抛物线-高考数学一轮复习例题训练集

（28）抛物线一高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.。为坐标原点，R为抛物线C：V=8x的焦点，”为C上一点，若|MF|=8,则

△MOF的面积为（）

A.4GB.3>/2C.8D.36

2.已知抛物线。：丁2=20%5〉0）的焦点为-准线为/,点A,5在抛物线C上，且

满足AFLM.设线段A3的中点到准线的距离为d,则必的最小值为（）

d

A.9B.V3C.—D.V2

22

3.已知抛物线V=2四5>0）的焦点为R抛物线上一点A在歹的正上方，过点A的

直线/与抛物线交于另一点3,满足|5/|=2|AF|,则钝角/4FB=（）

ATB.@C.^D.史

12346

4.已知抛物线炉=16>的焦点为乩点P在抛物线上，点。在圆

E:（x-2）2+（y-6）2=4±,则|PQ|+|PR|的最小值为（）

A.12B.10C.8D.6

5.已知抛物线C:y2=4x,过点。（1,代）的直线与C相交于A,3两点，过点A,B分

别作抛物线的切线，设两条切线分别与y轴相交于点M,N,则△DMN面积的最小值

为（）

A.—B.-C.V2D.A/3

22

二、多项选择题

6.已知抛物线的焦点为R。为坐标原点，点/（%，%）在抛物线。上，若

\MF\^5,贝女）

A.歹的坐标为（1,0）B.y0=4

C.IOM1=472D.以MR为直径的圆与x轴相切

7.在平面直角坐标系xOy中，点R是抛物线C:y2=ax（a〉o）的焦点，点

5（a3）3>0）在抛物线C上，则下列结论正确的是（）

AC的准线方程为x=-上B.b=e

C.OAOB=2。•品，譬

三、填空题

8.抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛

物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线

后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线/=2px（p〉0）,一条平行于抛

物线对称轴的光线从点A（3,l）向左发出，先经抛物线反射，再经直线y=x-3反射后，

恰好经过点A,则该抛物线的标准方程为.

9.已知抛物线。：9=20小5>0）的焦点为「准线与x轴交于点过R且不与x轴

垂直的直线/交C于A,3两点，ZAMF=30°,|AB|=3,则C的方程为.

四、解答题

10.已知抛物线广：V=2°x（p〉0）的焦点为E过原点。且斜率为1的直线交厂于

另一点M,△QWF的外接圆周长为5&兀.

（1）求厂的方程；

（2）设曲线E：V=2（x-。），过点R的直线自上而下依次交厂和E于A,P,F,

B,过点R的直线6（不与4重合）自上而下依次交厂和E于C,F,Q,D,且

PFQF=-1,记4=ju=BFDF,证明：2〃为定值.

参考答案

1.答案：A

解析：由＞2=8x可得抛物线的焦点"2,0),准线方程为％=-2,由抛物线焦半径公式

|MF\=xM=xM+2=S,所以x“=6,将x=6代入y2=8x,可得％=±4g,

所以的面积为glyJlOEU；*4百义2=46，故选A.

2.答案：D

解析：如图，设线段AB的中点为M,分别过点A,B,M作准线/的垂线，垂足分别

为C,D,N.

设|AF|=a,\BF\^b,贝!J|AC|=a,\BD\=b.

由MN为梯形ACD3的中位线，得d=|MN|=生女，由"，3产可得|AB|="片+心,

2

4.|AB|2y/a2+b2

故

因为/+△(“+份，当且仅当a=b时取等号，

2

所以1^1=26+/n垃g+b)=叵,故选D.

da+ba+b

3.答案：D

解析：由题知，抛物线的焦点为歹15,0),准线方程为x=-微.因为点A在尸的正上

方，所以点A的坐标为gp

因为NAFB为钝角，则点3在x轴下方,

所以/+'|=|3尸1=2|4/|=2〃，解得/=[〃，即点§的坐标为(手，若，(舍去)

或'

因为直线的斜率须〃=受=-百’所以直线3R的倾斜角为吾,故钝角

22

/.j-jj-.兀，兀37rtr、4

AAFB=—\-7i---二—.故选D.

236

4.答案：C

解析：由题意知，圆心E(2,6),半径r=2,抛物线的焦点厂(0,4),准线/:y=-4.

如图，作于点H,因为P在抛物线上，所以|PB|=|P〃|.

\PQ\+\PF\=\PQ\+\PH\>\QH\,当P,Q,H三点共线时，取等号.

