2025年高考数学总复习专项训练：双曲线

专练46双曲线

［基础强化］

一、选择题

1.平面内到两定点尸1（—5,0）,6（5,0）距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为（）

.x2y2一y?x2.

A-25一芯=1B-16-9=1

C一七=1De—皿=1

答案：D

解析：由题意得a=4,c=5,；.62=c2—，=25—i6=9,又焦点落在x轴上，.,.其双曲线方程为京-

1：=1

2.设过双曲线/一产=9左焦点Q的直线交双曲线的左支于点P,Q,尸2为双曲线的右焦点.若|尸。|

=7,则△BP0的周长为（）

A.19B.26C.43D.50

答案：B

解析：％2—尸=9可化为,一］=1,

，。=3,由双曲线的定义知

|尸外|=2。+|尸碎，|。尸2|=2。+|。打，

：.AFzPQ的周长£=|P2l+|PB|+lQF2|=|P2l+2a+|PFi|+2a+l2Q|=2|PQ|+4a=2><7+4X3=26.

3.渐近线方程为让y=0的双曲线的离心率是（）

A.乎B.1

C.也D.2

答案：C

解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足。

=b,所以。=也a,所以双曲线的离心率e=；=5.故选C.

4.若a>l,则双曲线提一丁=1的离心率的取值范围是()

A.(巾,+°°)B.(y[2,2)

C.(1,y[2)D.(1,2)

答案：C

解析："."c2=a2+l,.*.e2=^5=(1=1+^2,

又〃>1,/.0<^<1,1<1+^3<2,/.l<e<y[2.

5.已知抛物线V=4x的焦点为R准线为/.若/与双曲线去=1(°>0,b>0)的两条渐近线分别交

于点A和点B,且|4回=4|。用(。为原点)，则双曲线的离心率为()

A.也B.y[3C.2D.小

答案：D

b

解析：由题意，可得/(1,0),直线/的方程为X=-1,双曲线的渐近线方程为>=±£x.将尤=-1代入

AhA9A

y=±£x,得>=土’,所以点A,5的纵坐标的绝对值均为，.由|A8|=4|OF|可得7=4,即人=2〃，〃=4层，

故双曲线的离心率e=\=小.

6.[2023•全国甲卷(理)]已知双曲线C：%—£=1(«>0,6>0)的离心率为小,C的一条渐近线与圆(x

—2>+&-3)2=1交于A,8两点，贝U|A8|=()

A近RRI3^5R1

A-5B-5rC-5D-5

答案：D

解析：根据双曲线的离心率e=^=(,得。=小a,即02=54，即,+62=54,所以〃=44,g

=4,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,易知渐近线y=2x与圆相交.

[y=2x,16

方法一由[(X—2)2+(—3)2—1'得5f—16x+12=0.设AQ1,力)，成0yi),则制+无2=5,

Xi%2=y.所以|48|=«1+22\xi—x2\=y[5—4Xy，故选D.

方法二则圆心(2,3)到渐近线y=2x的距离d=^=====坐,所以|AB|=2，T=了=2

(坐)2=平，故选D.

7.设双曲线与

1的左、右焦点分别为尸i，出,过点八的直线/交双曲线左支于A,2两点，则

IB3I+IABI的最小值为（)

19

A.yB.11C.12D.16

答案：B

尸2I—IA尸11=2。=4,

解析：由题意得所以尸2l+|Ab2|=8+|AB|+|BB|=8+|A8],显然，当A8为通

[|BF2|—|BF1|=2（2=4,

径时，其长度最短，|AB|min=2.y=3,故（g+|AF2l）nun=ll.

8.双曲线C：2—R=1（。>。，b>0）的离心率为2,其渐近线与圆Q—02+9=拼相切，则该双曲线的

方程为（）

2

9y2xj/

A.x2—=1B.y—g=1

[——1P）——-=1

J251u-4121

答案：A

解析：由题意得到e=5=2,：.b=yf3a,则双曲线的渐近线方程为x.渐近线与圆（x—ap+f

=1相切，；.叫”，又。>0，b=y[3.

则双曲线方程为：f—弓=1.

故答案为A.

9.已知椭圆C：，+乐=1（°>6>0）和双曲线E：x2—y2=i有相同的焦点打，F2,且离心率之积为1,

尸为两曲线的一个交点，则△APB的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

答案：B

解析：=%2—>2=1的焦点（±&，0），ei=5=A/2,

二由题意得标+W=1的焦点坐标为（士，0），《=坐，

『-2=2,生

•••毛2=2.

Ia2'

椭圆方程为?+曰=1.

设尸为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，

||PFI|+|PEI=2X2,

.•.|尸碎=3,|PF2|=1,

[\PFX\-\PF2\=2,

又EBI=2表，且|刊囹2+|为刈2=1+(2g)2=1+8=9=|PPIF，

...△QPB为直角三角形.

二、填空题

10.双曲线卷一言=1上一点M到其中一个焦点的距离为7,则点M到另一个焦点的距离为.

