第11讲基本不等式的证明（三大题型归纳易错分层练）

第11讲基本不等式的证明【苏教版2019必修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01基本不等式的推导与证明 2题型02用基本不等式证明不等式 4题型03用基本不等式求最值 7易错归纳 1分层练习 23夯实基础 12能力提升 18创新拓展 18基本不等式的推导与证明基本不等式：如果a，b是正数，那么eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)称为基本不等式．对于正数a，b，我们把eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为a，b的几何平均数．注意点：(2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等题型01基本不等式的推导与证明【解题策略】在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．一正：a，b均为正数；二定：不等式一边为定值；三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解【典例分析】【例1】(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(2)不等式a＋1≥2eq\r(a)(a>0)中，等号成立的条件是()A．a＝0 B．a＝eq\f(1,2)C．a＝1 D．a＝2答案(1)D(2)C解析(1)对于A，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确．(2)因为a>0，根据基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，故a＋1≥2eq\r(a)中，当且仅当a＝1时，等号成立．（3）下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)①若x>1，则x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；②若x<0，则x＋eq\f(4,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2eq\r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4；③若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.答案②解析①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时，等号成立，因为x>1，所以x＋eq\f(1,x)>2；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．【变式演练】【变式1】（2223高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD.【详解】解：，即，故A恒成立，取，此时，故B不恒成立，因为，所以，所以，故C恒成立，因为，所以，所以，故D恒成立，故选：B【变式2】（2324高一上·江苏·课前预习）一般地，对于正数，总有，当且仅当时等号成立，这个不等式常称为基本不等式.【答案】【解析】略【变式3】（2223高一·全国·课堂例题）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立．【答案】证明见解析【分析】运用基本不等式进行证明即可.【详解】因为，，，所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立，把上述三个式子的两边分别相加，得，即．当且仅当时等号成立．题型02用基本不等式证明不等式【解题策略】利用基本不等式证明不等式的策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”【典例分析】【例2】已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.证明因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，所以eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c).上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．【变式演练】【变式1】（2324高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数.求证：.【分析】利用基本不等式证得不等式成立.【详解】证明：，∴，，，∴，，，∴，当且仅当“”时等号成立【变式2】（2324高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数.(1)若，求证：；(2)若，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据基本不等式证明即可.（2）对不等式左边变形，然后根据基本不等式证明即可.【详解】（1）因为a，b是正实数，则，当且仅当时，等号成立，故.（2），当且仅当时，即，时，取等号【变式3】（2324高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证；（2）利用作差法证明即可.【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），，所以①；同理可得②；③；①、②、③相加得，所以，又，所以，所以，当且仅当时取等号．（2）因为，当且仅当时取等号，所以，所以，即，又，当时取等号，所以，当且时取等号题型03用基本不等式求最值【解题策略】拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件【典例分析】【例3】（2023高二下·福建·学业考试）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当“”时取等.故的最小值为.故选：D.【变式演练】【变式1】（2324高一上·广东广州·期中）设均为正数，且，则的最小值是．【答案】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为均为正数，且，所以，当且仅当，即时取等，所以的最小值是.故答案为：【变式2】（2324高一上·天津·期中）已知，，且，则的最小值为．【答案】/【分析】由题意可得代入，结合不等式求解即可.【详解】由可得：，所以，当且仅当即.故答案为：【变式3】（2223高一上·云南大理·期末）设，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由基本不等式即可求出的最大值；（2）由，再由基本不等式求解即可.【详解】（1）法一：，当且仅当且时等号成立．∴ab的最大值为法二：，，当且仅当，即，时等号成立．∴ab的最大值为．（2），当且仅当时等号成立，∴的最小值为易错点1忽略变量的取值范围致错【例1】求的最大值.【错解】令，则当且仅当，即时，等号成立，则所求最大值为【错因分析】此解答过程错误，当时，，忽视了对符号的讨论.【正解】由知当时，，当且仅当，即时，等号成立；当或时，；当时，.综上所述，的最大值为易错点2忽略定值的条件致错【例2】[黑龙江大庆实验中学2023高一月考]已知，则的最小值为（）【错解】，当时，即时，取最小值【错因分析】此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是机械地套用公式.【解析】因为，即，所以，当且仅当时，即时，有最小值.故的最小值为.【答案】易错点3多次应用基本不等式致错【例3】已知，，且，求的最小值.【错解】的最小值为【错因分析】上述解法错误的原因是两次使用基本不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为，即；第二次等号成立的条件为，故取不到最小值.【正解】当且仅当，，即时，等号成立.解得故当时，取得最小值.【夯实基础】一、单选题1．（2324高一上·安徽·期末）若正数满足，则的最大值为（

