2021-2022学年江苏省无锡市九年级上学期数学期末试题及答案

2021-2022学年江苏省无锡市九年级上学期数学期末试题及

答案

参考公式：一组数据不、&、…、七的平均数为嚏，则方差

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.2x+y=2B.2X3-X=0C.X+-=7D.

y

2x-x2=7

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案.

【详解】解：A.2x+y=2,是二元一次方程，故本选项不符合题意.

B.2必_》=0,是一元三次方程，故本选项不符合题意.

C.x+-=7,是分式方程，故本选项不符合题意.

y

D.2x-f=7,该一元二次方程，故本选项符合题意.

故选D.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义含有一个未知数，并且含未

知数的项的次数为2,系数不为0的整式方程是解题关键.

2.已知。0的半径为4,04=5,则点人在（）

A.©0内B.。0上C.©0外D.无法确

定

【答案】C

【解析】

【分析】根据。0的半径r=4,且点A到圆心0的距离d=5知d〉r,据此可得答案.

【详解】解：的半径r=4,且点A到圆心0的距离d=5,

d>r,

...点A在。。外，

故选：C.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,

点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外=d>r；②点P在圆上=d=r；③点P在圆

内Qd<r.

3.若a是从“-1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程

(a—1)/+》-3=0为一元二次方程的概率是()

311

A.1B.—C.-D.一

423

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0,四个数中有一个1不能取，a是从

“-1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件的情况

有3种，然后利用概率公式计算即可.

【详解】解：当a=l时于x的方程(a-1)必+》—3=0不是一元二次方程，其它三个数都

是一元二次方程，

a是从“-1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，有四种等可能的结果，其中满足条件

的情况有3种，

3

关于X的方程-1)必+x-3=0为一元二次方程的概率是7，

故选择B.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，列举法求概率，掌握一元二次方程的定义，列举

法求概率方法是解题关键.

4.一组样本数据为1、2、3、3、6,下列说法错误的是()

A.平均数是3B.中位数是3C.方差是3D.众数是

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得.

【详解】A、平均数为I+.+；+3+6=3,故此选项不符合题意；

B、样本数据为1、2、3、3、6,则中位数为3,故此选项不符合题意；

C、方差为;义[。—3>+(2—3)2+(3—3)2+(3—3)2+(6—3)2]=2.8,故此选项符合题

忌；

D、众数为3,故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差.平均数平均数表示一组数据的平均程

度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中

间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.

5.一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为

x,根据题意所列方程正确的是（）

A.60/=48.6B.60（l-x）~=48.6C.60（l+x）~=48.6D.

60（1-2%）=48.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据等量关系：原价义（1-X）2=现价列方程即可.

【详解】解:根据题意，得：60（l-x）2=48.6,

故答案为：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键.

6.在圆内接四边形ABCD中，NA、/B、/C的度数之比为2：4：7,则NB的度数为

（）

A.140°B.100°C.80°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】ZA+ZC=180°,NZ:N8:NC=2:4:7,NZ=40。，进而求解£）3的值.

【详解】解：由题意知NZ+NC=180°

•••"Z8:NC=2:4:7

：.ZA:（180-ZA）=2:7

：.ZA=40°

,：ZA:ZB=2:4

：.ZB=80°

故选C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补.解题的关键在于根据角度之间的数量关系

求解.

7.如图，在平面直角坐标系中，^（0,-3）,8（2,-1）,C（2,3）.则AABC的外心坐标为

()

A.(0,0)B.(-1,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC〃y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=l,

再由外心的定义可知AABC外心的纵坐标为1,则设AABC的外心为P(a,T),利用两点

距离公式和外心的性质得到

=a2+(l+3)2=a2+16=PS2=(a-2)2+(l+l)2=tz2-4a+8,由此求解即可.

【详解】解：点坐标为(2,-1),C点坐标为(2,3),

直线BC〃y轴，

直线BC的垂直平分线为直线y=l,

..•外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，

/.△ABC外心的纵坐标为1,

设AABC的外心为P(a,1),

=a2+(l+3)2=a2+16=PS2=(a-2)2+(l+l)2=a2-4a+8,

,•a2+16=<2-4a+8,

解得a--2,

••.△ABC外心的坐标为(-2,1),

故选D.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在

于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点.

