2023年新高考数学大一轮复习：等式与不等式的性质 (原卷版)

专题03等式与不等式的性质

【考点预测】

1.比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0@>1(〃，b>0)或0<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=0@=1人0)

b

a<ba-b=0@<l(a,b>0)或乌>l(a,b<Q)

bb

2.不等式的性质

(1)基本性质

性质性质内容

对称性a>b<=>b<a；a<b<=>b>a

传递性a>b,b>c=>a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0ac>be；a>b,c<0ac

同向a>c,c>da+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>4,neN*=>an>bn

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决

有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幕或者因式乘

积的形式，也可考虑使用作商法.

【题型归纳目录】

题型一：不等式性质的应用

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

题型四：不等式的综合问题

【典例例题】

题型一：不等式性质的应用

例1.（2022•北京海淀•二模）已知，且，则（）

A.B.

C.D.

例2.（2022•山东日照•二模）若a,b,c为实数，且,，则下列不等关系一定成立的是（）

A.B.C.D.

例3.（2022•山西•模拟预测（文））若，则下列结论中正确的是（）

A.B.C.D.

(多选题)例4.（2022•辽宁•二模）己知非零实数a,b满足，则下列不等关系一定成立的是（）

A.B.

C.D.

（多选题）例5.（2022•重庆八中模拟预测）已知,，且，则下列不等关系成立的是（）

A.B.C.D.

（多选题）例6.（2022•广东汕头•二模）已知a,b,c满足cvavb,且acvO,那么下列各式中一定成立的

是（）

A.ac(a-c)>0B.c(b-a)<0C.D.

（多选题）例7.（2022•福建三明•模拟预测）设，且，则（）

A.B.C.D.

【方法技巧与总结】

1.判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2.充分利用基本初等函数性质进行判断.

3.小题可以用特殊值法做快速判断.

题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

例8.（2022•全国•高三专题练习（文））设,，，则（）

A.B.C.D.

例9.（2022•全国•高三专题练习）若a=,b=,则ab（填或）.

例10.（2022•全国•高一）（1）试比较与的大小；

（2）已知，，求证：.

例11.（2022•湖南•高一课时练习）比较与的大小.

例12.（2022•湖南•高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小:

⑴（赤'一1）与（后+1）；

⑵与.

【方法技巧与总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幕或者因式乘

积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是:

若，则；；；

若，则；；.

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

例13.（2022•浙江•模拟预测）若实数x,y满足，则的取值范围（）

A.B.C.D.

例14.（2022•全国•高三专题练习）已知,，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

例15.（2022•全国•高三专题练习）若满足，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

例16.（2022•全国•高三专题练习（文））已知一3<a<—2,3<b<4,则的取值范围为（）

A.（1,3）B.C.D.

例17.（2022•江西•二模（文））已知,，则6x+5y的取值范围为.

例18.（2022•全国•高三专题练习）设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为.

例19.（2022•全国•高三专题练习）已知有理数a,b,c,满足，且，那么的取值范围是.

例20.（2022•全国•高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则.

例21.（2022•全国•高三专题练习）已知正数a,b满足5-3aWbW4-a,lnb》a,则的取值范围是—

例22.（2022•全国•高三专题练习）已知均为正实数，且，那么的大值为.

【方法技巧与总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，

否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

题型四：不等式的综合问题

例23.（2022•江西鹰潭•二模（理））已知，且则下列不等式中恒成立的个数是（）

①]<人②③b-a<e"-e"®ln^<^£±Zz^±I

b<abab+52

A.1B.2C.3D.4

例24.（2022•江西•临川一中高三期中（文））若实数a,b满足，则下列选项中一定成立的有（）

A.B.C.D.

例25.（2022•湖南•长沙一中高三阶段练习）若,，则下列选项中正确的是（）

A.B.

C.D.

（多选题）例26.（2022•江苏连云港•模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（

A.B.C.D.

（多选题）例27.（2022•辽宁辽阳•二模）已知,，且，则（）

A.B.

C.D.

（多选题）例28.（2022•重庆八中模拟预测）已知,，且，则下列不等关系成立的是（）

A.B.C.D.

例29.（2022•全国•高三专题练习）若,，设，则的最小值为

例30.（2022•四川泸州•三模（理））已知X、，且，给出下列四个结论：

①；②；③；④.

其中一定成立的结论是（写出所有成立结论的编号）.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均

速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（）

A.B.

C.D.

2.（2022•甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知，则（）

A.B.

C.D.

3.（2022•陕西宝鸡•三模（理））若，则下列结论正确的是（）

A.B.

C.D.

4.（2022•重庆•二模）若非零实数a,b满足，则下列不等式一定成立的是（）

A.B.

C.D.

5.（2022•安徽黄山•二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（）

A.B.C.D.

6.（2022•安徽•芜湖一中高三阶段练习（理））已知,，，则以下正确的是（）

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

7.（2022•全国•高三专题练习（理））已知,，则下列结论正确的有（）

ba

①②③a+b〈2ab®a+a<b+b

ab

A.个B.个C.个D.个

8.（2022•安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立

的是（）

A.B.

C.D.

二、多选题

9.（2022•辽宁•一模）已知不相等的两个正实数a和b,满足，下列不等式正确的是（）

A.B.

C.D.

10.（2022•湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知，且，则下列结论正确的是（）

A.B.C.D.

11.（2022•广东•广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a,b,c满足，则下列不等式一定成立的有（）

A.B.

C.D.

12.（2022•河北保定•一模）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.

A.B.

C.D.

三、填空题

13.（2022•四川泸州•三模（文））已知x,,满足，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中一定成立的

结论是（写出所有成立结论的编号）.

14.（2022•全国•江西科技学院附属中学模拟预测（文））己知实数、满足,，则的取值范围为.

15.（2022•全国•高三专题练习）如果a>b