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文档简介
抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称:如果函数满足,就有,则的图象关于直线对称.记法:自变量关于a对称,函数值相等.例如,表示关于对称,表示关于对称.2.中心对称:若函数满足,就有,则关于点对称.记法:自变量关于a对称,函数值关于b对称.例如,表示关于对称,表示关于对称.3.常用结论(视频中有推导这些结论):(1)如果函数有两条对称轴,则一定是周期函数,周期为对称轴距离的2倍.(2)如果函数有一条对称轴,一个对称中心,则一定是周期函数,周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.(3)如果函数有在同一水平线上的两个对称中心,则一定是周期函数,周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数满足,且在上为增函数,则()A. B.C. D.【解析】的图象关于直线对称,所以,因为,且在上为增函数,所以,从而【答案】C【例2】己知函数满足,若函数共有3个不同的零点、、,则_________.【解析】的图象关于对称,,由于的图象也关于对称,故它们的交点关于对称,设,则必有且,故.【答案】3【例3】已知函数满足,若,则_______.【解析】,分别取和得:,两式相加得:,又,所以.【答案】0【例4】偶函数的图象关于直线对称,若,则_______.【解析】由题意,周期为4,故.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期,周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】(2018·新课标Ⅱ卷)若是定义域为的奇函数,满足,若,则=()A. B.0 C.2 D.50【解析】因为是奇函数,且,所以,故,所以,即是以4为周期的周期函数,故,在中取知,又,所以,故.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期,周期为二者之间距离的4倍,熟悉这一结论,可直接得出本题的周期为4.【例6】定义在R上的奇函数满足,当时,,则_______.【解析】由题意,有对称中心和,故其周期为2,所以.【答案】【反思】若有位于同一水平线上的两个对称中心,则为周期函数,周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数满足,且在上为减函数,则()A. B.C. D.【解析】的图象关于对称,结合在上为减函数知当自变量与2的距离越大时,函数值越小,如图,而,,,所以,故.【答案】B2.函数满足,且当时,,则()A. B.C. D.【解析】,当时,,所以在上单调递增,故.【答案】A3.已知函数满足,若函数共有3个零点,,,则________.【解析】的图象关于对称,,而的图象也关于对称,故它们的交点也关于对称,所以.【答案】4.设是定义在R上的偶函数,且,若,则=_______.【解析】由题意,有对称轴和,故其周期为2,.【答案】15.(多选)设是定义在R上的偶函数,且对任意的,都有,当时,,则()A.是周期函数,且周期为2B.的最大值是1,最小值是C.在上单调递减,在上单调递增D.当时,【解析】A项,是偶函数关于对称,关于对称,所以是以4为周期的周期函数,故A项错误;B项,当时,,结合是周期为4的偶函数可作出的草图如图,由图可知,,故B项正确.C项,由图可知C项正确;D项,在中将换成得,故当时,,所以,故D项错误.【答案】BC6.设定义域为R的奇函数满足,当时,,则_______.【解析】由题意,有对称中心和对称轴,故其周期为4,所以.【答案】7.若是定义域为R的奇函数,,若,则______.【解析】的对称中心和对称轴周期为4,在中取知,又,,所以,故.【答案】18.函数满足,,且,则_______.【解析】由知关于点对称,由知关于对称,所以是以4为周期的周期函数,故.【答案】9.已知函数,定义域为R的函数满足,若函数与的图象的交点为,,…,,则()A.0 B.6 C.12 D.24【解析】注意到函数为奇函数,其图象关于原点对称,所以的图象关于点对称,又,所以的图象也关于点对称,从而与的图象的交点关于对称,所以,,故.【答案】B10.奇函数满足,若当时,,则函数的零点个数为______.【解析】的图象关于点对称,又为奇函数,所以的图象关于原点对称,所以的周期为2,如图,与的图象共有9个交点,即函数有9个零点.【答案】911.偶函数满足,当时,,则函数的所有零点之和为()A.4 B.6 C.8 D.10【解析】的图象关于对称,为偶函数的图象关于y轴对称,所以的周期为2,,作出图象如图,由图可知两函数有6个交点,且它们两两关于直线对称,从而零点之和为6.【答案】B12.偶函数满足对任意
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