人教版初中八年级数学上册同步讲义-角平分线的性质（解析版）

第03讲角平分线的性质

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握角平分的定义以及基本性质。

①角平分线的定义

2,掌握角平分线的性质并能够证明。

②角平分线的性质

3.掌握角平分线尺规作图的基本原理，并能够利用直

③角平分线的尺规作图

尺和圆规进行角平分线作图。

思维导图

平分角

角平分线的定义与性廉［角平分线上的点到角两边的距离

知识点01角平分线的定义及其性质

1.角平分线的定义：

角的内部把角分成两个相等的角的射线这是个角的角平分线。

2.角平分线的性质：

(1)性质1：平分角。

即若OC是/AOB的平分线，则/AOC=/BOC。且他们都等于/A0B的一半

(2)性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。

即若0C是NAOB的平分线，P是0C上一点，且PDXOB于点D,PEXOA于点E,则有PD=PE

题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离。②利用角平分线的性质求面积。

【即学即练11

1.如图，在△43C中，NC=90°,BC=9,DC^-BC-4D平分/BAC,则点。到48的距离为（）

3

【解答】解：如图，过点。作垂足为H

,-BC=9,DC[BC，

o

DCfC=3,

平分/8/C,NC=90°,DHLAB,

:.CD=DH=3,

...点。到的距离等于3,

故选：C.

【即学即练2】

2.如图，AB//CD,8P和C尸平分。和/DC8,过点尸且与直线N5垂直.若/。=8,则点P到

的距离是（）

【解答】解：过尸作尸于£,

BA_______

E[\

C

D

,:AB〃CD,ADLAB,

：.AD.LCD,

♦:PE工BC,BP和CP平分N45。和NOC5,

：.PA=PE,PE=PD,

即P4=PD=PE,

9

：AD=PA+PD=Sf

：・PA=PD=PE=4,

即点。到5C的距离是4,

故选：C.

【即学即练3】

3.如图，40是△ZBC中NA4C的平分线，DE1AB,交AB于点、E,DFLAC,交4c于点尸，若DE=2,

【解答】解：・.7。是NA4C的平分线，DELAB,DFL4C,

:,DF=DE,

■:DE=2,

：.DF=2,

A5A^C=-1-^CXDF=AX4X2=4,

故选：A.

【即学即练4】

4.如图，中，ZC=90°,AD平分NBAC,交BC于点、D,45=10,CD=3,则△45。的面积为

()

A.60B.30C.15D.10

【解答】解：过点。作。45,垂足为E,

A

平分/2/C,DELAB,DCLAC,

：.DE=DC=3,,

•.”=10,

.'.△ABD的面积=

2

=JLX10X3

2

=15,

故选：C.

知识点02角平分线的尺规作图

1.作已知角的角平分线:

步骤一：以角的顶点为圆心,一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。

步骤二：以点M和点N为圆心，大于一MN的长度为半径画圆弧,两弧交于点P。

2

步骤三：连接OP即为角平分线

步骤一

2.证明上图中的0P是角平分线:

连接MP,NP

由作图过程可知，OM.ON,MPNP-

在△OMP与△ONP中

OM=ON

MP=NP

OP=OP

/.△OMP^AONP

/.ZMOP=ZNOP

/.OP是NAOB的角平分线。

题型考点：①尺规作图为角平分线的依据。

②尺规作图后的有关计算。

③作图及其实际应用。

【即学即练1】

5.数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹.学生小敏的作法

是：如图，是已知角，以。为圆心，任意长为半径作弧，与04、。2分别交于N、M；再分别以

为圆心，大于上VN的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线。。是的角平分线.小

2

敏作图的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【解答】解：在△。M。与△ONC中，

rOM=ON

'oc=oc-

,CM=CN

：./\OMC^^ONC（SSS）,

/COM=ACON,

，射线。。是的角平分线.

故选：D.