）A．6 B．9 C． D．【答案】C【分析】由基本不等式求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时取等号．故选：C．2．（2122高二上·广西桂林·阶段练习）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据，利用基本不等式逐项求解判断.【详解】A.因为，，当且仅当时，等号成立，故错误；B.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；C.由A知，所以，故正确；D.，当且仅当，即时，等号成立，故错误；故选：C3．（2021高一·全国·课后作业）若且，则下列不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例．【详解】当时，，A错；时，满足，但，B错；时，满足，，C错．，则，，当且仅当时等号成立．D正确．故选：D．4．（2021高二下·云南昭通·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义，结合基本不等式，可得答案.【详解】当时，显然成立，反之不成立；当时，则，故，充分性成立；令，由推不出，故”是“”的充分不必要条件，故选：A.二、多选题5．（2024高一上·全国·专题练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除.【详解】对于选项A，因为，则，所以，故选项A正确；因为，所以，，又，得到故，所以选项B和D正确，对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误，故选：ABD.6．（2324高一上·广东珠海·期中）若，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用作差法判断A；利用特值法判断B，利用不等式的性质判断C；利用不等式的性质及基本不等式判断D.【详解】∵，∴，∴，故A正确；取，则，此时，故B错误；∵，∴，故C错误；∵，，∴，∴，故D正确.故选：AD.三、填空题7．（2324高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式应用条件

公式

取等条件【答案】一正二定三相等【分析】略【详解】略8．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正数，满足，若，则．【答案】6【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.【详解】由题意，由，得，即，故．又，所以，当且仅当即时，等号成立，此时，解得或，则，所以.故答案为：.9．（2122高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，，给出下列四个不等式：①；②；③；④.其中正确的不等式有.（填上所有正确的序号）【答案】①②③【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件.【详解】∵a>0，b>0，∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确；②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确；③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)，∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确；④a+=(a+4)+4≥24=2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1，∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确.故答案为：①②③四、解答题10．（2324高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：；（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明；（2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明.【详解】（1）证明：由，得，所以，当且仅当即，时等号成立，所以；（2）证明：由题意知，，且，所以，即.同理可得，所以，即证.11．（2021高一上·江苏南通·阶段练习）（1）描述并证明基本不等式；（2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明：；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立，用作差法证明；（2）利用（1）中的基本不等式两项两项组合得三个不等式相加后可得结论．【详解】证明：（1）当且仅当a=b时，等号成立.对于，有，当且仅当，即时等号成立．所以，当且仅当时，等号成立.（2）由条件得，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立以上三个不等式相加可得：，当且仅当时等号成立得证【能力提升】一、单选题1．（2021高一上·江苏常州·期中）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用，展开整理，可对A选项进行判断，对B、C选项举反例可进行判断，利用基本不等式，可对D选项进行判断，即可得答案.【详解】A选项：对于任意，，即，当且仅当等号成立，故A错误；B选项：当，，，，故B错误；C选项：当时，，故C错误；D选项：对于任意，，所以，即，当且仅当等号成立，故D正确.故选：D2．（2021高一·全国·单元测试）已知，均为正数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式判断C．ABD可通过举反例说明、【详解】正数满足，若满足已知，但，，若满足已知，但，，则，所以，，所以，，即，当且仅当时等号成立．故选：C．3．（2122高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.【详解】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.4．（2021高一上·全国·单元测试）若a，b，，且，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用综合法证得A选项错误.利用基本不等式判断BD选项的正确性，利用特殊值判断C选项错误.【详解】由，，，于是，故A错；而，故D项正确，B项错误；令，则，但，故C项错误.故选：D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.二、多选题5．（2324高一上·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC.【详解】对于A，，不等式成立，A正确；对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误；对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误；对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：AD6．（2324高一上·浙江金华·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式的性质及基本不等式一一判定即可.【详解】对于A项，，因为，所以，即A正确；对于B项，，由上可知，即B正确；对于C项，，即C错误；对于D项，，当且仅当时取得等号，又，所以，即D正确.故选：ABD7．（2223高一上·湖南衡阳·期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误.【详解】因为，，，对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，取，，得，故D错误.故选：ABC三、填空题8．（2324高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是．①若，则；②若，则；③若，则.【答案】②【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可.【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当，即时，等号成立，因为，所以，故①错误；②因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故②正确；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，当时，，故③错误．故答案为：②.9．（2324高一上·河南南阳·阶段练习）基本不等式的公式为，此公式的适用范围是；当且仅当时等号成立.【答案】；均为正数；.【详解】略四、解答题10．（2324高一上·北京·期中）已知a，b都是正实数，(1)试比较与的大小，并证明；(2)当时，求证：．【答案】(1)，证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）利用做差法可得答案；（2）利用基本不等式可得答案．【详解】（1）结论：，当且仅当时，等号成立.证明：，因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立，即，当且仅当时，等号成立；（2）因为a，b，c都是正数，且，所以，当且仅当时，等号成立．11．（2324高一上·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题:(1)“”是“”的充要条件；(2)“”是“”的充分条件.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合充要条件的定义即可证明.（2）由等式、不等式的性质、基本不等式，结合充分条件的定义即可证明.【详解】（1）∵，充分性:∵，，∴充分性可得;必要性:∵，又，∴，可得.∴是的充要条件.（2）由，且，则，∵，，当且仅当时等号成立，所以，，，可得，解得，∴是的充分条件【创新拓展】一、单选题1．（2122高一上·安徽芜湖·阶段练习）