C,

X

.'.k=3xl=3,

・••反比例函数的解析式y=3(x>0).

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形的变化」性

质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键.

22.如图，在直角坐标系中有RtElAOB,0为坐标原点，0B=LtanzABO=3,

将此三角形绕原点0顺时针旋转90°,得至URtECOD,二次函数y=-x2+bx+c的图

象刚好经过A,B,C三点.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)过定点Q(L3)的直线1：y=kx-k+3与二次函数的图象相交于M,N两点.

①若S0PMN=2,求k的值；

②证明：无论k为何值，I2PMN恒为直角三角形；

③当直线1绕着定点Q旋转时，EPMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写

出抛物线的表达式.

【分析】(1)根据正切的定义求出0A,根据旋转变换的性质求出0C,利用待定

系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点P

的坐标；

(2)(①根据题意求出PQ=L根据三角形的面积公式得到X2Ji=4,根据一元二次

方程根与系数的关系解答即可；②根据正切的定义得到tanzPME=l」i，

tanZFPN=-^,进而证明NPME=ZFPN,据此证明结论；③用k表示出MN的

中点坐标，计算即可.

(1)

解：vOB=l,tanzAB0=3,

.,.0A=0B*tanzAB0=3,

・・・A(0,3),

根据旋转的性质可得：0C=0A=3,

把A(0,3)、C(3,0)分别代入解析，得

Jc=3

\-9+3b+c=0,

b=2

解得:

c=3

二次函数的解析式为y=-x2+2x+3,

,.•y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

・•・顶点坐标为P(l,4)；

(2)

解：①设M(xi,yi),N(X2,y2),

•.■直线1：y=kx-k+3过定点Q(l,3),抛物线的顶点坐标为

.-.PQ=1,

,1,SJMN=5PQ•(%-玉)=2，

•■•X2-X1=4,

联立y=-x2+2x+3与y=kx-k+3可得x2+(k-2)x-k=0,

.•,xi+X2=2-k,xi»X2=-k,

.,.(x2-xi]2=(xi+x2)2-4xix2=k2+4=16,

k=±26；

②证明：过点P作PG团x轴，垂足为G,分别过点M,N作PG的垂线，垂足分

别为E、F,

•••M,N在二次函数y=-x2+2x+3图象上，

.*.yi=-xi2+2xi+3,y2=-X22+2x2+3.

・・・P(L4),

2222

.'.PE=4-yi=4+xi-2xi-3=(xi-lJ,ME=l-xi,PF=4-y2=4+X2-2x2-3=(X2-l],NF=X2-1,

PE(x-l)2

tanZPME=——二山y一人=1—%,

PF1-x,

FN兀2—]1

tan/FPN=——

PF

由①可知xi+X2=2-k,xiX2=-k,

・・・X1+X2=2+X1X2,

.,.tanzPME=tanzFPN,

/.ZPME=ZFPN,

VZPME+ZMPE=9O°,

.-.ZFPN+ZMPE=9O°,BPzMPN=90°,

・,・无论k为何值，13PMN恒为直角三角形;

③解：设线段MN的中点(x,y),

由②可得MN的中点为］一,十日)，

"一r+6，

r-

化简，得y=-2x2+4x+l,

抛物线的表达式为y=-2x2+4x+l.

【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角

形的判定、正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，灵活运用二次函数与一

元二次方程的关系是解题的关键.

23.某学生合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图回ABC为等腰直角三角形，

各顶点坐标分别为A(1,1),B(2,1),C(2,2).

⑴他们将回ABC绕原点按顺时针方向旋转90。得到.请写出点A，片的坐

标；

(2)如果抛物线y=/+b元+c恰好经过(1)中得到的△ABC中的两个顶点，请求

出符合条件的抛物线解析式；

(3)他们继续探究，发现将回ABC绕某个点旋转45。，若旋转后的三角形恰好有两

个顶点落在抛物线y=f上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标，请你

直接写出点P的所有坐标.

【分析】(1)将团ABC绕原点按顺时针方向旋转90。得到△ABC,画出图形，根

据坐标系即可求解；

(2)①若过综G,将耳(l,-2)，G(2,-2)代入广/+次+〜②若过4，G,将

4(1,-1)6(2,-2)代入、=尤2+法+。，待定系数法求解析式即可求解；

(3)分顺时针旋转45。，与逆时针旋转45。，每种情形又分三种情形讨论，画出

图形，根据不同的点落在抛物线时，逐个分析，求得点尸的坐标.