8.如图，AB是。。的直径，CD是。。的弦，且CD〃45,AB=12,CD=6,则图中

阴影部分的面积为()

A.18%B.12%C.6〃D.3万

【答案】C

【解析】

【分析】如图，连接OC,0D,可知△COD是等边三角形，〃=NCO0=6O°,r=6,

2

S阴影=S扇形3=黑及计算求解即可.

【详解】解：如图连接OC,0D

OC=OD=-AB=CD

2

/.△COD是等边三角形

/.NCOD=60°

由题思知^/\ACD-S&COD,

_n7ir~_60x^-x62_

阴影=扇形c"=丽=360=

故选C.

【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形等知识.解题的关键在于用扇形表示阴影面

积.

9.定义一种新运算：a㊉b=2a+b,睬b=c^b，则方程（》+1蟀2=（3㊉x）—2的解

是（）

1.11。,

A.Xj=—,%=_2B.X1=-1,x2=—C.Xj=,X2-2.D.XJ=1

1

，X2=-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据新定义列出关于x的方程，解方程即可.

【详解】解：由题意得，方程（》+1怦2=（3㊉x）—2,化为2（x+iy=6+x—2,

整理得，2/+3x-2=0，

a=2,b=3,c=—2,

,-b±yJb2-4ac-3±5

••x=------------------=-------->

2a4

x

解得：i=~>x2=-2,

故选A.

【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确理解新运算、掌握公式法解一元二次方

程的一般步骤是解题的关键.

10.如图，在Rt^ABC中，/氐4。=90°,AB=AC=6,点D、E分别是AB、AC的中

点.将4ADE绕点A顺时针旋转60°,射线BD与射线CE交于点P,在这个旋转过程中有

下列结论：①△AECg^ADB；②CP存在最大值为3+36；③BP存在最小值为3行-3；

④点P运动的路径长为后万.其中，正确的（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据/氏4。=90。，48=ZC=6,点D、E分别是AB、AC的中点.得出

ZDAE=90°,AD=AE=-x6=3,可证NDAB=NEAC,再证ADAB0Z\EAC（SAS）,可判断

2

①△AEC0Z\ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为。A的切线时，CP最

大，根据△AECWZ\ADB,得出/DBA=NECA,可证/P=NBAC=90°,CP为。A的切线，证明

四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3,在Rt^AEC中，CE=

yjAC2-AE2=yjAC2-AE2=762-32=3G，可判断②CP存在最大值为3+3G正

确；ZiAEC0Z^ADB,得出BD=CE=3A/L在Rt^BPC中，BP最小=

J5c2_PC最大2=小亚)2—(3+3行『=3百—3可判断③BP存在最小值为3a-3不

正确；取BC中点为0,连结AO,OP,AB=AC=6,ZBAC=90°,BP=C0=A0=

-5C=~^AB2+AC2=-x672=3V2,当AE_LCP时,CP与以点A为圆心，AE为半径

222

4E31

的圆相切，此时sin/ACE=---,可求NACE=30°,根据圆周角定理得出

AC62

ZA0P=2ZACE=60°,当ADLBP'时，BP'与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，止匕时

sinZABD=—=-=可得/ABD=30°根据圆周角定理得出/AOP'=2/ABD=60°,点

AB62

P在以点。为圆心，0A长为半径的圆上运动轨迹为力或⑸，L力

=I2。"*3=也兀可判断④点p运动的路径长为亚兀正确即可.

180

【详解】解：•••/8ZC=90。，4B=NC=6,点D、E分别是AB、AC的中点.

