2019-2020学年新教材高中数学第10章概率10.1随机事件与概率课时作业47概率的基本性质新人教A版必修第二册

PAGE1-课时作业47概率的基本性质知识点一概率的性质1.下列结论正确的是()A．事件A发生的概率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．如果A⊆B，那么P(A)<P(B)答案B解析因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1，所以A错误；不可能事件的概率规定为0，必然事件的概率规定为1，所以B正确；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，但并不是不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；由概率的单调性可知，如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，所以D错误.知识点二互斥事件的概率2.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．答案eq\f(4,5)解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5).3．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：等候人数01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人数不超过2的概率；(2)等候人数大于等于3的概率．解设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A∪B∪C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D∪E∪F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.知识点三对立事件的概率4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3答案C解析由对立事件的概率关系知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.5．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：环数7环以下78910命中概率0.13ab0.250.24已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.(1)求a和b的值；(2)求命中10环或9环的概率；(3)求命中环数不足9环的概率．解(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.易错点不能区分事件是否互斥而错用加法公式6.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f(1,6)，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．易错分析由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．正解记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).一、选择题1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))答案D解析由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<2，,\f(5,4)<a<\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).2．下列说法正确的是()A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大答案A解析根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝∅时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为()A.eq\f(5,6)，eq\f(1,2)B.eq\f(1,6)，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)答案A解析P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6).因为事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,6).P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(1,2).4．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是()①A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件；②A1∪A2＋A3是必然事件；③P(A2∪A3)＝0.8；④P(A1∪A2)≤0.5.A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.故选B.5．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为eq\f(7,10)的是()A．都是一级品B．都是二级品C．一级品和二级品各1件D．至少有1件二级品答案D解析设A1，A2，A3分别表示3件一级品，B1，B2分别表示2件二级品．任取2件，则样本空间Ω＝{A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则P(A)＝eq\f(3,10)，事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则P(B)＝eq\f(1,10)，事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”，包含6个样本点，则P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).事件A，B，C互斥，P(B)＋P(C)＝eq\f(7,10)，B∪C表示“至少有1件二级品”，故选D.二、填空题6．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________.答案eq\f(7,26)解析事件A，B为互斥事件，由题意可知P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,26).7．在掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪eq\o(B,\s\up6(－))发生的概率为________．(eq\o(B,\s\up6(－))表示B的对立事件)答案eq\f(2,3)解析随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果，且每种结果发生的可能性是相等的．其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3).且事件A和事件eq\o(B,\s\up6(－))是互斥事件，所以P(A∪eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12)，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________，________，________.答案eq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,4)解析设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，且事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝\f(1,3)，,PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(5,12)，,PA＋PB＋PC＋PD＝1，))解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).三、解答题9．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，∵事件A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).10．甲、乙两人玩一种游戏，每次甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若事件A表示“和为6”，求P(A)；(2)现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解(1)易知样本点总数n＝25，且每个样本点出现的可能性相等．事件A包含的