2024年江苏省常州市中考数学模拟试卷（Ⅱ）（含解析）

2024年江苏省常州市中考数学模拟试卷（II）

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求

的。

1.2024的相反数是（）

A.2024B.-2024(D-募

-2024

2.函数y=击中，自变量式的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C二%。2D.x<2

3.如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成.判断拿走图中的哪个

积木后，此图形前视图的形状会改变（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.T

4.下列运算正确的是（）

A.a2xa3=a6B.a2+a3=a8C.（-2a）2=—4a2D.a6a4=a2

5.常州作为新崛起的新能源之都，澎湃起势.2023年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万

辆，投资热度全国第一.数字7600用科学记数法表示为（）

A.7.6x103B.7.6x104C.0.76x104D.7.6x1011

6.坐标平面上，一次函数y=-2久-6的图象通过下列哪一个点（）

B.(-4,2)C.(-4,-1)D.(-4,-2)

匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度八

与注水时间t之间函数关系的大致图象是（）

8.某班41名同学到电影院观影，先到的40名同学座位以点的形式分布在如图所

示平面直角坐标系中（共40个点），纵坐标表示座位所在排，横坐标表示座位所

在列，座位排数的方差是席，列数的方差是肾，现取排数的平均数为纵坐标，

列数的平均数为横坐标，记为点P,以P为圆心，半径比1：2的两个同心圆将影

院分为区域4B、C,问第41名同学坐到哪个区域才能保持耳、S/不变（）

A.区域AB.区域BC.区域CD.任一区域均可

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

9.实数4的算术平方根为.

10.分解因式：x2y-y3=.

11.计算（兀-2）°-|-31的结果为.

12.某蓄电池的电压为48V,使用此蓄电池时，电流/（单位：4）与电阻R（单位：O）的函数表达式为/=?当

K

R=12。时，/的值为A.

13.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为50cm,则烟囱帽的

侧面积为皿2.（结果保留兀）

14.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知41=102°,贝吐2的度数

为.

15.如图，。&是。。的半径，8c是O。的弦，。力1BC于点D,&E是。。的切线,

4E交。C的延长线于点E.若N40C=45。，BC=2,则线段4E的长为.

16.如图，在苏通长江大桥的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨8。的中点

为E,最长的斜拉索CE长577爪，记CE与大桥主梁所夹的锐角NCED为a,那么用CE的长和a的三角函数表

示主跨BD长的表达式应为BD=（m）.

17.图1是利用边长为的正方形绘成的七巧板图案，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2）,过左侧

的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点4、E、D、B在圆上，点C、尸在上

)形成一幅装饰画，则圆的半径为

18.如图，在边长为4的正方形4BCD中，E为BC的中点，过4E上一点「作“'1AE,

分别交2B、CD于点M、N,连接CF,当CF=N尸时，CN的值为.

三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题6分）

先化简，再求值：（a+l）2+a（l—a）—1,其中a=

20.(本小题8分)

解方程和不等式组:

⑴2一1=①.

【2-x'

rl—2%>3

(2)hx+l„2-x.

(~r~2<~

21.(本小题8分)

某班组织开展课外体育活动，在规定时间内，进行定点投篮，对投篮命中数量进行了统计，并制成下面的

统计表和如图不完整的折线统计图(不含投篮命中个数为0的数据).

投篮命中数量/个123456

学生人数123761

根据以上信息，解决下面的问题:

(1)在本次投篮活动中，投篮命中的学生共有人，并求投篮命中数量的众数和平均数;

(2)补全折线统计图;

(3)嘉淇在统计投篮命中数量的中位数时，把统计表中相邻两个投篮命中的数量m,n错看成了n,m(m<

九)进行计算，结果错误数据的中位数与原数据的中位数相比发生了改变，求小，n的值.

学生人数

22.(本小题8分)

小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目(力：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：

盘丝洞)中各自随机选择一个项目游玩.

(1)小华选择C项目的概率是;

(2)用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率.

