2019-2020学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课时作业1平面向量的概念新人教A版必修第二册

PAGE1-课时作业1平面向量的概念知识点一平面向量的概念1.下列说法正确的是()A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C．向量的模是正数D．向量的模可以比较大小答案D解析对于A，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A错误；对于B，向量是矢量，不能比较大小，B错误；对于C，零向量的模为0,0不是正数，C错误；对于D，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D.2．有下列说法：①位移和速度都是向量；②若向量eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))满足|eq\o(AB,\s\up15(→))|>|eq\o(CD,\s\up15(→))|，且eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))同向，则eq\o(AB,\s\up15(→))>eq\o(CD,\s\up15(→))；③零向量没有方向；④向量就是有向线段．其中，正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.知识点二向量的几何表示3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up15(→))，使|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；(2)eq\o(AB,\s\up15(→))，使|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝4，点B在点A正东方向上；(3)eq\o(BC,\s\up15(→))，使|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．解(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上，点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4eq\r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq\o(OA,\s\up15(→))，如图所示．(2)由于点B在点A正东方向上，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝4，所以在坐标纸上，点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq\o(AB,\s\up15(→))，如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq\r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq\o(BC,\s\up15(→))，如图所示．4．某船从A点出发向西航行了150km到达点B，然后改变方向向北偏西30°方向航行了200km到达点C，最后又改变方向向东航行了150km到达点D.作出向量eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→)).解作出向量eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))，如图所示．知识点三相等向量与共线向量5.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a，b，若|a|＝|b|且a与b的方向相同，则a＝b；③非零向量a与非零向量b满足a∥b，则向量a与b方向相同或相反；④向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线；⑤若a∥b且b∥c，则a∥c.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析若|a|＝|b|，则向量a与b的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(CD,\s\up15(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，故④不正确；若b＝0，则a与c不一定共线，故⑤不正确．综上可知只有②③正确，故选C.6．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与eq\o(AF,\s\up15(→))，eq\o(AE,\s\up15(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AD,\s\up15(→))的模相等的向量．解(1)与eq\o(AF,\s\up15(→))相等的向量为eq\o(BE,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))，与eq\o(AE,\s\up15(→))相等的向量为eq\o(BD,\s\up15(→)).(2)与eq\o(AD,\s\up15(→))的模相等的向量为eq\o(DA,\s\up15(→))，eq\o(CF,\s\up15(→))，eq\o(FC,\s\up15(→)).7.如图，在△ABC中，三边长AB，BC，AC均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．(1)写出与eq\o(EF,\s\up15(→))共线的向量；(2)写出与eq\o(EF,\s\up15(→))的模相等的向量；(3)写出与eq\o(EF,\s\up15(→))相等的向量．解(1)∵E，F分别为边AC，AB的中点，∴EF∥BC.从而与eq\o(EF,\s\up15(→))共线的向量包括：eq\o(FE,\s\up15(→))，eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CB,\s\up15(→)).(2)∵E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，∴EF＝eq\f(1,2)BC，BD＝DC＝eq\f(1,2)BC.又∵AB，BC，AC均不相等，从而与eq\o(EF,\s\up15(→))的模相等的向量有eq\o(FE,\s\up15(→))，eq\o(BD,\s\up15(→))，eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→)).(3)与eq\o(EF,\s\up15(→))相等的向量有eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→)).8．如图，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，N，M分别是边AD，BC上的点，且eq\o(CN,\s\up15(→))＝eq\o(MA,\s\up15(→)).求证：eq\o(DN,\s\up15(→))＝eq\o(MB,\s\up15(→)).证明∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(CD,\s\up15(→))|且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴|eq\o(DA,\s\up15(→))|＝|eq\o(CB,\s\up15(→))|，且DA∥CB.又∵eq\o(DA,\s\up15(→))与eq\o(CB,\s\up15(→))的方向相同，∴eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(DA,\s\up15(→)).同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴eq\o(CM,\s\up15(→))＝eq\o(NA,\s\up15(→)).∵|eq\o(CB,\s\up15(→))|＝|eq\o(DA,\s\up15(→))|，|eq\o(CM,\s\up15(→))|＝|eq\o(NA,\s\up15(→))|，∴|eq\o(DN,\s\up15(→))|＝|eq\o(MB,\s\up15(→))|.∵DN∥MB且eq\o(DN,\s\up15(→))与eq\o(MB,\s\up15(→))的方向相同，∴eq\o(DN,\s\up15(→))＝eq\o(MB,\s\up15(→)).一、选择题1．下列说法正确的是()A.eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→))就是eq\o(AB,\s\up15(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up15(→))所在的直线平行或重合B．长度相等的向量叫做相等向量C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D．共线向量是在一条直线上的向量答案C解析由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C正确．2．汽车以120km/h的速度向西走了2h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对答案C解析由向量不能比较大小，可知选C.3．下列说法正确的是()A．有向线段eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(BA,\s\up15(→))表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．对任一向量a，eq\f(a,|a|)是一个单位向量答案C解析向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(BA,\s\up15(→))方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a＝0时，eq\f(a,|a|)无意义，故A，B，D错误．零向量与任何向量都是平行向量，C正确．4．下列结论中，正确的是()A．2019cm长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))是单位向量C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D．一个人从A点向东走500米到达B点，则向量eq\o(AB,\s\up15(→))不能表示这个人从A点到B点的位移答案B解析一个单位长度取作2019cm时，2019cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；B正确；C中两向量为平行向量；D中的eq\o(AB,\s\up15(→))表示从点A到点B的位移．5．O是△ABC内一点，且|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|＝|eq\o(OC,\s\up15(→))|，则O是△ABC的()A．重心 B．内心C．外心 D．垂心答案C解析∵|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|＝|eq\o(OC,\s\up15(→))|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴点O是△ABC的外心，故选C.二、填空题6．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq\o(AD,\s\up15(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq\o(AD,\s\up15(→))长度的最小值为________．答案eq\f(5\r(3),2)解析结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为eq\f(5\r(3),2).7．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是边AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量eq\o(EF,\s\up15(→))方向相反的向量为________．答案eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))解析由题意得AB∥EF，CD∥EF，∴在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与eq\o(EF,\s\up15(→))平行的向量为eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BA,\s\up15(→))，其中方向相反的向量为eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→)).8．如图，在△ABC中，∠ACB的角平分线CD交AB于点D，eq\o(AC,\s\up15(→))的模为2，eq\o(BC,\s\up15(→))的模为3，eq\o(AD,\s\up15(→))的模为1，那么eq\o(DB,\s\up15(→))的模为________．答案eq\