过E作直线/的垂线，垂足为&,与圆E交于点2，与抛物线交于点耳，则有

\QH\>\EHl\-\EQi\=6-(-A)-2=8,此时，E,Q,R,耳四点共线，且，在线

段石区上，则上述两式可同时取等号.所以|PQ|+1尸尸|的最小值为8.故选C.

5.答案：B

/2、(2、

解析：设直线A5的方程为x-1=皿丁-6)，A,B，联立

I4yI4)

x—l=mU—君)‘消去x整理得产一4根y+4®—4=0,易知A>0恒成立，由韦达定

J=4x,

(2\

理得乂+为=4冽，乂%=46m-4.因为抛物线。在点A处的切线方程为

I4J

2，2、2

%y=2x+—,在点8处的切线方程为"=2x+与，令x=0,得加=邑，

2\4/22

弘=3，则加卜仔)中年J,所以

m

SADMN=；|MN「XD—yzl=；J(x+%)2—4%%=]-与+；,所以当

m=@时，有最小值L，故选B.

22

6.答案：BCD

解析：对于抛物线。：好=4丁，可得p=2,；=1,且焦点在y轴正半轴上，则点

厂(0,1),A错误；

由抛物线的定义可得|板|=%+1=5,可得％=4,B正确；

由为=4可知X：=16,可得/=±4,所以|OM1=Jx；+y；=4应,C正确；

因为的中点坐标为［±2,£|,则点、2,0到x轴的距离d=g=；|MP|,所以以

MR为直径的圆与x轴相切，D正确.

故选BCD.

7.答案：ABD

_且

2a=A/2,

解析：点A|,1(a>0),5(a,3s>0)在抛物线C上，则有<1=5'解得<L所

b-yJ2.

b2=a2,

A住,lj,B点,也).

以抛物线C:寸=6x

Ji

选项A：抛物线C的准线方程为x=-在，A正确；

4

选项B：b=0,B正确；

选项C：=—xV2+lxV2=1+72,C错误;

一2

选项D：抛物线C的焦点p1正,o],则|AE|=4卜回—交]+(0—I-=逆，

I4JK42)4

\BF\=-V2^+(0-72)2=—,贝+^—=迪+述=1^1,D正确.

n4J4|AF|\BF\3515

故选ABD.

8.答案：V=i6x

解析：设点A(3,l)关于直线y=x-3对称的点为4(%〃)，过A且平行于x轴的直线交

(I、

抛物线于3,则有8—,1.

(2pJ

1+nm+3

----------------，(,

由22可得*4，

n-1,〃=0,

---^=一1，

、机一3

即4(4,0).

由题意可知，A，F,3三点共线，因为A，R都在X轴上，所以A，R重合，即

F(4,0),1=4,p=8,所以抛物线的标准方程为V=16X.

9.答案：/=x

解析：方法一：设过F仁,0)的直线/的方程为x=zny+~|(mwO),与产=2内联立,

可得V-2pnzy-/=0.

设A&,%),3(%，%)，%>0,为<0，

贝1%+%=2。〃2，%%=—/，

贝U|AB|=X]+%+°=+p=4P+、'+p=2pm2+2p=3.

-2p2p2p

如图，过点A作AH轴于点H,

根据抛物线的定义可得IMW|=|AF\,

则tanZAMF=^=sinZAFH=—,cosZAFH=—,

\MH\\AF\33

tanZAFH=----,

2

方法二：如图，过点A作AH轴于点H,根据抛物线的定义可得|MH|=|AF|,则

tanZAMF===sinZAFH=—,:.\AB\=—3——=6p=3,:.p=-,

\MH\\AF\3sin2ZAFH2

C的方程为V=x.

10.答案：(1)V=4x

(2)证明见解析

5/?

解析：(1)设△OMF外接圆半径为R,则2兀氏=5岳，故/?=签.

依题意知，直线的方程为y=x,其倾斜角为45。，则NMOF=45。.

联立p=2px,

3=九，

解得M(2p,2p),

由抛物线的定义可知|M「|=%+勺].

在^MOF中，由正弦定理得13=2R,

sinZMOF

5

弓。I-

即‘一=5叵,

sin45°

解得p=2.

所以抛物线F的方程为丁=4九

(2)由(1)可知/(1,0),代入E的方程，得。=1,

故E的方程为V=2(x-l),易知直线4和Z2的斜率不为0,

设4:x=根y+1,l2:x=ny+l,

由<y2(x1),得>=0或y=2m,

x=my+1.

故P(2m2+1,2时,

同理可得Q(21+1,2〃)，

所以尸尸=(—2疗,-2m),QF=(―2],—2〃)，

所以PF•QF=4m2n2+4mn=-1,

解得加"=-1，①

2

由,y-4x,得y2_4冲_4=0,