.•.ZDAE=90°，AD=AE=-x6=3,

2

.*.ZDAB+ZBAE=90o,ZBAE+ZEAC=90°,

.\ZDAB=ZEAC,

在ADAB和AEAC中，

AD=AE

<NDAB=ZEAC,

AB=AC

/.△DAB^AEAC(SAS),

故①△AECgZkADB正确；

作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为。A的切线时，CP最大,

VAAEC^AADB,

ZDBA=ZECA,

ZPBA+ZP=ZECP+ZBAC,

.•.ZP=ZBAC=90°,

：CP为。A的切线，

/.AE±CP,

/.ZDPE=ZPEA=ZDAE=90°,

，四边形DAEP为矩形，

VAD=AE,

四边形DAEP为正方形，

/.PE=AE=3,

在RtAAEC中,CE=sjAC2-AE2=ylAC2-AE2=A/62-32=3G，

***CP最大=PE+EC=3+36>

故②CP存在最大值为3+3百正确；

VAAEC^AADB,

；.BD=CE=3®，

在RtABPC中，BP最小=J5c2_%最大2=6⑹②—(3+3国=3百-3，

BP最短=BD-PD=36-3,

故③BP存在最小值为372-3不正确；

取BC中点为0,连结AO,0P,

VAB=AC=6,ZBAC=90°,

BP=C0=A0=—BC=—\lAB2+AC2=—x6A/2=3A/2,

222

当AE_LCP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin/ACE=d£=之=!，

AC62

.-.ZACE=30o,

.-.ZA0P=2ZACE=60°,

当ADLBP'时，BP'与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin/ABD=四=之=一

AB62

ZABD=30°,

AZAOP,=2/ABD=60°,

・••点P在以点0为圆心，OA长为半径的圆上运动轨迹为属或越,

.T,_T/—~~60TTX3A/2rr

・・Lpa=L尸％二----------------------=72乃.

180

故④点P运动的路径长为应乃正确；

正确的是①②④.

故选B.

Df

P。J"X/!\义pt

：!7•二2sx

R\；c

【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正

方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准

确图形是解题关键.

二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分.不需写出解答过程，只需把答案直接

填写在答题卡上相应的位置）

11.请写出一个一元二次方程，使得它的一个根为0,另一个根不为0：.

【答案】x2-x=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】一元二次方程可表示为x（x+a）=0，的形式，任取a70的值代入求解即

可.

【详解】解：由题意知，一元二次方程可表示为x（x+a）=0,awO的形式

当。=一1时，一元二次方程为必-%=0

故答案为：x2-x=0（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了一元二次方程.解题的关键在于正确的写出方程的因式分解的形式.

12.用配方法将方程/+4x=0化成(x+%y=〃的形式：.

【答案】(X+2)2=4

【解析】

【分析】配方法表示方程即可.

【详解】解：X2+4X=0

/+4%+4=4

(x+2)2=4

故答案为：(X+2)2=4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法.解题的关键在于识别方程的形式并正确的表

示.

13.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中

的数为3的倍数的概率是.

【答案】:

3

【解析】

【分析】直接利用概率公式计算可得答案.

【详解】在这6个数字中，为3的倍数的有3和6,共2个，

任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是2:=—1

63

故答案为：一.

3

【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可

能出现的结果数个所有可能出现的结果数.

14.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=5cm,BC=12cm,以BC边所在的直线为轴，将

△ABC旋转一周得到的圆锥侧面积是.

B

【答案】65万cm?

【解析】

【详解】解：根据题意得：

VZC=90°,AC=5cm,BC=12cm,

•••母线长1=13,半径r为5,

1,

...圆锥的侧面积是S=—x2^-x5xl3=65^cm.

2

故答案为：65^cm2

15.某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下:

测试项目采访写作计算机操作创意设计

测试成绩（分）828580

如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按5：2：3计算，则该应聘者的素质测试

平均成绩是分.

【答案】82

【解析】

【分析】根据加权平均数公式采访写作的成绩X权重+计算机操作的成绩X权重+创意设计

的成绩义权重计算即可.

【详解】解：该应聘者的素质测试平均成绩是

523

—x82+—x85+—x80=41+17+24=82.

101010

故答案为82.

【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数公式是解题关键.

16.一个直角三角形的斜边长cm,两条直角边长的和是6cm,则这个直角三角形外接

圆的半径为cm,直角三角形的面积是cm2.

【答案】①.石②.4

【解析】

【分析】设一直角边长为X,另一直角边长为（6-X）根据勾股定理/+（6-X）2=（26『

,解一元二次方程求出七=2,%=4,根据这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，

可求外接圆的半径为6cm,利用三角形面积公式求gx2x4=4cm2即可.

【详解】解：设一直角边长为x,另一直角边长为（6-x）,

..•三角形是直角三角形，

,根据勾股定理-+（6-x）2=（26I

整理得：x2-6x+8=0，

解得X1=2,x2=4,

这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，

外接圆的半径为石cm,

三角形面积为一x2x4=4cm2.

2

故答案为石；4.

【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三

角形面积，掌握以上知识是解题关键.

17.古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法.以方程/+3%=20为例，三国时

期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形

ABCD,它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得

X.根据此法，图中正方形ABCD的面积为，方程f+3x=20可化为.

【答案】①.89②.（2x+3）2=89

【解析】

【分析】先求正方形四边边长，用完全平方公式展开两条边长之积，再利用已知条件得出

所求正方形面积.第二问则把第一问的最前面和最后面联系起来即可得解.