23.(本小题8分)

对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处

统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4,左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的白.

某人要装裱一副对联，对联的长为100cm,宽为270n.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和

天头长.

(书法作品选自信功法书》)

装裱后的宽

天头

天头长

...1

装

裱

后

边一——边

的

长

融长

q------J--4,

cm边的宽地头

24.(本小题8分)

如图，在△28。中，/.DAB=/.DBA,AC_LBD交BD的延长线于点C,BE14。交4。的延长线于点E.

⑴求证：ABDEdADC.

(2)运用无刻度的直尺和圆规画出△ABC的外接圆，且当40=3,DE=2时，AABC的外接圆半径为

25.(本小题8分)

如图，一次函数%=kx+b(k*0)与函数火=-(%>0)的图象交于4(4,1),B©,a)两点.

(1)求这两个函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出满足月-%>0时工的取值范围;

(3)点P在线段4B上，过点P作x轴的垂线，垂足为M,交函数月的图象于点Q，若APOQ面积为3,求点P的

坐标.

26.（本小题10分）

如图1,在△力8c中，ZC—90°,AC—9cm,BC=12cm.在△中，/.DFE=90°,EF—6cm,DF=

8cm.E,F两点在BC边上，DE、DF两边分别与AB边交于G、"两点,现固定△ABC不动，△DEF从点F与点

B重合的位置出发，沿以lcm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2czn/s的速度

向点E运动QD是以D为圆心，DP长为半径的圆ZDEF与点P同时出发，当点E到达点C时，ADEF和点P

同时停止运动.设运动的时间是t(单位：s),t>0.

(1)当t=2时，PH=cm,DG=cm；

(2)当t为多少秒时，APDE为等腰三角形？请说明理由;

(3)当t为多少秒时，OD与力B相切？请说明理由.

备用图

27.(本小题10分)

抛物线G：y=/+法+c交x轴于4B两点Q4在8的左边)，已知4坐标(—2,0),抛物线交y轴于点

C(0,-8).

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图1,点F在抛物线段BC上，过点尸作x轴垂线，分别交x轴、线段BC于D、E两点，连接CF,若4

BDE与ACEF相似，求点尸的坐标；

(3)如图2,将抛物线G平移得到抛物线C2,其顶点为原点.直线y=2x与抛物线交于0、G两点，过0G的中

点”作直线MN(异于直线。G)交抛物线。2于M、N两点，直线M。与直线GN交于点P.问点P是否在一条定直

线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.

28.(本小题10分)

【推理】

如图1,在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE,CF,延

长CF交4。于点G.

(1)求证：ABCE沿4CDG.

【运用】

(2)如图2,在【推理】条件下，延长BF交力。于点”.若袈=&CE=9,求线段DE的长.

nr3

【拓展】

(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF,延长CF,BF交直线4。于G,H两点，榨=卜,

喘屋,求穿的值(用含上的代数式表示).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:2024的相反数是-2024,

故选：B.

根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：由题意得：x-2^0,

解得：x大2,

故选：C.

根据分母不为0可得X-2力0,然后进行计算即可解答.

本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形前视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来

的两个变成一个.

故选：B.

找到从几何体的正面看所得到的图形即可.

此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置.

4.【答案】D

【解析】解：4a2xa3=a5,故本选项不符合题意；

Ra?与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；

C.(-2a)2=4a2,故本选项不符合题意；

D.a64-a4=a2,故本选项符合题意.

故选：D.

选项A根据同底数幕的乘法法则判断即可；选项8根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运

算法则判断即可；选项。根据同底数募的除法法则判断即可.

本题考查了合并同类项，同底数幕的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键.

5.【答案】A

【解析】解:7600=7.6X103,

故选：力.

