辽宁省辽阳市某中学2024年中考数学模试卷（含解析）

辽宁省辽阳市二中学教育协作团队2024年中考数学模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.一元二次方程4x2-2x+L=o的根的情况是（）

4

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

2.如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点。处，折痕为EF,若NABE=20。，那么NEFO

的度数为（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

3.下列事件中为必然事件的是（）

A.打开电视机，正在播放茂名新闻B.早晨的太阳从东方升起

C.随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D.下雨后，天空出现彩虹

4.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其

一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”.意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银

11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问

黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）

llx=9y

A.1/、/、

（10y+x）-（8x+y）=13

10y+x=8x+y

B.<

9x+13=lly

(9x=lly

C(8x+y)-(10y+x)=13

9x=lly

D.<

(10y+x)—(8x+y)=13

5.方程2x2-x-3=0的两个根为（）

3311

A.Xl=—,X2=-1B.Xl=-----，X2=lC.Xl=—,X2=-3D.xi=-----，X2=3

2222

6.运用乘法公式计算（3-a)(a+3)的结果是()

A.a2-6a+9B.a2-9C.9-a2D.a2-3a+9

若分式工有意义，

7.则X的取值范围是

X-1

A.X>1B.X<1C.xWlD.x#0

8.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为()

A.10B.±10C.20D.±20

9.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,

15

D.

~4

10.下列各数中，最小的数是（)

A.0B.72C.1D.一万

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面展开图的面积等于.

X

12.当x时，分式--有意义.

x-3

13.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,

则tanZAEF的值是

14.如图，点A是直线y=-百x与反比例函数y=士的图象在第二象限内的交点，OA=4,则k的值为

X

X

15.一般地，当。、0为任意角时，sin(a+0)与sin(a-0)的值可以用下面的公式求得：sin(a+0)=sina・cos0+cosa・sinp；

sin(a-B)=sina*cosB-cosa*sinB.例如sin900=sin(60°+30°)=sin600*cos300+cos600*sin30°=x+—x—=1.类

2222

似地，可以求得sinl5。的值是.

16.不等式.2x+3>0的解集是

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y2=8交于A、C两点，ABLOA交x轴于点B,且

OA=AB.求双曲线的解析式；求点C的坐标，并直接写出yiVyz时x的取值范围.

18.（8分）如图，AB是。O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E.

C

19.（8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图6所

示.1月份B款运动鞋的销售量是A款的，则1月份B款运动鞋销售了多少双？第一季度这两款运动鞋的销售单价保

持不变，求3月份的总销售额（销售额=销售单价x销售量）；结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、

销售等方面提出一条建议.

A、B两款运动鞋W官管量统计图AsB两款运动鞋总导婚额统计图

20.（8分）如图，AB、CD是。。的直径，DF、BE是弦，且DF=BE,求证：ND=/B.

21.（8分）如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F.

说明理由.

22.（10分）已知关于x的一元二次方程2公+4%+左—1=0有实数根.

（1）求上的取值范围；

（2）若左为正整数，且方程有两个非零的整数根，求上的取值.

23.（12分）已知，抛物线尸a-+c过点（-2,2）和点（4,5）,点尸（0,2）是y轴上的定点，点5是抛物线上除

顶点外的任意一点，直线/：经过点3、歹且交x轴于点A.

由l卸

（1）求抛物线的解析式；

（2）①如图1,过点3作轴于点C,连接尸C,求证:歹C平分N3歹。;

②当左=时，点尸是线段A5的中点；

(3)如图2,M(3,6)是抛物线内部一点，在抛物线上是否存在点5,使A尸的周长最小？若存在，求出这个

最小值及直线/的解析式；若不存在，请说明理由.

24.如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D,卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形(这些

卡片除图案不同外，其余均相同).把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的

卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是;若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张.请用树

状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

试题解析：在方程4x2-2x+=0中，△=(-2)2-4x4x，=0,

4

二一元二次方程4x2_2x+l=0有两个相等的实数根.

4

故选B.

考点：根的判别式.

