吉林省白山市2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理

PAGEPAGE10吉林省白山市2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆上随意一点到两焦点的距离之和为（）A． B． C． D．2．设命题，是奇数，则为（）A．，是偶数 B．，不是奇数C．，是偶数 D．，不是奇数3．若直线经过抛物线的焦点，则（）A． B． C． D．4．圆与圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．内含 D．内切5．在三棱柱中，是侧棱1的中点，则（）A． B．C． D．6．双曲线的渐近线的斜率为（）A． B． C． D．7．如图，某圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，与为底面圆的两条相互垂直的直径，为母线的中点，且，，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．8．已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则9．若点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为，则该几何体的高为（）正视图侧视图俯视图A． B． C． D．11．已知是圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，．直线与抛物线交于，两点，且，两点在轴的两侧，现有下列四个命题：①为定值；②为定值；③的取值范围为；④存在实数使得．其中全部真命题的序号是（）A．①③ B②④ C．①②③ D．①③④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．两平行直线与之间的距离为．14．椭圆的离心率为．15．若直线与函数的图象有公共点，则的最小值为．16．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，．当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知为正数，：不等式对恒成立；：函数的最小值不小于．（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，为真命题，求的取值范围．18．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．19．已知直线与抛物线交于，两点，且点在上．（1）求的方程；（2）若的斜率为，且过点，求．20．已知动点在圆上运动，它与定点所连线段的中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）若点的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程．21．如图，平面平面，四边形为正方形，点在正方形的外部，且，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．（1）求的方程；（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．2024~2025学年白山市上学期期末考试高二数学试卷参考答案（理科）1．C因为，所以椭圆上随意一点到两焦点的距离之和为．2．B，不是奇数．3．D因为直线与轴的交点为，所以，即．4．C由题知，，，．，因为，所以，所以圆和圆的位置关系是内含．5．B．6．A因为，，所以．故所求渐近线的斜率为．7．D因为底面圆，所以，又，，所以平面．连接，则，则为异面直线与所成角，易知，，所以．8．D对于A选项，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以A选项正确；对于B选项，因为，，，所以，所以或．又因为，所以，所以B选项正确；对于C选项，由于，，所以，所以C选项正确；对于D选项，，可能异面，所以D选项错误．9．B由题意可知，，，，若，则，或（舍去），若，，或，故“”是“”的必要不充分条件．10．C由三视图可知，该几何体是直三棱柱，且底面是顶角为，底边长为的等腰三角形，该三角形外接圆的直径，所以该几何体外接球的半径，从而外接球的表面积，解得．11．A圆的标准方程为，圆的半径为．设，则，因为，所以．所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．12．D由题意可设的方程为，联立，得，则为定值．又，，则，即．联立，得，，两点在轴的两侧，，且，．由及可得或，故的取值范围为．设，，则，，则．假设存在实数，则由，得，解得或，故存在满意题意．13．因为直线与平行，所以，将化为，所以两条平行线之间的距离为．14．．15．由，得，则函数的图象表示圆在的部分．当直线经过点时，取得最小值，且最小值为．16．易证平面，则与平面所成角为，，当取得最小值时，取得最大值．在等腰中，当为的中点时，取得最小值．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，．设平面的法向量为，则，即，令，得．因为，所以与平面所成角的正弦值为．17．解：（1）因为为正数，，所以，当且仅当，即时，等号成立．若为真命题，则，解得，即的取值范围为．（2）若为真命题，则，解得．因为为假命题，为真命题，所以，一真一假．若真假，则；若真假，则．综上，的取值范围为．18．（1）证明：连接交于点，连接．因为在正三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以是的中位线，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为平面，所以点到平面的距离即点到平面的距离．因为，所以，，．因为，所以．所以，．设点到平面的距离为．由，得，即，解得．故点到平面的距离为．19．解：（1）将代入，得，解得，故的方程为．（2）因为的斜率为，且过点，所以的方程为，即．联立，得，，设，两点的坐标分别为，，则，，故．20．解：（1）设，，依据中点公式得，解得．由，得．故点的轨迹方程是．（2）当切线在两坐标轴上截距均为时，设切线方程为，由相切得，解得；当切线在两坐标轴上截距相等且不为时，设切线方程为，由相切得，解得．综上，所求切线方程为或．21．（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，所以点到的距离为，则，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，令，得．易知为平面的