【详解】①正方形边长为x+x+3=2x+3

故面积为(2x+3)2=4x2+12x+9=4(x2+3x)+9

因为x2+3x=20

所以4(x2+3x)+9=80+9=89

故答案为89；

②由①结合最前面和最后面可得：(2x+3)2=89

故答案为(2x+3)2=89.

【点睛】本题考查完全平方公式的应用、结论的迁移，掌握这些是本题关键.

18.将点幺(-3,3)绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点/，，当点⑷恰好落在以坐标

原点。为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为.

【答案】卜3+血,0)或卜3-力,0)##卜3-血,0)或卜3+力,0)

【解析】

【分析】设点G的坐标为(。,0),过点A作幺MJ_x轴交于点M,过点H作/轴交

于点N,由全等三角形求出点H坐标，由点4在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出

点G的坐标.

【详解】设点G的坐标为(。,0),过点A作轴交于点M,过点H作/%轴交

于点N,

如图所示：

：幺(-3,3),

AM=3,GM=3+a,

:点、A绕点G顺时针旋转90°后得到点A',

：.AG=A'G,ZAGA'=90°,

：.ZAGM+ZNGA'=90°,

轴，轴，

AAMG=ZGNA'=90°，

：.ZAGM+ZMAG=90°,

：.AMAG=ZNGA',

在A/MG与AGAW中，

ZAMG=ZGNA'

<ZMAG=ZNGA',

AG=GA'

：.&AMG泮GNA'(AAS),

GN=AM=3,A'M=GM=3+a,

ON=3+a>

A'(3+a,3+a),

在R^ONA'中,由勾股定理得：(3+a)2+(3+a)2=22,

解得：a=-3+V2或a=-3-V2>

AM(-3+V2,0)^M(-3-72,0).

故答案为：(-3+72,0),(-3-72,0).

【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之

间的应用是解题的关键.

三、解答题(本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤)

19.解方程：

(1)(x-l)2-4=0；

(2)x2+x-3=0.

【答案】(1)西=3,x2=-1

—1+y/13—1—V13

(“石=---2---，X2=--------

【解析】

【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用公式法求解即可.

【小问1详解】

解：V(X-1)2=4,

x-l=2或x-l=-2,

解得x「3,x2=-l；

【小问2详解】

解：%2+x—3=0>

a=l,b=1,。=—3,

A=b2-4ac=l+12=13，

-1±V13

x=----------，

2

-1+V13-1-V13

x,=----------，x,=-----------，

1222

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方

法是解题的关键.

20.已知：关于x的一元二次方程Y-（机+2卜+4（机-2）=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根.

【答案】（1）见解析（2）m=6,而=々=4

【解析】

【分析】（1）进行判别式的值得到A=（机-6）2,利用平方非负数的性质得A20,然后

根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；

（2）根据方程有两个相等的实数根得A=（机-6『=0,先求出冽的值，再代入一元二次

方程中求解即可.

【小问1详解】

由题意得：A=[-（掰+2斤-4xlx4（m-2）,

=机2-12/71+36，

=（机-6）~三0,

...方程总有两个实数根；

【小问2详解】

•.•方程有两个相等的实数根，

A=（m-6）"=0，

m=6,

此时方程为一81+16=0,

・・.（x-4）2=0,

xl=x2=4.

【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关

系是解题的关键.

21.小明每天骑自行车.上学，都要通过安装有红、绿灯的4个十字路口.假设每个路口

红灯和绿灯亮的时间相同.

（1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率.（请用“画树状图”或

“列表”或“列举”等方法给出分析过程）

（2）小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为.（请直

接写出答案）

【答案】（1）』，见解析

4

【解析】

【小问1详解】

列表如下

第一个十字路口'第二个红灯绿灯

红灯红红红绿

绿灯绿红绿绿

•.•共有4种等可能情形，满足条件的有1种.

通过前2个十字路口时都是绿灯的概率!.

4

【小问2详解】

画树状图如图，A表示红灯，B表示绿灯,

八八八八八八八八

4ABABABABABABABAB

・・,共有16种等可能情形，满足条件的有11种.

，小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为一

故答案为:

【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关

22.如图，正三角形ABC内接于。。，的半径为r,求这个正三角形的周长和面积.

