第二章 直线与圆方程 章末总结与测试（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

第二章直线与圆的方程章末总结与测试考点一直线的斜率与倾斜角1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（

）A．4 B．C．4或0 D．4或【答案】C【解析】因为，，当时，，显然满足题意；当时，，解得；综上，或.故选：C.2．（2024北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】如图，因为表示点和点连线的斜率，又，所以，，由图知，的最小值为，

故选：C.3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．【答案】C【解析】已知直线与直线平行，则当且仅当，解得或.故选：C.4．（2024江苏）已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，而，于是直线l的斜率或，所以直线l斜率k的取值范围是，故选：C5．（2024·全国·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由可得，解得或.当时，：，：，显然，重合，舍去，故时，.因此“”是“”的充要条件.故选：C6．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】因为，故即，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：C.考点二直线的方程1（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，设与直线垂直的直线的方程为，则，得，所以所求直线方程为.故选：A2．（22-23高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得反射光线所在直线经过点，设点关于x轴的对称点为，则根据反射定律，点在反射光线所在直线上，故反射光线所在直线的方程为，即，故选：A．3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）（多选）已知直线，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．直线一定经过第四象限D．点到直线的最大距离为【答案】BD【解析】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；对于D，如图所示：设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；故选：BD4．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（

）A．， B．当时，C．当时， D．，使得【答案】AB【解析】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，可知表示直线上所有的点，所以，故A正确；对于选项B：当时，则，，联立方程，解得，所以，B正确；对于选项C：当时，则有：若，则；若，可知直线与直线平行，且，可得，解得；综上所述：或，故C错误；对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．故选：AB．5（2024云南）已知直线，点．求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线的对称直线的方程；(3)直线关于点对称的直线的方程．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）设，由得，则，解得，故.（2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，设对称点为，则，解得，即，设与的交点为，则由，解得，即，又经过点，故，所以直线的方程为，即.（3）设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线上，所以，即直线的方程为.

考点三三种距离1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】直线可化为，直线可化为，所以两平行直线之间的距离为.故选：A.2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）点到直线l：的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点到直线l：的距离为.故选：A3．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】直线l：，整理得，由，可得，故直线恒过点，点到的距离，故；直线l：的斜率，故，解得故选：B.考点四圆的方程1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意设圆心为，则圆的方程为，又，解得，所以圆的方程为.故选：D2（23-24四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圆可知，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故以为直径的圆的方程为，故选：D3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．【答案】A【解析】由题意设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入中，即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可设圆心为，半径为，所以且，解得，故圆的方程为，即，故选：B.5（21-22高二上·安徽芜湖·期中）（多选）设圆，则下列命题正确的是（

）A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上【答案】AD【解析】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；对于D，圆心始终在直线上，D正确.故选：AD.6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（

）A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝【答案】CD【解析】题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋(y±)2＝.考点五直线与圆1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆的圆心为，半径，因为到直线的距离，所以.故选：B.2．（2024广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由得，所以圆心，半径，因为圆上恰有三点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离为1，即，解得，故选：C．3．（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选）已知圆，直线.则下列命题正确的有（

）A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为C．直线与圆恒相交D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为【答案】ACD【解析】对于A，由已知可得，圆心，半径，直线方程可化为，由，可得，所以直线恒过定点，A选项正确；对于B，将代入圆的方程有，解得，弦长为，B项错误；因为点到圆心的距离为，所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确；当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以，代入点斜式方程有，即，D正确.故选：ACD.4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知圆C：，直线l：（），则（

）A．直线l恒过定点B．存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点C．当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1D．圆C与圆恰有两条公切线【答案】ACD【解析】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误；对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为，而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确；对于D，圆化为，圆的圆心为，半径为4，两圆圆心距为，两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.故选：ACD.5．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．(2)求的最大值和最小值．(3)求的最大值和最小值【答案】(1)最大值为，最小值为(2)最大值为，最小值为(3)最大值为，最小值为【解析】（1）圆心到直线的距离为．∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为．（2）解法一：设，则直线与圆有公共点，∴，解得，则，即的最大值为，最小值为．解法二：设，则，其中，∴得，即的最大值为，最小值为．（3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，设，即，直线与圆有交点，设，解得．则，即的最大值为，最小值为．考点六圆与圆1．（2024北京·阶段练习）圆．与圆的位置关系是（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】C【解析】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，又，所以两圆的位置关系为外切，故选：C.2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（