答案：13

解析：由题意，层=9,所以。=3.设点M到另一个焦点的距离为d,由双曲线的定义知，|7—d|=2〃=2X3

=6,所以d=l(舍)或d=13.即点M到另一个焦点的距离为13.

11.已知双曲线盘一/=1(〃>0)的一条渐近线为小入+尸0,则〃=.

分案.近

口■3

/Y

解析：•.•双曲线为一V=1的渐近线方程为尸士擀，

12.[2023•新课标I卷]已知双曲线C：5一£=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为巳.点A在C上，

2

点3在y轴上，FiA±FiB,BB,则C的离心率为.

,3^5

解析：方法一由题意可知，Fi（—c,0）,尸2（c,0）,设A（xi,州），2（0,yo）,所以凡4=（尤i—c,yi）,

「2r5

尤1一C=1CX1=2C

—

F2B=（-C,y0）,因为F2A=—,68,所以12，即J2，所以人^以|Jo）.

yi=一铲

__o2___>___>___>___>___>8?

居N>=qc,—Qyo），P\B=（C,yo）,因为瓦?_1瓦瓦所以互不用方=0,即WC2—2yl=0,解得近=

因为点A(|c,—|yo)在双曲线C上，所以券■一豢=L又芯=4，，所以券■一捻"=1，即

22

25（次+。2）16（tz+Z;）=1,化简得*=*,所以e2=l+*=|,所以

方法二由前面方法一得A(|c,一|州)，党=402,所以|AQ|=、y(|c+c)+(一|yo)+陪

=N呼+嗒=•，l”2l=y(|c-cj+(一|yoj=Y与+号=、与+与=*，由双曲

线的定义可得|ARMABI=2a,即母-哼=2°,即坐c=a,所以双曲线的离心率e=^=泉=芈.

方法三由用=-J9可得A,B,B三点共线，且B在线段48上，不妨令点A在第一象限，则

2

点2在y轴负半轴上，易得|&4|=可|出8].设下2^1=3%(7〃>0),则|3A|=2加，所以下向=|EB|=3m,|AB|=5m,

由用N_L居万可得乙4/出=90。，所以以尸1|={48|2一|氐酊|2=4优，所以2a=\AFi\-\AF2\=2m,即a=m.过

分作BD_LAB,垂足为£>,则:|AB|-|FiD|=||FiA|-|FiB|,即:X5相X|RD|=；X4mX3m,所以|八口=,

加，所以|瓦)|=、仍6|2一|产必产=|相，所以।尸2夕=|m,则周/2|=炳坪不丽丽=苧m=2c,即。=芈

加，所以e='=4^.

[能力提升]

13.[2024•全国甲卷(理)]已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),且经过点(一6,4),则该双曲

线的离心率为()

A.4B.3C.2D.^2

答案：C

解析：方法一由题可设双曲线的方程为胃一捻=1(«>0,b>0).根据已知条件可得

a2+lf2=c2=42_

fr〃=2,「4

<42(-6)2解得J,则该双曲线的离心率ej=5=2.故选C.

方法二设该双曲线的焦距为2c,实轴长为2a,由题知c=4,2a=yj(—6)2+(4+4)2—

7(—6)2+(4—4)2=4,则〃=2,则该双曲线的离心离e=\=2.故选C.

方法三记40,4),5(0,-4),C(-6,4),M'jAB±AC,\AB\=S,|AC|=6,则15cl=10,又因为该

双曲线的半焦距c=4,实轴长2〃=|5C|—|AC|=4,则〃=2,则该双曲线的离心率e=(=2.故选C.

14.设A,B为双曲线f—]=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是()

A.(1,1)B.(-1.2)

C.(1，3)D.(—1，—4)

答案：D

解析：设AQi,yi）,B（X2,>2）,A8的中点为M（尤o,yo）,由点A,&在双曲线上，得两

式作差，得其一「宁7，即……=（-J7—，化简得1：4=1人：2z；、；人；]；I人;2）；

%+丁2

9,即“~?"=心产=9,因此左钻=9•瓷.

X\—X2即十X2为0>0

2

由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于A选项，因为左AB=9X；=9>3,所以直线A8与

—19,

双曲线无交点，不符合题思；对于B选项，因为kAB=9X—=—]<—3,所以直线A3与双曲线无交点，

不符合题意；对于C选项，Z：AB=9X1=3,此时直线AB与渐近线y=3x平行，与双曲线不可能有两个交

—19

点，不符合题意；对于D选项，因为kB=9X—~=T<3,所以直线A3与双曲线有两个交点，满足题意.故

A——44

选D.

15.[2024.九省联考]设双曲线C：，一%=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F\,F2,过坐标原点的

直线与C交于A,8两点，尸田=2⑻A|,F^A-F^B=4a2,则C的离心率为（）

A.y/2B.2C.小D.由

答案：D

解析：由双曲线的对称性可知|BA|=|F2B|,\FiB\=|BA|,有四边形ABB6为平行四边形,

令向川=|出用m,

则|/归|=|F2A|=2m,