2、C

【解析】

分析：

由已知条件易得NAEB=70。，由此可得NDEB=110。,结合折叠的性质可得NDEF=55。,则由AD〃BC可得NEFC=125。,

再由折叠的性质即可得到NEFC，=125。.

详解：

\,在AABE中,ZA=90°,ZABE=20°,

NAEB=70°,

:.ZDEB=180o-70°=110°,

•.•点D沿EF折叠后与点B重合,

1

NDEF=NBEF=-NDEB=55°,

2

'在矩形ABCD中，AD〃BC,

.,.ZDEF+ZEFC=180°,

/.ZEFC=180°-55°=125°,

/.由折叠的性质可得NEFC，=NEFC=125。.

故选C.

点睛：这是一道有关矩形折叠的问题，熟悉“矩形的四个内角都是直角”和“折叠的性质”是正确解答本题的关键.

3、B

【解析】

分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：

A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；

B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；

C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；

D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误.

故选B.

4、D

【解析】

根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的

重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可.

【详解】

设每枚黄金重x两，每枚白银重y两,

9x=lly

由题意得:

(10y+x)~(8x+y)=13'

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

5、A

【解析】

利用因式分解法解方程即可.

【详解】

解：(2x-3)(x+1)=0,

2x-3=0或x+l=0,

3

所以Xl=—,X2=-l.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一

次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进

行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

6、C

【解析】

根据平方差公式计算可得.

【详解】

解：(3-a)(a+3)=32-a2=9-a2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查平方差公式，解题的关键是应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，

并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方.

7、C

【解析】

分式分母不为0,所以x—1W0,解得XW1.

故选：C.

8、B

【解析】

根据完全平方式的特点求解：/±2助+比

【详解】

'：x2+mx+25是完全平方式，

:.m=±10,

故选B.

【点睛】

本题考查了完全平方公式:层±2而+眄其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x和1的平方,

那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍.

9、C

【解析】

先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEOs^ACD,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】

VAB=6,BC=8,

•••AC=10（勾股定理）；

1

.,.AO=-AC=5,

2

VEO1AC,

.,.ZAOE=ZADC=90°,

,:ZEAO=ZCAD,

/.△AEO^AACD,

.AEAO

,•耘—75'

即—=-,

108

25

解得，AE=—,

4

257

・・DE=8--=—9

44

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解

题的关键.

10、D

【解析】

根据实数大小比较法则判断即可.

【详解】

一兀VOVK应,

故选D.

【点睛】

本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0,负数都小于0,两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解

题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、24兀cm?

【解析】

解：它的侧面展开图的面积='・1兀・4*6=14兀故答案为14死”"1.

2

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

12、xW3

【解析】

由题意得

x-3/O,

13、1.

【解析】

连接AF,由E是CD的中点、FC=2BF以及AB=2、AD=3可知AB=FC,BF=CE,则可证△ABF^AFCE,进一步

可得到△AFE是等腰直角三角形，贝!|NAEF=45。.

【详解】

解：连接AF,

；E是CD的中点，

.*.CE=-CD=1,AB=2,

2

VFC=2BF,AD=3,

.\BF=1,CF=2,

；.BF=CE,FC=AB,

,:ZB=ZC=90°,

.,.△ABF^AFCE,

，AF=EF,NBAF=NCFE,ZAFB=ZFEC,

/.ZAFE=90°,

AAFE是等腰直角三角形，

/.ZAEF=45°,

；.tanNAEF=l.

故答案为：1.

【点睛】

本题结合三角形全等考查了三角函数的知识.

14、-473.

【解析】

作ANJ_x轴于N,可设A(x,-拒x),在RtAOAN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=-2,得出A(-2,

26),即可求出k的值.

【详解】

解：作ANLx轴于N,如图所示：

•••点A是直线y=-73x与反比例函数y=七的图象在第二象限内的交点，

X

可设A(x,-百x)(xVO),

在RtAOAN中，由勾股定理得：x2+(-^x)2=42,

解得：x=-2,

AA(-2,273)，

代入y="得：k=-2x2^=-473；

x

故答案为-4档.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点A的坐标是解决问题

的关键.

i.A/6-^/2

13、--------•

4

【解析】

试题分析：sinl5°=sin(60°-45°)=sin60°»cos450-cos60°«sin45°=x-—x-.故答案为~.