将一个数表示成ax1(P的形式，其中lW|a|<10,几为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可

求得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：4当久=一4时，y=—2x(—4)—6=2,所以一次函数y=—2x—6的图象不过(—4,1)点，

因此选项A不符合题意；

氏当％=-4时，y=—2X(-4)一6=2,所以一次函数)/=一2刀一6的图象过(一4,2)点，因此选项8符合

题意；

C.当％=-4时，y=-2x(―4)-6=2,所以一次函数y=—2x-6的图象不过(―4,一1)点，因此选项C

不符合题意；

D当x=-4时，y=—2X(—4)—6=2,所以一■次函数y=—2%—6的图象不过(—4,—2)点，因此选项D

不符合题意；

故选：B.

将各个选项中点的坐标代入函数关系式进行验证即可.

本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提.

7.【答案】A

【解析】解：由题知，

因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，

所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越

高.

因为瓶子的上半部分是圆柱，

所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升.

故选：A.

根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题.

本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•••方差越大则表明数据越分散，

・•・因此第41位同学进来做之后保持两个方差不变，则该同学需要做位于中心的位置，

•••A,B,c三个区域中a区域距离圆心P太近而c区域则太远，

.•・选择B区域，

故选：B.

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差反映的是一组数据的离散程度，根据方差的意义结合

图形即可得出答案.

本题考查了方差，掌握方差的定义是解题的关键.

9.【答案】2

【解析】【分析】

本题主要考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键.

依据算术平方根的定义求解即可.

【解答】

解：V22=4,

4的算术平方根是2.

故答案为：2.

10.【答案】y(x+y)(x-y)

【解析】解：/y—y3

=y(x2—y2)

-y(x+y)(x-y).

故答案为：y(x+y)(x-y).

先提取公因式y,再利用平方差公式进行二次分解.

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关

键，分解要彻底.

11.【答案】—2

【解析】解：原式=1—3

=-2.

故答案为：-2.

根据零指数幕与绝对值的性质解答即可.

此题考查的是零指数基与绝对值，零指数哥：a°=l(a^0).

12.【答案】4

【解析】解：当R=12。时，/=雪=4(/).

故答案为：4.

直接将R=12代入/=片中可得/的值.

此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键.

13.【答案】1500兀

【解析】解：烟囱帽的侧面积为：jx2;rx30x50=15007T(cm2),

故答案为：1500?r.

根据扇形面积公式计算即可.

本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形面积公式是解题的关键.

14.【答案】78°

【解析】解：如图，

由题意得：AB//CD,『j

Z2=/.BCD,fLI

•••Z1=102°,，6

.­.Z.BCD=78°,

Z2=78°,

故答案为：78°.

根据两直线平行，内错角相等得到42=NBCD,由N1的度数求出NBCD的度数，即可得到N2的度数.

本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同

旁内角互补.

15.【答案】72

【解析】解：•••是。。的半径，AE是。。的切线，

ZX=90°,

•••/.AOC=45°,OA1BC,

.­•AE40是等腰直角三角形，

OD=CD,OA=AE,

OA1.BC,

1

・•.CD=”C=1,

OD=CD=lf

OC=720D=<2,

•••AE=0A=OC=/2,

故答案为：V-2.

根据切线的性质得到NA=90。，根据等腰直角三角形的性质得到。。=CD,OA=AE,根据垂径定理得到

CD=^BC=1,于是得到结论.

本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性

质定理是解题的关键.

16.【答案】1154cosa

【解析】解：由题意得：CDIDE,

在RtACDE中，Z.CED=a,CE=577m,

•••DE=CE-cosa=577cosa(m),

•・•点E是BD的中点，

BD—2DE=1154cosa(m),

故答案为：1154cosa.

根据题意可得：CDIDE,然后在RtACDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再利用线段的中

点进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

17.【答案】5

【解析】解：如图所示，

图1图2

・•,正方形的边长为4，1，

・•.GH=^x1x4<2=2，

・•.QG=GH=2,KH=GH=2,

・•,过左侧的三个端点Q、K、L作圆，

QH=LH=4,

•••KH1QL,

.•.点。在KN上，连接0Q,贝|0Q为半径，

设半径为r,

则。H=r-2,

在RtAOHQ中，由勾股定理得，OH?+QN=0Q2,

即(r—2)2+42=产，

解得r=5,

即圆的半径为5,

故答案为：5.