【即学即练2】

6.如图，在中，ZC=90°,以点N为圆心，适当长为半径作弧，分别交NC于点D,E,

再分别以点。，E,为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点足作射线/尸交3c于点G,

2

若/8=12,CG=3,则A/BG的面积是（）

A.12B.18C.24D.36

【解答】解：过点G作GHLAB于点H,

根据题意得，Zb是NC45的角平分线，

VZC=90°,

C.ACLCG,

•；GH1AB,

:・CG=GH,

VCG=3,

SAABG=yXABXGH蒋X12X3=18，

故选：B.

【即学即练3】

7.如图，k、/2交于/点，请确定M点，使它到/1、/2的距离相等.（用直尺和圆规）

【解答】解：如图，用直尺和圆规作/9C的平分线/E,并延长；同理做出的平分线4P,并延

长，

点河在直线NE或直线PQ上即可.

0

【即学即练4】

8.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库.

（1）如果要求油库到两条公路N3,/C的距离都相等，那么如何选择油库的位置？

（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？

【解答】解：（1）如图，加油站的位置在直线VN或直线所上.

（2）如图，点尸1,尸2,尸3,尸4即为所求.

知识点03角平分线的判定

1.角平分线的判定的内容:

角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。

2.数学语言：

点P在/AOB的内部，PE_LOA于E,PD_LOB于D,且PE=PD,则点P在

ZAOB的平分线上。

即：：PE_LOA于E,PD_LOB于D,且PE=PD

.\ZAOC=ZBOC

题型考点：角平分线的判定证明。

【即学即练11

9.如图，在四边形中，/B=NC=90°,点£为的中点，且4E1平分求证：DE是/

40c的平分线.

【解答】证明：如图，过点E作EFLAD于F,

VZB=90°,/E平分N3/D,

：.BE=EF,

是BC的中点，

：.BE=CE,

：.CE=EF,

又；NC=90°,EFLAD,

【即学即练2】

10.如图，DELABE,DFLACF,若BD=CD,BE=CF

：.NE=NDFC=90°,

在和Rt/XCDF中,

[BD=CD,

IBE=CF'

:.RtABDE2RtACDF(HL),

：.DE=DF,

'：AD=AD,

RtZXADEgRtzXAD尸(HL),

ZDAE=ZDAF,

；.4D平分/A4c.

5

知识点04三角形的角平分线性质

1.三角形角平分线的性质：

三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边

的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比。

即如图：AD是^ABC的平分线。

贝ISMBD•SACD=4B:ZC=BD:CD。

特别提示：分别以AB和AC为底、BD和CD为底表示出两个三角形的面积，然后比即可得出。

题型考点：利用三角形角平分线的性质进行面积有关的计算。

【即学即练1】

11.如图，在△48。中，ZA=90°,AB=2,BC=5,3。是//8C的平分线，设和△3DC的面积

分别是Sl，S2,则Si：S2的值为（）

A.5：2B.2：5C.1：2D.1：5

【解答】解：过。点作于E,如图,

是N48C的平分线，DELBC,DALAB,

：.DE=DA,

故选：B.

【即学即练21

12.如图，△45。的三边4C、BC、45的长分别是8、12、16,点。是△ZBC三条角平分线的交点，则S

△OAB：S/^OBC-SziCUC的值为（）

C.2：3：4D.3：4：5

【解答】解：如图，过点。作于点Z),OELBC于点、E,。/，4C于点R

・・•点。是“BC三条角平分线的交点，

：.OD=OE=OF,

•・•$△0AB得研3二9160D=80D^

SAOBC=fBC'°E=lX12OD=6OE，

SAOAC=fAC,OF=lX80F=4OF，

=

•'•S^OAB：S^OBC：SAOAC^OD：6OE：4。b=4：3：2.

题型精讲

题型01角平分线的性质

【典例1】

如图，△/BC的外角/NCD的平分线CP与内角//8C的平分线8尸交于点尸，若/5PC=40°,则/C4尸

=()

【解答】解：延长84,作尸ALL8D,PFLBA,PMLAC,

设/PCD=x°,

：C尸平分N/C£>,

?.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,

；BP平分/4BC,

：.ZABP=ZPBC,PF=PN,

：.PF=PM,

,：ZBPC=40°,

：.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40)°,

:.NBAC=NACD-/ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,

：.ZCAF=W0°,

在RtAPE4和RtAPMA中，

(PA=PA,

IPM=PF，

；.RtAPE4gRtAm4(HL),

：.ZFAP^ZPAC^5Q0.