(1)

（2）

①若过耳G,将耳（1,-2）,G（2,-2）代入y=/+法+,得:

J—2=1+b+c

\—2=4+26+c

・•?二

[c=0

y=x2-3x

②若过A，G，将A（l，T），G（2,-2）代入y=/+H+C得:

f-1=l+b+c

[-2=4+2b+c

[c=2

y=x2-4x+2.

22

综上，符合条件的抛物线解析式有：y=x-3x,y=x-4x+2

(3)

则AC〃x轴，设AC交>轴于点

.■.BD=-A'C'=-AC=—,

222

•••AC=V2,

•••点P坐标为0,一；

\）

②顺时针旋转45。，点B、C落在抛物线上，如答图2所示:

设点的横坐标分别为%,三.

易知此时B'C'与一、三象限角平分线平行，

・•・设直线8'C'的解析式为y=X+"

联立_y=V与y=x+b得：x2=x+b,§Px2-x-b=O,

"+%2=L再％=一万.

••・B'C'=I,.•・根据题意易得：恸r|=］，

•Gr)2=|即（国+々）2-4%迎

2

.••1+伤=:，解得8=-9

2o

一尤+，=0,解得片21或片上也

844

•・•点C，的横坐标较小，”=三”

当片三g时,3-20

y=/

48

J2->/23-2。

［48J

③顺时针旋转45。，点8、A落在抛物线上，如答图3所示：

设点的横坐标分别为4马.

易知此时aA与二、四象限角平分线平行，.♦•设直线？A的解析式为y=T+b,

联立y=V与y=-尤+6得：尤2=_彳+匕，即/+十一万二。，

:.再+%=-1，%％2=』

旦

•・•»A=1,••.根据题意易得：,-引=

2

2

BP(%1+x2)-4XJX2=-

.■-l+4b=~,解得b=T.

Zo

0-2T-A/2-2

x2+x+=0,解得％=:----或X=

o44

0-2

••,点8’的横坐标较大，二,•X=------------.

4

当x=^二时.j=x23-2立

48

④逆时针旋转45。，点C、A落在抛物线上.

因为逆时针旋转45。后，直线C0与y轴平行，因此，与抛物线最多只能有一个

交点，故此种情形不存在；

⑤逆时针旋转45。，点B、C落在抛物线上，如答图4所示：

‘拒-23-2及'

与③同理，可求得：P

48

\7

⑥逆时针旋转45。，点3、A落在抛物线上，如答图5所示:

’2+应3+

与②同理，可求得：P

4，1

综上所述，点P的坐标为：［。,萼［或］¥，三I亚］或卜等，乏I亚］或

I2JI48JI48)

'2+&3+20、

8)'

【点睛】本题考查了旋转变换与二次函数的综合题型，难度较大.第(3)问是

本题难点所在，解题关键是：第一，旋转方向有两种可能，落在抛物线上的点有

三种可能，因此共有六种可能的情形，需要分类讨论；第二，针对每一种可能的

情形，按照旋转方向与旋转角度，确定图形形状并进行计算.

24.在平面直角坐标系中，。为原点，点A(4,0),点B(0,3),把他。绕点8逆

时针旋转，得"上0';点A。旋转后的对应点为A',O',记旋转角为a.

(1)如图①，若&=90。，则点O,的坐标为，点H的坐标为,A4,的

长为;

(2)如图②.若。=120。，求点。的坐标；

(3)在(2)条件下在平面直角坐标系有一点。，使A、B、D四个点构成的四

边形是平行四边形，请你直接写出。点的坐标.

【分析】(1)由旋转的性质确定。'，A分别到坐标轴的距离，配合所在的象限写

出坐标；然后根据两点间的距离公式求出A4'的长度即可；

(2)作。石，x轴、BF±O'E,构造矩形OEFB和及.。M，然后分别求出

BF、O,F.EF的长度，从而得出结果；

(3)通过线段的平移求解即可；

【解析】⑴解:44Q)，2(0,3)

二.OB=3,OA=4

由旋转的性质可知：

O，B=OB=3,O'A=(M=4,O'Bly,O'Alx

到x轴的距离为：4+3=7

：。(3,3),A'(3,7)

AA'=7(4-3)2+(0-7)2=5收

(2)解：作。石，x轴、BF±O'E如图：

V

:.NOBF=90。,EF=OB=3

由旋转的性质可知：

ZOB（y=-\2Q°,OB=OB=3

ZC/BF=ZOBO1-NOBF=30°

在Rr中

O'F=-O'B=-,BF=O'B.cos30°=^-

222

3o

/.O,E=O,F+EF=-+3=-

22

.・・点。’的坐标为（述,2）

22

（3）解：将线段A3沿30'方向平移，使点B移动到点O；设点A平移后的

对应点为2

AB//O'Dy,AB=O'R

.­.四边形ABO4