根据不共线三点确定一个圆，根据对称性确定圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求出半径的长.

本题考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理，七巧板图案，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

18.【答案】|

【解析】解：延长4E,。。相交于点H,连接。尸，

・•・/,ABE=MCE=乙ADC=90°,AB=BC=CD=AD=4,

・・・E为BC的中点，

BE=CE=2,

•・•乙AEB=MEH,

'^ABE^AHCE(ASA),

・•.AE=HE=V42+22=2"，HF=AB=4,

•••MNLAE,

・•・/.FAD+乙FND=180°,

・•・/.FAD=乙FNC

•••CF=NF,

・•.Z.FAD=(FNC=乙FCN,

・•・△/£)•△CDF,

.・.AF=CF=NF,

设/F=NF=x,则HF=4V-5—%,

•••乙HFN=Z.HCE,Z.H=zH,

•,△HCEs^HFN,

器=器即高=9

解得尤=苧

口口/r?4门875z口4<5

・••HF=4v5———=—^―，NF=—^―

j等7+（苧尸=争

HN=

；.CN=HN-CH=与-4=鼻.

故答案为：

延长/E,DC相交于点”，连接。F,易证△ABE之得出ZE=AB=CH=4,根据勾股定理

可求出/E="E=2",由MN1/E可得乙兄4。+NPND=180。，进而得出乙凡4。=4FNC=NROV,即

可得出AaDF名△CDF,则4F=CF=NF,设AF=NF=*,则“尸=4后一万，由△HCESAHFN即可

解出工,再用勾股定理求出CN即可解答.

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助

线是解题关键.

19.【答案】解：原式=a2+2a+1+a—a2-1

—3a.

当a=时,

原式=377.

【解析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值.根据

整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可.

20.【答案】解：（1）分一1=急，

方程两边都乘X—2,得%+2—（%—2）=—3%,

x+2-%+2=—3%,

x—x+3x=-2—2,

3%=—4,

检验：当》=一号时，万一240,

所以分式方程的解是尤=-*

(1—2x23①

(2)3x+l„2-x小，

CT~~2<~,

解不等式①，得1,

解不等式②，得x<M，

所以不等式组的解集是xW-1.

【解析】(1)方程两边都乘x-2得出x+2-(%-2)=-3%,求出方程的解，再进行检验即可；

(2)先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即

可.

本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能根据求

不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(2)的关键.

21.【答案】20

【解析】解：(1)投篮命中的学生人数为1+2+3+74-6+1=20(人)，

故答案为：20；

由表格信息可知，投篮命中4个有7人，是人数最多的，故众数为4个；

平均数为1x1+2x2+3x3+4x7+5x64-6x1瓢39（个）,

1+2+3+7+6+1

故篮命中数量的平均数为3.9个;

(2)补全折线统计图如图：

学生人数

(3)原投篮命中数量的中位数是詈=4；

当1和2互换时,中位数为4,没有变化;

当2和3互换时,中位数为4,没有变化;

当3和4互换时，中位数为公拦=3.5,发生变化，此时m=3,n=4；

当4和5互换时，中位数为4,没有变化；

当5和6互换时,中位数为4,没有变化.

■■■m—3,n—4.

(1)将各投篮命中数量的学生人数相加，即可求出投篮命中的学生总数；根据众数的意义即可确定投篮命

中数量的众数；根据加权平均数的计算方法求出平均数即可；

(2)根据表格信息补全折线统计图即可；

(3)分情况讨论，发生变化的情况下71的值即为所求.

本题考查折线统计图，平均数，中位数，众数，理解题意，掌握平均数，中位数，众数的确定方法是解题

的关键.

22.【答案】(呜；

(2)画树状图如下：

开始

ABC

小小小

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB,AC,BA,BC,CA,CB,共6

种，

••・小华、小玲选择不同游玩项目的概率为1=|.

