第三章 圆锥曲线 章末总结及测试（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

第三章圆锥曲线章末总结及测试考点一定义1．（2024·陕西商洛）已知椭圆的长轴长为20，离心率为，左､右焦点为，若上的点满足，则的面积是（

）A． B． C． D．2．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．323（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，若，则的面积为（

）A． B．1 C．2 D．34（2024·江西宜春）（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（

）A． B．C．的面积为2 D．的内切圆半径为5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）（多选）下列结论正确的是（

）A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为16．（23-24河北秦皇岛·开学考试）（多选）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（

）A．的最小值为 B．最小值为C．最小值为 D．最小值为考点二标准方程1．（2024安徽·期中）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·广东珠海·期末）已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为．考点三离心率1．（23-24高二上·江西赣州·期中）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（24-25湖北武汉·开学考试）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．

考点四直线与曲线的位置关系1．（2024·湖南衡阳）已知直线与椭圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·全国·模拟预测）在区间内随机抽取一个实数，则事件“直线与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上”发生的概率为（

）A．1 B． C． D．5．（2024·江苏宿迁）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（

）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点五弦长1．（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（

）A． B． C． D．3．（24-25河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（

）A．6 B．8 C． D．4．（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（

）A． B．4 C． D．85．（2023·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（

）A．8条 B．4条 C．2条 D．1条6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于，两点，若面积是面积的2倍，则m等于（

）A．6 B． C． D．7．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·四川成都·期末）抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（

）

A． B．214 C． D．

考点六点差法1．（2024·陕西安康）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西宝鸡）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．34．（2024北京）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（

）A． B． C． D．5（2024河南·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．36．（2024湖北·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．考点七轨迹方程1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（

）A．为部分圆 B．为部分线段C．为部分抛物线 D．为部分椭圆2（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为.4．（2024高三·全国·专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;5．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程.考点八实际应用1．（2024·重庆）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（

）

A． B．C． D．2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小3（2024湖北荆州）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚.已知各观测点到该中心的距离是.则该巨响发生在接报中心的（

）处.（假定当时声音传播的速度为3，相关各点均在同一平面上）A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离4．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（

）A． B． C． D．5．（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒：若，则的长轴长与的实轴长之比为（

）

A． B． C． D．6（2024·新疆·一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比.一、单选题1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（

）A． B．20 C． D．162．（23-24高二上·江西赣州·期中）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：①直线的斜率的取值范围是；②点P到C的两条渐近线的距离之积为；③；④．其中所有正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（

）A． B． C． D．7．（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（）A．

B．C． D．8．（23-24高二下·安徽·期末）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆：的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高二下·上海·期末）已知曲线C：，下列结论中正确的有（

）A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若，则C是圆，其半径为C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若，，则C是两条直线10．（23-24江苏无锡）设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（

）A．离心率B．面积的最大值为1C．以线段为直径的圆与直线相切D．动点P到点的距离的最小值为11．（江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题）已知抛物线Γ：的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（

）A．直线AB的倾斜角大于60°B．若，则C．点P可能在第一象限D．直线PB的横截距不可能是三、填空题12．（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是．13．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点