222244

考点：特殊角的三角函数值；新定义.

3

16、x<—

2

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得.

【详解】

移项，得：-2x>-3,

系数化为1,得：x<23,

2

3

故答案为X<一.

2

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以

或除以同一个负数不等号方向要改变.

三、解答题(共8题，共72分)

4

17、(1)%=—；(1)C(-1,-4),x的取值范围是x<-1或0<x<l.

x

【解析】

【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=lx-1,可得A的坐标，从而得双

曲线的解析式；

(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论.

【详解】⑴I•点A在直线yi=lx-l上，

.,.设A(x,lx-1),

过A作AC_LOB于C,

VAB1OA,且OA=AB,

.•.OC=BC,

1

.•.AC=-OB=OC,

2

x=lx-19

x=L

・・・A(1,1),

；・k=lxl=4,

(4

%二一

x

y=2x2

-伍=2%2=-1

(1)；4，解得：°

y=一[%=2%=—4

IX

AC(-1,-4),

由图象得：yiVyi时x的取值范围是xV-1或0<xVl.

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察

图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大.

3

18、(1)见解析；(2)tanZAOD=—.

4

【解析】

(1)作DFLAB于F,连接OC,则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=0DF,由垂径定理得出NCOE=90。,

证明ADEFsaCEO得出型=空=，如£=0,即可得出结论;

CEDFDF

11EFEO1

(2)由题意得OE=—OA=—OC,同(1)得△DEFs^CEO,得出——=——=—,设。。的半径为2a(a>0),

22DFOC2

则OD=2a,EO=a,设EF=x,则DF=2x,在RtAODF中，由勾股定理求出x=3(a,得出DF=6,a,OF=EF+EO=；8a,

由三角函数定义即可得出结果.

【详解】

(1)证明：作DF_LAB于F,连接OC,如图所示:

VZAOD=45°,

•••△ODF是等腰直角三角形，

/.OC=OD=V2DF,

是弧AB的中点，

/.OC±AB,

/.ZCOE=90°,

VZDEF=ZCEO,

/.△DEF^ACEO,

.ED_OC版DF_r-

••---------------------7z,

CEDFDF

/.CE=72ED；

(2)如图所示：

VAE=EO,

11

.\OE=-OA=-OC,

22

同(1)得:，ADEF^ACEO,

.EFEO1

"DF~OC~2'

设。。的半径为2a(a>0),则OD=2a,EO=a,

设EF=x,则DF=2x,

在RtAODF中，由勾股定理得：(2x)2+(x+a)2=(2a)2,

3

解得：x=-a,或*=-a(舍去)，

68

/.DF=-a,OF=EF+EO=-a,

55

DF3

tanNAOD=—=—.

OF4

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练

掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键.

19、（1）1月份B款运动鞋销售了40双；（2）3月份的总销售额为39000元；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）用一月份A款的数量乘以：，即可得出一月份B款运动鞋销售量；（2）设A,B两款运动鞋的销量单

价分别为x元，y元，根据图形中给出的数据，列出二元一次方程组，再进行计算即可；（3）根据条形统计图和折线

统计图所给出的数据，提出合理的建议即可.

试题解析：（1）根据题意，用一月份A款的数量乘以;：50x^=40（双）.即一月份B款运动鞋销售了40双；（2）设A,

B两款运动鞋的销量单价分别为x元，y元，根据题意得：''二~；一一1,一，解得：三1一’.则三月份的总销

售额是：400x65+500x26=39000=3.9（万元）；（3）从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月增加，比B款运动鞋销量大,

建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋.

考点：1.折线统计图；2.条形统计图.

20、证明见解析.

【解析】

根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是。O的直径，则CE£）=AEB，由FD=EB,得，FD=EB＞由等量减去

等量仍是等量得：CFD—FD=AEB—EB，即PC=AE，由等弧对的圆周角相等，得ND=NB.

