抽象函数的对称性常用结论

抽象函数的对称性常用结论知识与方法1.轴对称：如果函数满足，就有，则的图象关于直线对称.记法：自变量关于a对称，函数值相等.例如，表示关于对称，表示关于对称.2.中心对称：若函数满足，就有，则关于点对称.记法：自变量关于a对称，函数值关于b对称.例如，表示关于对称，表示关于对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数满足，且在上为增函数，则（）A. B.C. D.【解析】的图象关于直线对称，所以，因为，且在上为增函数，所以，从而【答案】C【例2】己知函数满足，若函数共有3个不同的零点、、，则_________.【解析】的图象关于对称，，由于的图象也关于对称，故它们的交点关于对称，设，则必有且，故.【答案】3【例3】已知函数满足，若，则_______.【解析】，分别取和得：，两式相加得：，又，所以.【答案】0【例4】偶函数的图象关于直线对称，若，则_______.【解析】由题意，周期为4，故.【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若是定义域为的奇函数，满足，若，则=（）A. B.0 C.2 D.50【解析】因为是奇函数，且，所以，故，所以，即是以4为周期的周期函数，故，在中取知，又，所以，故.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题的周期为4.【例6】定义在R上的奇函数满足，当时，，则_______.【解析】由题意，有对称中心和，故其周期为2，所以.【答案】【反思】若有位于同一水平线上的两个对称中心，则为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.已知函数满足，且在上为减函数，则（）A. B.C. D.【解析】的图象关于对称，结合在上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而，，，所以，故.【答案】B2.函数满足，且当时，，则（）A. B.C. D.【解析】，当时，，所以在上单调递增，故.【答案】A3.已知函数满足，若函数共有3个零点，，，则________.【解析】的图象关于对称，，而的图象也关于对称，故它们的交点也关于对称，所以.【答案】4.设是定义在R上的偶函数，且，若，则=_______.【解析】由题意，有对称轴和，故其周期为2，.【答案】15.（多选）设是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则（）A.是周期函数，且周期为2B.的最大值是1，最小值是C.在上单调递减，在上单调递增D.当时，【解析】A项，是偶函数关于对称，关于对称，所以是以4为周期的周期函数，故A项错误；B项，当时，，结合是周期为4的偶函数可作出的草图如图，由图可知，，故B项正确.C项，由图可知C项正确；D项，在中将换成得，故当时，，所以，故D项错误.【答案】BC6.设定义域为R的奇函数满足，当时，，则_______.【解析】由题意，有对称中心和对称轴，故其周期为4，所以.【答案】7.若是定义域为R的奇函数，，若，则______.【解析】的对称中心和对称轴周期为4，在中取知，又，，所以，故.【答案】18.函数满足，，且，则_______.【解析】由知关于点对称，由知关于对称，所以是以4为周期的周期函数，故.【答案】9.已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（）A.0 B.6 C.12 D.24【解析】注意到函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，又，所以的图象也关于点对称，从而与的图象的交点关于对称，所以，，故.【答案】B10.奇函数满足，若当时，，则函数的零点个数为______.【解析】的图象关于点对称，又为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以的周期为2，如图，与的图象共有9个交点，即函数有9个零点.【答案】911.偶函数满足，当时，，则函数的所有零点之和为（）A.4 B.6 C.8 D.10【解析】的图象关于对称，为偶函数的图象关于y轴对称，所以的周期为2，，作出图象如图，由图可知两函数有6个交点，且它们两两关于直线对称，从而零点之和为6.【答案】B12.偶函数满足对任意