【解析】解：⑴小华选择c项目的概率是最

故答案为：

(2)画树状图如下：

开始

ABC

小4\小

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的结果有：AB,AC,BA,BC,CA,CB,共6

种，

••・小华、小玲选择不同游玩项目的概率为［=|.

(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小华、小玲选择不同游玩项目的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

23.【答案】解：设天头长为6%,地头长为轨，则左、右边的宽为工

根据题意得，100+10x=4x(27+2%)，

解得x=4,

答：边的宽为4cm,天头长为24cni.

【解析】若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.

本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键.

24.【答案】早

【解析】(1)证明：・.・乙DAB=乙DBA,

AD=BD,

X---AC1BD,BE1AD,

NC=NE=90°,

在4BDE^AADC,

ZE=ZC

乙BDE=^ADC,

、BD=AD

.•.△BDE0△4DC(44S)；

(2)vDE=2,BD=AD=3,

BE=VBD2-DE2=V9-4=居,AE=AD+DE=5,

AB=y/BE2+AE2=V5+25=AA30>

■••A4BC的外接圆半径=IAB=学.

故答案为：粤

(1)由“A4S”可证ABDE经△ADC；

(2)分别作AB,AC的垂直平分线，两条直线交于点。，以点。为圆心，。4长为半径画圆即可画出△力8c的

外接圆，由勾股定理可求8E,48的长，即可求解.

本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.

25.【答案】解：(1)•••反比例函数%=:(久＞0)的图象经过点4(4,1),

m=4.

・•・反比例函数解析式为(X>0).

把8(；,a)代入丫2=：(%>0),得a=8.

1

•・•点B坐标为(2,8),

1

••,一■次函数解析式yi=々％+b,经过A(4,l),

f4/c+b=1

"\^k+b=8-

.ffc=-2

tb=9,

故一次函数解析式为：%=-2x+9.

(2)由%-y2>0,

・•.vi>y2,即反比例函数值小于一次函数值.

1

<X<4

由图象可得,2-

(3)由题意，设P(p,-2P+9)且：＜pW4,

4

•••Q(P，”

4

.・.PQ=-2p+9-

14

•••SAPOQ=5(_2p+9_1).p=3.

乙p

解得Pl=1，P2=2.

・•.P(|,4)或(2,5).

【解析】(1)将力点坐标代入即可得出反比例函数%=/。＞0)，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，

再将力、B两点坐标分别代入为=依+6,可用待定系数法确定一次函数的解析式；

(2)由题意即求为＞为的％的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的久的取值

范围；

(3)由题意，设P(p,-2P+9)且JWpW4,则Q(p,±),求得PQ=-2p+9-土，根据三角形面积公式得到

zpp

SXPOQ=3(-2p+9-•p=3,解得即可.

乙P

本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

26.【答案】

【解析】(1)当力=2时，BF=2cm,PF=4cm,BE=8cm.

•・•Z.C=90°,Z-DFE=90°,

ZC+Z-DFE=180°.

・•.AC//DF.

・•.△BHFSRBAC.

/.BF：BC=HF：AC,即2：12=HF：9,

・•.HF=I，

3

一|5

P”=42f

AC

*D93,八3

•••Z-B=Z-D

•・•乙DHG=乙BHF

・•・乙BGE=乙DGH=90°=乙HFB

又・・•乙B=(B,

•••△BEGSABAC

.EGBF_即挺=_§_

**AC=-AB919-15

解得EG=:(czn)

Z-DFE=90°,EF=6cm,DF=8cm

・.・DE=10cm

DG=10—EG=(C7?i),

故答案为：I；y；

(2)只有点P在DF边上运动时，APDE才能成为等腰三角形，且PDPE(如图1)

BF=t,PF—23DF=8,

・•.PD=DF-PF=8-23

在Rt△PEF中，

PE2=PF2+EF2=4t2+36=PD2,即4t2+36=(8-2t)2,

解得t=I,

o

t为:时，APDE为等腰三角形;