【详解】

解：方法（一）

证明：•.'AB、CD是。。的直径，

：•CFD=AEB-

：FD=EB,

,"FD=EB•

CFD—FD=AEB-EB-

即FC=AE-

.\ZD=ZB.

方法（二）

证明：如图，连接CF,AE.

；AB、CD是。O的直径，

/.ZF=ZE=90°(直径所对的圆周角是直角).

,-,AB=CD,DF=BE,

/.RtADFC^RtABEA(HL).

.\ND=NB.

【点睛】

本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解.

21、(1)见解析；(1)见解析.

【解析】

(1)由全等三角形的判定定理AAS证得结论.

(1)由(1)中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，N1=N1；根据角平分线的性质、等量代换以及等

角对等边证得DC=FC,则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE±DF.

【详解】

解：(1)证明：如图，I•四边形ABCD是平行四边形，

又•点F在CB的延长线上,

；.AD〃CF.

/.Z1=Z1.

••,点E是AB边的中点，

；.AE=BE,

Z1=Z2

V在小ADE与4BFE中，<NDEA=ZFEB,

AE=BE

/.△ADE^ABFE(AAS).

(1)CE±DF.理由如下：

如图，连接CE,

由(1)知，△ADE四△BFE,

，DE=FE,即点E是DF的中点，Z1=Z1.

VDF平分NADC,

•*.Z1=Z2.

/.Z2=Z1.

/.CD=CF.

ACE1DF.

22、(1)kW3；(2)k=l

【解析】

(1)根据一元二次方程2r+4*+4-1=0有实数根，可得出△沙，解不等式即可得出结论；

(2)分别把左的正整数值代入方程27+4尤+«-1=0,根据解方程的结果进行分析解答.

【详解】

(1)由题意得：A=16-8(*-1)>0,...驻L

(2)IC为正整数,：.k=l,2,1.

当左=1时，方程2/+4%+左-1=0变为：2/+4*=0,解得：x=0或*=一2,有一个根为零；

当兀=2时，方程2/+4》+4-1=0变为：2X2+4X+1=0,解得：x=~2±^,无整数根；

2

2

当左=1时，方程2/+4x+«-1=0变为：2X+4X+2=0,解得：xi=x2=-l,有两个非零的整数根.

综上所述：k=l.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式：

(1)△>0访程有两个不相等的实数根；

(2)△=oa方程有两个相等的实数根；

(I)△V0访程没有实数根.

23、(1)y=-x2+l；(2)①见解析；②土也；(3)存在点5,使AM3尸的周长最小.△M5尸周长的最小值为11,

43

直线/的解析式为yn1x+Z.

【解析】

(1)用待定系数法将已知两点的坐标代入抛物线解析式即可解答.

(2)①由于3C〃y轴，容易看出N0FC=N5CF,想证明N5尸C=/OFC,可转化为求证NBFC=N5CF,根据“等

边对等角”，也就是求证5c=8F,可作轴于点。，设5(m,-m2+l),通过勾股定理用心表示出8歹的长

4

度，与相等，即可证明.

②用机表示出点A的坐标，运用勾股定理表示出AF的长度，令AF=BF,解关于加的一元二次方程即可.

(3)求折线或者三角形周长的最小值问题往往需要将某些线段代换转化到一条直线上，再通过“两点之间线段最短”

或者“垂线段最短”等定理寻找最值.本题可过点M作MNJ_x轴于点N,交抛物线于点过点3作BEJLx轴于点E,

连接©尸，通过第(2)问的结论

将△MB尸的边5尸转化为此，可以发现，当3点运动到回位置时，△M3尸周长取得最小值，根据求平面直角坐标

系里任意两点之间的距离的方法代入点"与歹的坐标求出旅的长度，再加上MN即是△MB户周长的最小值；将点

M的横坐标代入二次函数求出再联立与F的坐标求出I的解析式即可.

【详解】

(1)解：将点(-2,2)和(4,5)分别代入丁=。必+。，得：

4a+c=2

<

16a+c=5

.1

ci——

解得：<4

c=1

1

・•・抛物线的解析式为：>=:一0+1.

4

(2)①证明：过点5作轴于点