【答案】周长为3省「.面积为逆r

4

【解析】

【分析】连接OB,0A,延长A0交BC于D,根据等边三角形性质得出AD_LBC,BD=CD=1

BC,Z0BD=30°,求出OD,根据勾股定理求出BD,即可求出BC,BC的三倍即为周长，根

据三角形的面积公式即可求出面积.

【详解】解：连接OB,0A,延长A0交BC于D,如图所示：

:正4ABC外接圆是。0,

.\ADXBC,BD=CD=1BC,Z0BD=|ZABC=^-X60°=30°,

.\0D=10B=1r,

由勾股定理得：BD=yj0B2-0D-=—r，

2

即三角形边长为BC=2BD=6r,AD=A0+0D=r+1r=-r,

则AABC的周长=3BC=3X6r=3Br；

△ABC的面积=：BCXAD=JX吞"»=£1/2.

乙乙/A

.•.正三角形ABC周长为；正三角形ABC面积为32/.

4

【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角

形的面积等知识点；关键是能正确作辅助线后求出BD的长.

23.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京和张家口举行.为迎接本次

冬奥会，某校组织初一年级学生开展“迎冬奥”知识竞赛活动（满分为50分）.从竞赛成

绩中随机抽取了20名男生和20名女生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析（成绩

用x表示，共分成四个等级：A：47<xW50,B：44<xW47,C：41<xW44,D：

xW41）,下面是这40名学生

成绩的信息：

20名男生的成绩:50,46,50,50,46,49,39,46,49,46,46,43,49,47,40,

48,44,43,45,44.

20名女生中成绩为B等级的数据是：45,46,46,47,47,46,46.

所抽取学生的竞赛成绩统计表

性别平均数中位数众数

男464646

女46.5b48

所抽取的20名女生的竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）a=,b=.

（2）该校初一年级共有400名男生参与此次竞赛，估计其中等级为A的男生约有多少人?

【答案】（1）10,47

（2）140人

【解析】

【分析】(1)先求出B组占女生的百分比，然后用『A的百分比一B组的百分比-D组的百分

比《的百分比，将B在数据从大到小排序，取出最高的两个数的平均数为女生的中位数即

可；

(2)将20名男生成绩从高到低排序，找出A组：47<xW50有7人，求出所占男生百

分比义400即可.

【小问1详解】

解：：20名女生中成绩为B等级的数据是：45,46,46,47,47,46,46.

.•.74-20X100%=35%,

.,.a%=l-0,45-0.35-0.10=0.10=10%,

A组有：20X45%=9人，B组有7人，9+7=16>11,

把B组数据从大到小排序为：47,47,46,46,46,46,45.

第10个数据为47,第11个数据为47,

47+47

中位数b=------=47,

2

故答案为10；47；

【小问2详解】

解：将20名男生的成绩从高到低排序：50,50,50,49,49,49,48,47,46,46,

46,46,46,45,44,44,43,43,40,39.

其中A：47<xW50,有7人，

占男生7・20X100%=35%,

该校初一年级共有400名男生参与此次竞赛，估计其中等级为A的男生约有400X35%=140

人，

答：该校初一年级男生竞赛成绩等级为A的约有140人.

【点睛】本题考查统计表与扇形统计图获取信息与处理，中位数，扇形统计图的部分数

据，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握统计表与扇形统计图获取信息与处理，

中位数，扇形统计图的部分数据，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键.

24.如图，AB是。。的直径，AN、AC是。。的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长

线相交于点M,且NA/J.PW,NPCB=/PAC.

(1)试判断直线PC与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若45=10,/尸=30°,求MN的长.

【答案】(1)直线PC与。0相切，证明见解析

(2)MN=-

2

【解析】

【分析】(1)如图，连接oc,NPAC=NACO=NPCB,ZACB=90°,

ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+ZACO=ZACB=90°,OC1PC,0c是半

径，进而可说明直线PC与。0相切.

(2)如图，连接ON,ZCOP=60°=ZMAP,OA=ON,△幺ON为等边三角形；可知

4MAP

ZN的值，AAPMSAOPC,——=——求得4W的值，初\O4404N求解即可.

OCOP,一

【小问1详解】

解：直线PC与。0相切.

如图，连接0C,则。4=。。

•；APCB=APAC

：.ZPCB=ZACO

：.ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+ZACO=ZACB

VAB为。0的直径

：.ZACB=90°

ZOCP=90°

即OC1PC

，直线PC与。0相切.