【典例2】

如图，在△48C中，ZC=90°,平分/8NC,过点。作若BC=1,BD=4,则。£的长为

()

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：VZC=90°,AD平分NBAC,DELABE,

：.DE=DC,

U：BC=1,BD=4,

・・・。。=7-4=3,

：.DE=3,

故选：C.

【典例3】

如图，在△45C中，ZC=90°,Z1=Z2,5C=16c加，点。到45的距离为6c加，则她的长为（）

A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm

【解答】解：过点。作。于点区

U：DELAB,

；・DE=6cm,

VZ1=Z2,

：.AD是/CAB的角平分线,

VZC=90°,DE工AB,

DE=CD=6cm,

VBC=\6cm,

:・BD=T0cm.

故选：D.

【典例4】

如图，点尸是△48C的三个内角平分线的交点，若△48C的周长为24cm,面积为36c/,则点尸到边3c

的距离是()

【解答】解：过点P作尸于D,PE_LBC于■E,PFLACF,如图,

...点尸是△/BC的内角平分线的交点，

：.PE=PF=PD,

又△48C的周长为24CTM,面积为36cm2,

SAABC=^-AB-PD-HyBC-PE^1-AC-PF=yPE(AB+BC+AC)，

•*X24XPE=36，

o

:・PE=3cm.

故选：B.

【典例5】

如图，△/2C的周长为12c%,/ABC、N/CB的平分线交于点0,OD_LBC于点。，且O£>=2cw,则4

ABC的面积为cm2.

【解答】解：过。点作0ELA8于E,OFLACF,连接04,如图,

NABC、ZACB的平分线交于点0,

：.0E=0D=2,0F=0D=2,

S”BC=S“OB+SABOLS"oc

=Lx48X2+工X2CX2+lx/CX2

222

=AB+BC+AC

=12(cm2').

故答案为12.

【典例6】

如图，AD是△48C的角平分线，48=8,BC=4,且&UBC=36,则△03C的面积是

【解答】解：如图，过点。作。ELN5于£,DFLBCF,

:BD是的一条角平分线，

：.DE=DF,

：/8=8,BC=4,

，S“BC=—AB•DE+—BC-DF=—X8•DF+—X4•。尸=36,

2222

解得DF=6,

SADBC=—BC-DF=AX4X6=12.

22

故答案为：12.

题型02角平分线的作图

【典例1】

观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）

A.0E是的平分线

B.OC=OD

C.点C、。到。E的距离不相等

D.NAOE=/BOE

【解答】解：根据尺规作图的画法可知：0E是的角平分线.

/、OE是/4。8的平分线，/正确；

B、OC=OD,8正确；

C、点C、D到OE的距离相等，。不正确；

D、ZAOE=ZBOE,。正确.

故选：C.

【典例2】

如图，已知按照以下步骤作图：①以点。为圆心，任意长为半径画分别交04,于点C,D；

②分别以点C,。为圆心，以大于寺⑦的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接。£,CE,DE,CD.下

列结论错误的是（）

A.ZOCE=ZODEB.ZECD=ZOCDC.ZAOE=ZBOED.CDLOE

【解答】解：由作图步骤可得：OE是/的角平分线，则NCO£=/DOE,故C选项正确,

又OC=OD,0E=0E,

:.△OCE"AODE(&4S),

：.N0CE=N0DE,故/正确;

,：0C=0D,EC=ED,

/.OE垂直平分CD,则OE_LCD,故。选项正确，

没有条件能得出/OCD=NECD,

故选：B.

【典例3】

如图，在△/SC中，AB=AC,按如下步骤作图：以点4为圆心、适当长度为半径作弧，分别交NC于

点、M、N；分别以点M、N为圆心、大于Lw的长为半径作弧，两弧相交于点R连接N尸并延长，交

2

3c于点£.下列结论不一定成立的是（）

A.NABC=/ACBB.BE=CEC.AELBCD.NBAE=L/B

2

【解答】解：由作法得NE平分/8/C,

NBAE=L/BAC,

2

；4B=AC,

：.NABC=/ACB,BE=CE,AE±BC.

