中考数学几何压轴题辅助线复习

中考压轴题专题几何(辅助线)

精选1.如图,Rt/XABC中，NABC=90°,DE垂直平分AC,垂足为。,BC,且AB=3,BC=4,则AD的长为.

精选2.如图，AABC中，ZC=60°,NCAB与/CBA的平分线AE,BF相交于点D,

求证：DE=DF.

精选3.已知：如图，。。的直径AB=8cm,P是AB延长线上的一点，过点P作。。的切线，切点为C,连接AC.

(1)若NACP=120°，求阴影部分的面积；

⑵若点P在AB的延长线上运动，NCPA的平分线交AC于点M,NCMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理

由；若不变，求出/CMP的度数。

精选4、如图1,RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点0是斜边AB上一动点，以0A为半径作。。与AC

边交于点P，

(1)当0A/时，求点。到BC的距离；

2

(2)如图1,当0A=K时，求证：直线BC与。。相切；此时线段AP的长是多少？

8

(3)若BC边与。。有公共点，直接写出0A的取值范围；

(4)若C0平分NACB,则线段AP的长是多少？

图1图2

初中数学

A

精选5.如图，已知&BC为等边三角形，ZBDC=120°,A。平分NBOC,

求证：BD+DC=AD.

精选6、已知矩形ABCO的一条边八。=8,将矩形ABC。折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.

（第6题图）

（1）如图1,已知折痕与边BC交于点。，连结AP、OP、0A.

①求证：AOCPs4PDA；

②若AOCP与的面积比为1：4,求边AB的长；

（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求N04B的度数；

（3）如图2,在（1）的条件下，擦去折痕A。、线段0P,连结BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A

・・・•0•

不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=P/W,连结MN交PB于点F,作ME,8P于点E.试问当点M、

N在移动过程中，线段E尸的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.

精选7、如图，四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60。的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点

与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F,

ZEDF=60°,当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.

（1）继续旋转三角形纸片，当CE手AI5寸，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明

理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

（3）连EF,若4DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

初中数学

初中数学

精选8、等腰RtAABC中，/BAC=90。，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D,斜边

BC交y轴于点E；

(1)如图(1),若A(0,1),B(2,0),求C点的坐标；

(2)如图(2),当等腰RtAABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE,求证：ZADB=ZCDE

(3)如图(3),在等腰RtAABC不断运动的过程中，若满足BD始终是/ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、

BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.

精选9.如图，正方形ABC。的四个顶点分别在四条平行线/、小小(上，这四条直线中相邻两条之间的距

1

离依次为、h、h(h>0,h>0,h>0).

123123

(1)求证：h=h；

13

(2)设正方形ABC。的面积为S,求证：S=(h+h)2+/!2.

121

3

(3)若力+力=1,当/z变化时，说明正方形的面积

2121

S随的变化情况.第题图

1

初中数学

参考答案

精选1

解：•.•RtZXABC中，ZABC=90°,>48=3,BC=4,

•',7'C=VAB2+BC2=V32+42=5'

；DE垂直平分AC,垂足为。，

15

OA=-AC=-,ZAOD=ZB=90°,

22

'：AD//BC,

：.4=NC,

?.AAOD^ACBA,

...旦迎，即典=",解得人。=空

ACBC548

故答案为：—.

8

精选2

证明：在AB上截取AG,使AG=AF,

易证△AOF0ZkADG(SAS).

：.DF=DG.VZC=60°,

AD,B。是角平分线，易证/AOB=120。.

ZADF=ZADG=ZBDG=NBDE=60°.

BffiABDE^ABDG(ASA).

DE=DG=DF.

精选3、

解：(1)连接oc.

♦；PC为。o的切线，

APCXOC.

.•.NPCO=90度.

,?ZACP=120°

ZACO=30°

VOC=OA,

；./A=/ACO=30度.

.•.ZBOC=60°

0C=4

.\PC=4*tan60<>=4^3

87r

,'•S阴影=SAOPC-S扇形BOC=873-

(2)/CMP的大小不变，ZCMP=45°

由(1)知/BOC+/OPC=90°

VPM平分/APC

初中数学

.•.ZAPM=-ZAPC

2

VZA=-ZBOC

2

AZPMC=ZA+ZAPM=-（ZBOC+ZOPC）=45".

2

精选4、

解：（1）在RtAABE中,於=1AC2+BC2=432+42=5,（1分）

过点。作OD_LBC于点D,则OD〃AC,

5--

.,.△ODB^AACB,POOB；0D_---&,ODW

ACAB352

.•.点。到BC的距离为2（3分）

2

（2）证明：过点。作OE_LBC于点E,OF_LAC于点F,

5-里

VAOEB^AACB,.•里口.•理=-----0E土.

ACAB358

直线BC与。。相切.（5分）

此时，四边形OECF为矩形，

159

；.AF=AC-FC=3--

88

q

VOFXAC,.\AP=2AF=".（7分）

4

⑶紧OA号（9分）

O4

（4）过点。作OG_LAC于点G,OH_LBC于点H,

则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG,备用图管用图

又平分/ACB,；.OG=OH,矩形OGCH是正方形.（10分）

设正方形OGCH的边长为x,则AG=3-x,

VOG//BC,VAAOG^AABC,

.0GAG

••二,•

BCAC

X），.，.AP=2AG=—.（12分）

•-3-x--x，x77

初中数学

精选5、

证法1:（截长）如图，截OF=DB,易证△DBF为等边三角，然后证△BOC会△BFA即可;

证法2:（截长）如图，截OF=DC,易证△£»小为等边三角，然后证△BDC丝即可;

证法3:（补短）如图，延长BD至F,使DF=DC,此时BO+OC=BO+OF=BF,

易证△DCF为等边△,再证即可.