【小问2详解】

解：如图，连接ON

2

•1,ZP=30°,ZOCP=90°,ZAMP=90°,

AZCOP=60°=ZMAP,OP=2OC=10,AP=15

,：ZP=ZP,ZAMP=ZOCP=90°

AAPMSAOPC

.AM_AP

',~OC~'OP

…15

AM=——

2

,：OA=ON,ZMAP=60°

...△NON为等边三角形

AN=OA=ON=5

：.MN=AM-AN=-.

2

【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，30。的直角三角形，三角形

相似等知识点.解题的关键在于灵活综合运用知识.

25.如图，已知锐角4ABC中，AC=BC.

(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作AABC的内切圆。。.(不写作法，保留作图痕

迹)

c

(2)在(1)的条件下，若NC=3,25=4,则4ABC内切圆的半径为.

⑵拽

5

【解析】

【分析】(1)内切圆的圆心是角平分线的交点；作的角平分线ZN,作NC的角平分

线C”交48于点D,两条角平分线的交点即为内切圆。。的圆心，0。为内切圆半径，

画圆即可.

(2)过圆心。向4C作垂线，交点为G,由角平分线的性质可知，

0D=0G,ZCGO=90°,在RtAACD中CD=JAC?-AD2=’3?—2?=&，设内

切圆的半径为r，则0C=后一外，在RfZ\0CG中0c2=CG2+OG2,解出厂的值即

可.

【小问1详解】

解：如图：以48为圆心，大于长为半径画弧，交点为连接C”交4B于点。

2

；以A为圆心画弧，交AC、AB于点、E、F,以£、尸为圆心，大于,£厂为半径画弧，

2

交点为N,连接/N,ZN与C”的交点即为A4BC的内切圆的圆心0,0。即为半

径，画圆.

【小问2详解】

解：如图，过圆心。向NC作垂线，交点为G；

由角平分线的性质可知：OD=OG,ZCGO=90°

•：AC=BC

△NC3为等腰三角形

CD1AB,AD=-AB,ZADC=90°

2

在RtAACD中CD7AC?-AD?='3?—2?=出

设内切圆的半径为厂，则OC=6—r

在RtAOCG中:OC2=CG2+OG2

：.(V5-r)2=(3-2)2+r2

解得：r=—

5

内切圆的半径为拽.

5

【点睛】本题考查了角平分线的画法，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形等知

识.解题的关键在于熟练掌握角平分线的作法.

26.某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方

案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有

书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本.方案二：前5本按定价出售，超过

5本以上的部分可以打折.

(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；

(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买(1)中的数量，请问书店折扣至少低于几

折才能使得实付金额少于600元？

【答案】(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本

(2)书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元

【解析】

【分析】（1）设读书兴趣小组购买书籍X本，列出等量关系式［50-2（x-10）］x=600,

求解即可；

（2）设书店折扣至少低于了折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为

250+10x50x^<600,解出4即可.

10

【小问1详解】

设读书兴趣小组购买书籍x本，

根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售，

,/600>500,

兴趣小组购买书籍数量超过10本，

/.［50-2（x-10）］x=600,

解得西=20,x2=15,

v50-2（x-10）^35,

,35

・・xK—，

2

・・x=15,

答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本；

【小问2详解】

设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元，

由题意得，250+10x50x上<600,

10

y<7,

答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元.

【点睛】本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的

关键.

27.如图，在平面直角坐标系中，已知幺（0,3）,点B在x轴正半轴上，且乙48。=30。

,C为线段0B上一点，作射线AC交AAOB的外接圆于点D,连接OD,NCOD=NOAD.

(1)求NA4D的度数；

(2)在射线AD上是否存在点P,使得直线BP与AAOB的外接圆相切？若存在，请求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)NBAD=30°

(2)存在，P(2A/3,-3)

【解析】

【分析】(1)利用圆周角定理得出=ND45,再根据NCOD=NCM。，得出

NDAB=ZOAD,最后利用直角三角形的性质得出结果；

(2)先得出4BCP为等边三角形，过点P作PHLOB交0B于点H,再利用解直角三角形得

出PH,BH即可得解.

【小问1详解】

NDOB=NDAB,ZCOD=NOAD

：.NDAB=NOAD,

•1,ZAOB=90°,ZABO=30°,

ZOAB=60°.

ABAD=30°.

【小问2详解】

VZA0B=90°,

/.AB为AAOB的外接圆的直径，

假设在射线AD上存在点