2.1 直线的倾斜角与斜率（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.1直线的倾斜角与斜率知识点一直线的倾斜角与斜率【【解题思路】1.直线倾斜角(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求(2)注意倾斜角的范围．2.求直线的斜率(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．【例1-1】（23-24高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【例1-2】（23-24北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．【例1-3】（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【例1-4】（2024湖北）已知直线的倾斜角为，则的值是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（

）A． B． C． D．3．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为．4．（2024·湖南）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．知识点二直线的倾斜角与斜率的范围【【解题思路】直线的倾斜角与斜率的范围数形结合：一般先根据题意画出图形，再结合正切图像写出范围【例2-1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【例2-2】（23-24浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．【变式】1．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024河北）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对4．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．5．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．知识点三两条直线位置关系之平行【【解题思路】判断两条不重合的直线是否平行的方法【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)的斜率为，经过点，；(3)平行于轴，经过点，；(4)经过点，，经过点，．【例3-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（

）A．直线经过点，直线经过点B．直线经过点，直线经过点C．直线经过点，直线经过点D．直线经过点，直线经过点2．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)经过点，经过点；(2)经过点，经过点；(3)的倾斜角为，经过点；(4)平行于轴，经过点．知识点四两条直线位置关系之垂直【【解题思路】判断两条直线是否垂直两条直线都有斜率的前提下，斜率之积是否等于－1即可有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．【例4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直．(1)经过点；经过点；(2)的斜率为；经过点；(3)经过点；经过点．【例4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（

）A． B．2 C．3 D．4【变式】1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（）A． B．－C． D．－3．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（

）A．的倾斜角为，的斜率为B．的斜率为，经过点，C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的方向向量为4．（22-23高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直：(1)的倾斜角为，经过，两点；(2)的斜率为，经过，两点；(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.知识点五斜率的应用【例5-1】．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形.【例5-2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【变式】1．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．试判断四边形的形状，并给出证明.2．（2024上海）已知，，.（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，．(1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值．(2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值．(3)若为直角三角形，如何求解的值？【题组一直线的倾斜角与斜率】1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（2023·山东济宁·高二期中）直线的倾斜角为，则（

）A．1 B． C．2 D．3．（2024·湖北·高二阶段练习）直线绕原点顺时针旋转后所对应的直线的斜率为（

）A． B． C． D．4（2023·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.5．（2023·江苏·高二课时练习）分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角；(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【题组二直线的倾斜角与斜率的范围】1．（22-23高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞)C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞)3．（2014高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．

5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为，直线l的斜率的取值范围为．6．（2024高三·全国·专题练习）直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是．7．（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．【题组三两条直线位置关系之平行】1．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（）A．2 B． C．2或 D．或2．（23-24高二下·北京怀柔·开学考试）已知直线：，：若，则实数（

）A．或 B． C． D．与3．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（

）A． B． C．1 D．04．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）下列各组直线中与一定平行的是（

）A．经过点，经过点B．经过点，经过点C．的倾斜角为，经过点D．平行于轴，经过点5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则6．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)平行于y轴，经过点，；(3)经过点，，经过点，．7．（22-23高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行：(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，，，．【题组四两条直线位置关系之垂直】1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为.3．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直．(1)的斜率为，经过点，；(2)经过点，，经过点，；(3)经过点，，经过点，．4．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)经过点经过点；(2)经过点经过点．5．（23-24高二·江苏·课后作业）判断下列各组