证法4:（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.

设AB=AC=BC=a,根据（圆内接四边形）托勒密定理：

CD,a+BD•a=AD,a,得证.

B

精选6、

解：(1)如图1,①：四边形ABC。是矩形，.,.AD=BC,DC=AB,NDAB=/B=/C=/D=90°.

由折叠可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO.ZAPO=ZB.

：.ZAPO=90°.

：.ZAPD=90°-ZCPO=ZPOC.

,:/D=/C,ZAPD=ZPOC.

.♦.△OCPs/^pDA.

②:△OCP与△PDA的面积比为1：4,

.OC_OP_CP_RJ

''PD"PA-DAvT2'

APD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

'：AD=8,：.CP=4,BC=8.

设OP=x,贝UOB=x,CO=8-x.

在RtdPCO中，

VZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

；.x2=(8-x)2+42.

解得：x=5.

：.AB=AP=2OP=W.

...边AB的长为10.

初中数学

(2)如图1,

：P是CO边的中点，

/.DP=-DC.

2

VDC=AB,AB=AP,

：.DP=-AP.

2

VZD=90°,

DP1

■.sin/DAP=—=一.

AP2

：.ZDAP=30°.

"：ZDAB=90°,ZPAOZBAO,ZDAP=30°,

：.ZOAB=30°.

：.ZOAB的度数为30°.

(3)作MQ〃/W,交PB于点Q,如图2.

'：AP=AB,MQ//AN,

：.ZAPB=ZABP,ZABP=ZMQP.

：./APB=/MQP.

：.MP=MQ.

VMP=MQ,ME_LPQ,

PE=EQ=-PQ.

2

,:BN=PM,MP=MQ,

：.BN=QM.

：MQ//AN,

：.ZQMF=ZBNF.

在△MFQ和△A/FB中,

FZQMF=ZBNF

ZQFI=ZBFN.

QM=BN

:.QF=BF.

：.QF=-QB.

2

初中数学

/.EF=EQ+QF=-PQ+-QB=-PB.

222

由（1）中的结论可得：

PC=4,BC=8,ZC=90°.

,,PB=q4+42=45/"^.

：.EF=-PB=2[5-

2

...在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2浜.

精选7、

解：(1)DF=DE.理由如下：

如答图1,连接BD.

;四边形ABCD是菱形，

；.AD=AB.

又；NA=60°,

AABD是等边三角形，

；.AD=BD,ZADB=60°,

.,.ZDBE=ZA=60°

VZEDF=60°,

，ZADF=ZBDE

AZADF=ZBDE.•在4ADF与^BDE中，AD=BD

ZA=ZDBE

.'.△ADF^ABDE(ASA),

，DF=DE；

(2)DF=DE.理由如下：

如答图2,连接BD.；四边形ABCD是菱形，

；.AD=AB.

XVZA=60°,

初中数学

AABD是等边二角形,

，AD=BD,ZADB=60°,

AZDBE=ZA=60°

VZEDF=60°,

NADF=NBDE.

'NADF=NBDE

•.•在AADF与ABDE中，，AD=BD

ZA=ZDBE

.".△ADF^ABDE(ASA),

，DF=DE；

(3)由(2)知，AADF^ABDE.贝1S^ADF=S,、BDE，AF=BE=X.

』近：(x+1)2+立.即(x+l)2+近.

依题意得：=-(2+x)xsin60°x2x2sin60°=

Y=SABEF+SAABD

22444

该抛物线的开口方向向上，

=在

最小值2°

答图1

精选8、

(1)解：过点c作CF，y轴于点F,

.\ZAFC=90°,

.\ZCAF+ZACF=90°.

•.,△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

；.AC=AB,ZCAF+ZBAO=90°,/AFC=/BAC,

AZACF=ZBAO.

在小ACF和4ABO中，

rZAFC=ZBAC

■ZACF=ZBA0-

AC=AB

AAACF^AABO(AAS)

初中数学

.•.CF=OA=1,AF=0B=2

.•.OF=1

C(-1,-1)；

(2)证明：过点C作CGLAC交y轴于点G,

.•.ZACG=ZBAC=90°,

.•.ZAGC+ZGAC=90°.

VZCAG+ZBAO=90°,

-•.ZAGC=ZBAO.

VZADO+ZDAO=90°,ZDAO+ZBAO=90°,

.\ZADO=ZBAO,

.\ZAGC=ZADO.

在小ACG和^ABD中

'NAGO/ADO

'ZACG=ZBAC

AC二AB

?.AACG^AABD(AAS),

...CG=AD=CD.

VZACB=ZABC=45",

；./DCE=/GCE=45°,

在小DCE和^GCE中，

rDC=GC

,ZDCE=ZGCE,

CE=CE

.•.△DCE^AGCE(SAS),

；./CDE=/G,

.\ZADB=ZCDE；

(3)解：在OB上截取OH=OD,连接AH

由对称性得AD=AH,NADH=NAHD.

VZADH=ZBAO.

.\ZBAO=ZAHD.

：BD是/ABC的平分线，

.\ZABO=ZEBO,

VZAOB=ZEOB=90°.

在小AOB和AEOB中，

rZAB0=ZEB0

<OB=OB,

ZA0B=ZE0B

?.AAOB^AEOB(ASA),

；.AB=EB,AO=EO,

.,.ZBAO=ZBEO,

ZAHD=ZADH=ZBAO=ZBEO.

-•.ZAEC=ZBHA.

在^AEC^CABHA中，

初中数学

，ZAEC=ZBHA

ZCAE=ZABO,

AC=AB

.".△ACE^ABAH(AAS)

.".AE=BH=20A

VDH=20D

BD=2(OA+OD).

精选9、

(1)证：设4。与/交于点E,BC与，交于点F,