）A． B． C．5 D．2【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，圆圆心，半径，而，则两圆相交，于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离，所以公共弦长为.故选：D3（23-24高三上·吉林·阶段练习）两圆与的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为4，所以圆心距．又，所以两圆相交，所以公切线只有2条．故选：B4．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：，显然点在直线上，因此线段是圆的直径，所以.故选：C5．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【答案】D【解析】圆：，所以圆心，半径为.由点到直线距离公式得：，且，所以.又圆的圆心，半径为：1.所以，.由，所以两圆内含.故选：D6．（2024·山东青岛·三模）（多选）已知动点分别在圆和上，动点在轴上，则（

）A．圆的半径为3B．圆和圆相离C．的最小值为D．过点做圆的切线，则切线长最短为【答案】BD【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，圆的半径为，A错误；对于B，，圆和圆相离，B正确；对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，由圆的性质得，，当且仅当点与重合，且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；对于D，设点，过点的圆的切线长，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BD

7．（22-23高二上·吉林·阶段练习）（多选）已知，则下述正确的是（

）A．圆C的半径B．点在圆C的内部C．圆C与圆的公共弦所在直线方程为D．圆与圆C相交【答案】ACD【解析】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确；对于B，将点代入圆的标准方程中得，所以点在圆的外部，故B错误；对于C，由两圆方程相减得，则公共弦所在直线方程为，故C正确；对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确.故选：ACD.8．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由题知，两圆半径，所以，故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，当直线过的中点，且与垂直时，因为，所以直线的方程为，即；当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，所以，解得或，所以直线的方程为或．故选：ABC．一、单选题1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为直线经过点且斜率为，所以直线方程为，即.故选：D.2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆C：，知，圆心到直线的距离为：，解得：.故选：A3．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（

）A．-2 B． C． D．【答案】D【解析】由题意得圆心在直线上，则，解得.故选：D.4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题意可知若，则，又因为即，故，即.故选：B.5．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（

）A．当时，方程表示圆心为的圆B．当时，方程表示圆心为的圆C．当时，方程表示的圆的半径为D．当时，方程表示的圆与y轴相切【答案】A【解析】由题意，方程，可化为，当时，，方程表示点，故A错误；当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确；当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确；当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确，故选：A.6．（23-24高二下·云南昭通·期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径.若圆的切线关于直线对称，则，结合直线的斜率，可知直线的方程为，由，解得，所以，，由对称性可知，故，故选：B.7．（24-25高三下·江西·阶段练习）过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线，曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示），设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以，因为，易知，又与曲线相切，由，解得，所以，所以直线斜率的取值范围为.故选：B.8．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，MN的中点，则，．又因为，，则，所以．若以MN为直径的圆过点，则，且，，可得，即，整理得，所以Q在圆心为、半径为的圆上．因为，可知点O在圆外，则，所以．故选：C．二、多选题9．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角的取值范围是B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．【答案】AD【解析】对于A：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确.对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；.对于D：经过平面内任意相异两点的直线：当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，也能用方程表示，故D正确.故选：AD.10．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与点，则（

）A．圆的半径为2 B．点在圆外C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为【答案】BD【解析】因为，即，所以圆心为，半径，故A错误；又，所以点在圆外，故B正确，C错误；因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确.故选：BD11．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（

）A．若圆关于直线对称，则B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为C．若，动点在圆上，则的最大值为30D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上，将代入方程解得，故正确.对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短，此时，圆心到直线的距离为弦长为，故错误.对于，设，，，，由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确.对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.

故选：ACD三、填空题12．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是．①直线恒过定点；②直线在y轴上的截距为1；③直线的倾斜角为150°；④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为．【答案】③【解析】直线即直线，当时，，即直线恒过定点，①错误；直线，即在轴上的截距为，②错误；直线的斜率为，则倾斜角为150°，③正确；因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为，所以直线的方程为或，④错误.故答案为：③.13．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是．【答案】3或【解析】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切．圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，而两圆圆心距，即，解得的值为3或．故答案为：3或14．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是．①无论k取何值，圆心始终在直线上；②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为；③若圆O与圆的公共弦长为，则或；④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为．【答案】①③④【解析】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确；对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误；对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确；对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确．故答案为：①③④

四、解答题15．（24-25高二·上海·随堂练习）已知圆C过三点．(1)求圆C的方程；(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）解：因为圆过点，故圆心在上，设圆心坐标，则，解得．故其半径．故圆的方程为：；（2）设直线l的方程为：，因为为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离，即，解得或－8，所以l：或．16．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且(1)求圆的标准方程；(2)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；(3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.【答案】(1)(2)或(3)或【解析】（1）设圆心，，由于，所以，所以，即圆心的坐标为，则圆的方程为；（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切；若直线的斜率存在，设直线的斜率为，