(3)当0<tW4时，P在DF上，

与相切，

・•.G为切点，即DG=DP,

,DFH3

tanB=而=4'

3

3

.：DH=DF-FH=8--t,

在Rt△DEF中，DE=VDF2+EF2=V82+62=10,

DGDF_2£_士

・9。n=而=请即0||8号一5,

解得：DG=必”

•・•DG=DP,

当4<tW6时，P在DE上,

•••OD与4B相切，

G和P重合，

⑴当t=2,得到8F=2,PF=4,根据BF：BC=HF；AC,即可求出HF,从而得到PH,利用RtA

BEGsRtABAC,可求出EG,得至IjDG；

(2)根据题意得到PD=PE,则BF=t,PF=2t,DF=8,得至IJPD=DF-PF=8—2t.在Rt△PEF中,

利用勾股定理得到4产+36=(8-2t>，解题即可；

(3)分P在。F上和P在DE上两种情况，利用DG=DP,列方程解题即可.

本题综合考查了三角函数的定义，相似三角形的判定与性质以及勾股定理.解题过程中，运用了分类讨论

的数学思想和方程思想.

27.【答案】解：(1)由题意得：｛；[]+c=0

解得：?=一京

则抛物线的表达式为：y=x2—2%—8；

(2)•・・F是直线第=t与抛物线的的交点，

•*.F(t,r—2t—8).

①如图，若△BEiAsziCEiFi时.

贝iJ/BCFi=乙CBO,

・•・CF1//OB.

・・・C(0,-8),

/-2t—8=-8.

解得：t=0(舍去)或t=2.

②如图，若△BE2。2s△尸2%。时・

过尸2作F2Tly轴于点7.

Z-BCF2=Z-BD2E2=90。，

・・乙乙

•CBO+Z-BCO=90°,Z.F2CT+BCO=90°,

•••Z-F2CT=Z-OBC,

乙

又•・•^CTF2=BOC,

BCOsxCF2T,

，旦=包

COBO

・・•8(4,0),C(0,—8),

.・.OB=4,OC=8.

22

vF2T=t,CT=-8-(t-2t-8)=2t-t,

84

•••2t2—3t=0,

解得：t=0(舍去)或

综上，符合题意的t的值为2或I，

则点尸的坐标为：(2,—8)或(|,—金；

(3)点P在一条定直线上.

由题意知抛物线C2：y=/,

・・,直线OG的解析式为y=2%,

・・・G(2,4)・

•・,”是。G的中点，

・•.77(1,2).

设m2),N(n,n2),

由点M、N第坐标得，直线MN的解析式为y=(TH+几)％-nm.

•・,直线MN经过点H(l,2),

.・・mn=m+n—2.

同理，直线GN的解析式为y=(九+2)%-2九；直线M。的解析式为y=租％.

联立上述两式得：(n+2)%—2n=mx,

・・•直线0M与NG相交于点P,

••・71—m+2W0.

则”=耳，贝0=上£,

n—m+2Jn—m+2

mn=m+n—2,

.p,2n2m+2n—4.

9

-m—m+2n—m+2六

设点P在直线y=kx+b上，则2-+2：；4=忆*—+b,

'n—m+2n—m+2

整理得，27n+2n—4=2kn+bn—bm+2b=—bm+(2k+b)n+2b,

比较系数，得：2=—力且2=2/c+b,

k=2,b=—2.

・•・当k=2,b=一2时，无论m,九为何值时，等式现=fcX—^―-+b恒成立.

?1—m+2n—m+2

・•.点P在定直线y-2x-2上.

【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)①如图，若△BEI/SACE/i时，则ABC6=NCB。，CFJ/OB,即可求解；②如图，^A5£2£)2^A

产2石2c时，证明小3。。6小。尸27,即可求解；

(3)求出直线GN的解析式为y=(n+2)x-2n；直线M。的解析式为y=mx,得到P(三鬲,二露与,即

可求解.

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交