故选：D.

【典例4】

如图，在△NBC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点N为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边/C、

4B于点、M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于/MN的长为半径作圆弧，在NA4。内，两弧交于点

P；③作射线/尸交边8C于点。，若CD=4,/2=15,则△N3D的面积是（）

由基本作图可知，N尸平分NC/8

尸平分/C43,ZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=4,

:.4ABD的面积=LX/BXZ）E=30,

2

故选：B.

题型03角平分线的性质的实际应用

【典例1】

为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条

公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）

A.△/BC三条高线的交点处

B.△/BC三条中线的交点处

C.△/BC三条角平分线的交点处

D.△/BC三边垂直平分线的交点处

【解答】解：•••度假村到三条公路的距离相等,

这个度假村为△N8C的角平分线的交点.

故选：C.

【典例2】

三条公路将/、8、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要

使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（）

一

A.1处B.2处C.3处D.4处

【解答】解：三条公路将4、2、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一

个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ZBC三个角

的角平分线的交点处，可选的位置有1处，

故选：A.

强化训练

1.到三角形的三条边距离相等的点（）

A.是三条角平分线的交点B.是三条中线的交点

C.是三条高的交点D.以上答案都不对

【解答】解：•••三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等.

...到三角形的三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，

故选：A.

2.如图，即是△4SC的角平分线，DELAB,垂足为E.若△N3C的面积为26,AB=8,BC=5,贝UDE

的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：作。于尸，如图，

是△4BC的角平分线，DELAB,DFLBC,

:.DE=DF,

S"BC=SAABD+SACBD,

/.JLX5XDF+—X8XZ)E=26,

22

：.UDE=26,

2

：.DE=4.

故选：D.

3.如图，在△/8C中，NC=90°,4B=10,40是△43C的一条角平分线.若CD=3,则△43。的面积

为（）

A.15B.30C.12D.10

【解答】解：过。点作。于应如图,

「力。平分N5ZC,DEL4B,DCLAC,

:,DE=DC=3,

.,.S^D=—X10X3=15.

A2

故选：A.

4.如图，OP平分NMON,B4LON于点/，点0是射线。河上的一个动点.若刃=2,则P。的长不可能

【解答】解：:。尸平分NMON,PALON,

/.点P到OM的距离等于E4,即点P到OM的距离为2,

.•.尸022.

故选：D.

5.如图，在△4SC中，ZACB=90°,BE平分NABC,CFLAB,交4B于点、F,交8E于点。，若BC=

8cm,DF=3cm,则△CD8的面积为（）

A.\2cnrB.8cm2C.6cm2D.4cm2

【解答】解：作。X，8c于点X,如图:

E

a

c*s

fBE平分N4BC,CFLAB,DH±BC,

：.DH=DF.

•:DF=3cm.

:・DH=3cm.

9：BC=Scm.

...△CD3的面积为：yBCDH=12^2.

故选：A.

6.如图，ZAOB=10°，点C是内一点，CD_LON于点。，CELOB于点、E,且CD=CE,则NDOC

的度数是（）

【解答】解：'：CDVOA,CEVOB,且CD=C£,

；.。。平分/403,

:NA0B=7Q°,

ZDOC=^-ZAOB=35°,

2

故选：B.

7.如图，AD//BC,//2C的平分线3P与NB4D的平分线4P相交于点尸，作尸E_L4B于点E,若PE=4,

则点P到40与3c的距离之和为（）

AA--------D

E/A

'P

BC

A.4B.6C.8D.10

【解答】解：过点尸作尸尸_L5C,垂足为R延长尸尸交4。于点M,

YAD〃BC,

：.ZBFP=ZDMP=90°,

〈BP平分N4BC,PELAB,PFLBC,

：・PE=PF=4,

•；4P平分/B4D,PELAB,PMLAD,

：・PE=PM=4,

：.MF=PM+PF=S,

・••点P到AD与BC的距离之和为8,

故选：C.

8.如图，△ABC中，4D_L5C交BC于点Q,AE平分/BAC交BC于点、E.过点。作4E的垂线交的

延长线于点尸，交4。的延长线于点G,连接5G,下列结论：

®ZBAD=ZBCG；

②NECF《（/4BD-ZACE\

③ZAGC=ZBAE+ZACB；

@S/^ABD*S^CDG=S^BDG*S^ACD，

其中止确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①・.・/O_L8C,AFLCG,

：.ZBCG+ZCGA=90°,ZGAF+ZCGA=90°,

・•・NBCG=NGAF,

根据已知条件无法判定NB/。与NGN尸相等，

，无法判定NBAD与ZBCG相等，

故结论①不正确；

②设NECF=a,即N8CG=a,

由①可知：ZGAF=ZBCG=a,即/D4E=a

设N8/C=2B，

平分入B/C,

NBAE=NCAE=*/B4C=B，

：.ZBAD=/BAE-ZGAF=^-a,NAED=NACB+NCAE=ZACB+^,

'JADLBC,

：.ZBAD+ZABD=90°,ZDAE+ZAED=90°,

/.p-a+ZABD=90°,a+N/CB+B=90°,

P-a+N/5£)=a+N4C5+B，

.•.a=A(AABD-/ACE),

2

:./ECF=L(.ZABD-NACE),

2

故结论②正确；

③平分N8/C,

ZBAE=ZCAE,

：.NAED=NCAE+NACB=ZBAE+ZACB,

'：AD±AB,AFLCG,

：.ZAGC+ZGAF=90°,ZAED+ZGAF=90°,

ZAGC=ZAED=ZBAE+ZACB,

故结论③正确；

@"：ADLBC,

S^ABD=—BD*AD,S^CDG=—CD,DG,S^BDG=—BD,DG,S^ACD=CD'AD,

222

S&ABD,CDG=-BD-AD-CD-DG,S^BDG'S^ACD=—BD-DG'CD-AD,

44

S/^ABD•COG=SABDG・S"CD，

故结论④正确.

综上所述：结论②③④正确，共3个.

故选：C.

9.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路

（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有处.

【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处,

故答案为：4.

2

10.如图，BD是/ABC的平分线，DELAB于点E,SAABC=15cm,AB=8cm,BC=12cm,则DE=cm.

【解答】解：过点。作。尸，5C于点R

,.・3。是NZ5C的平分线，DELAB,

：.DE=DF,

AB=Scm,BC=12cm,

:.S"BC=s"BD+S&BCD=LB•DE+LBC•DF=LDE•(AB+BC)=15cm2,

222

；,DE=1.5cm.

故答案为：1.5.

11.如图，。是3c内一点，且。到三边/8、BC、G4的距离。户=O£）=OE,若/B/C=70°，ZBOC

4

B

D

【解答】解：尸=OO=OE,

：.OB、。。分另1J平分/A8C和N/C3,

■:NBAC=1Q°，

ZABC+ZACB=180°-70°=110°,

：.ZOBC+ZOCB=^-(NABC+NACB)=AxilO°=55°,

22

；./8OC=180°-(NOBC+NOCB)=180°-55°=125°.

故答案为：125°.

12.如图所示，已知△/2C的周长是20,OB,OC分别平分。和00_LBC于。，且OD=3,

则△A8C的面积是

【解答】解：如图，连接。4,

'JOB,OC分别平分/48C和NZC3,

二点。到AB、AC.BC的距离都相等,

:ZUBC的周长是20,0D_L8C于。，且。。=3,

.,.SZUBC=4X20X3=30.

2

故答案为：30.

13.已知：如图，8。平分//8C,点尸在上，点G在NC上，连接尸G、FC,PC与8。相交于点H,

/GFH+NBHC=180°.

A

(1)证明：N1=N2；

(2)若N/=55°,NA8C=80°,求/尸GC.

【解答】(1)证明：■:NGFH+NBHC=l80°,/BHC=/FHD,

：.ZFHD+ZGFH=1SQ°,

：.FG//BD,

B