江苏省连云港市东海县某中学2024届高三年级下册5月模拟考试数学试题（含答案解析）

江苏省连云港市东海县石榴高级中学2024届高三下学期5月模

拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合N={1,3,4},5={l,a+2）,B^A,则实数。的值为（）

A.2B.一1或2C.1或2D.0或2

9

2.已知（1—2x）=旬+H--+，则。0+〉）％=（）

i=2

A.-2B.-19C.15D.17

3.命题咱2,1],——X_Q>O”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A.aW—B.。V0C.Q26D.

4

4.已知歹为抛物线产=4x的焦点，尸为抛物线上任意一点，。为坐标原点，若|'1=3,

则I。尸1=（）

A.272B.3C.2A/3D.后

5.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2

个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.42B.48C.96D.124

,、（。”+2,〃=2左一1，、

6.己知数列{叫满足q=。2=1,%+2=/eN*）,若S"为数列{%}的前"项

一，几一，左

和，则$50=（）

A.624B.625C.626D.650

7.已知耳，与分别是椭圆C：二+与=1（。>6>0）的左、右焦点，M,N是椭圆C上两点,

ab

且2通=3及拓，MF\-MN=O,则椭圆C的离心率为（）

A

-4B.半C-tD，¥

8.已知定义在R上的函数/（x）满足/（x+2）=4-/（x）,且〃x+3）-2为奇函数，〃4）=5,

试卷第1页，共4页

2026

则£/(")=

k=l

A.4047B.4048C.4049D.4050

二、多选题

9.《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明

确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化

活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分

100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现

甲村的评分X和乙村的评分y都近似服从正态分布，其中X〜N（70,b；）,y〜N（75,b；）,

0<CT]<%，则（）

A.x对应的正态曲线比y对应的正态曲线更扁平

B.甲村的平均分低于乙村的平均分

C.甲村的高度满意率与不满意率相等

D.乙村的高度满意率比不满意率大

10.已知函数/（x）=2sin15-「|（0>O）的图象关于点中心对称，则下列结论正确

的是（）

A.“X）的最小正周期3兀

C./（x）的图象关于直线工=兀对称

D./（X）的图象向左平移;个单位长度后关于y轴对称

II.已知抛物线/=2.5>0）的焦点为尸，点尸（5,%）在抛物线上，且I尸用=6,过点尸作

尸轴于点0,则（）

A.p=2B.抛物线的准线为直线>=-1

C.%=26D.△尸的面积为4石

试卷第2页，共4页

12.已知复数2=—；—,则z・Z=.

1

13.设45是一个随机试验中的两个事件，且尸（/）=:尸（8）=；,尸（4+可=（，则

W）=.

14.如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为/+J?-3a中=0,该曲线的渐近线方程为

x+y+a=0.若。=2,直线x-y=0与该曲线在第一象限交于点/,则过点N且与该曲线

的渐近线相切的圆的方程为（写出一个即可）

四、解答题

15.一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，B型机床1台.A型机

床每天发生故障的概率为0.1,B型机床每天发生故障的概率为02

⑴记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望颐X）；

（2）规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修.求某

一天在车间停工的条件下，3型机床发生故障的概率.

16.如图，在直三棱柱4BC-/4G中，。是棱3c上一点（点。与点C不重合），且

过4作平面8CC圈的垂线/.

（1）证明：IHAD-,

（2）若NC=CG=2,当三棱锥C「/CD的体积最大时，求/C与平面4D£所成角的正弦值.

试卷第3页，共4页

,,1

17.已知函数[(x)=ex--9x-X.

⑴求函数在x=l处的切线方程.

(2)证明：VxG[0,+oo),/(x)>sinx.

22

18.已知椭圆氏※+%=l(a>6>0)的离心率1为短轴长为2道.

(1)求椭圆E的方程；

⑵设48是椭圆E的左、右顶点，尸是椭圆E的右焦点.过点尸的直线/与椭圆E相交于

OP

M,N两点(点"在X轴的上方)，直线分别与y轴交于点尸,0,试判断质■是否

为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.

19.记R上的可导函数“X)的导函数为f(x),满足斗+i=x“-点'(〃©N*)的数列N｝称

为函数/(X)的“牛顿数列”.已知数列｛%｝为函数〃x)=x?-X的牛顿数列，且数列｛0｝满足

%=2,a„=ln^—,x„>1.

Z-1

(1)求。2；

(2)证明数列｛%｝是等比数列并求。“；

⑶设数列｛%｝的前"项和为S"，若不等式(-1)"1S"-14VS；对任意的〃wN*恒成立，求才的

取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.

【详解】由/={1,3,/},得/wi,即QW±1,此时〃+2wl,a+2w3,

由5="/,得Q2=Q+2,而QW-1,所以4=2.

故选：A

2.D

【分析】令x=l得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出生,即可得解.

【详解】令X=l,得4+%+a2T-----+。9=—1，

r

又(1-2x)9展开式的通项为Tr+l=C；(-2x)=C；(-2丫£(0W9且/wN),

9

所以%=(-2)，C；=-18,所以/+X/=T-(T8)=17.

i=2

故选：D

3.D

【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数。的取值范围，再求其真子集，即可判断

选项.

【详解】若命题为假命题，

2

则命题的否定“依e[-2,1],x-x-a<0”为真命题，

即aNx2-x,尤©[-2,1]恒成立，

y=x2-x=^x-^xe[-2,l],当x=-2,取得最大值…，

所以.26,选项中只有是{a|a\6}的真子集，

2

所以命题“土e[-2,1],x-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件为«>8.

故选：D

4.C

【分析】根据抛物线定义结合产厂1=3,求得点尸的坐标，即可求得答案.

【详解】由题意尸为抛物线V=4x的焦点，则厂(1,0),且准线方程为

答案第1页，共13页

设尸（马,力），由|尸尸|=3可得尤p+l=3,，Xp=2,代入了2=4无得"=8,

即P（2,±2V2），故\0P|=业+好=厄=2囱，

故选：C

5.A

【分析】因为原定节目顺序已确定，所以可以把新节目一个一个进行插空即可.

【详解】因为原定节目顺序已确定，有6个空，插入第一个新节目有6种插法，

这时6个节目产生7个空，插入第二个节目有7种插法，所以共6*7=42种.

故选：A.

6.C

【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得.

,、（。“+2,〃=2左一1*

【详解】数列叫中，%=%=1,。,+2=/©N*）,

[-an,n=2k

当力=2人-1,丘N*时，an+2-a„=2,即数列｛%｝的奇数项构成等差数列，其首项为1,公差

为2,

25x24一

贝U%+生+。5+•,,+。49=25x1H-----——x2—625,

当〃=2左，左eN*时，%必=-1,即数列｛%｝的偶数项构成等比数列，其首项为1,公比为-1,

an

[X「]—（―]）25]

贝!J出+%+〃6+…+々50=：_7=1，

1一（一1）

以—（〃]+。3+45-----〃49）+（02+〃4++。50）=626.

故选：C

7.B

【分析】设1明1=2〃，结合椭圆定义得I班上2°-3〃，\NF2\=2a-2n,在中由勾股

定理得〃=，，再结合Rt△町瓦求解.

【详解】连接叫，设1町上2〃，则1Ml=3%\MF2\=2a-3n,\NF2\=2a-2n,

在RtAMAq中，峭叫『，即（5"）2+（2"3"）2=（2”2疗，

所以〃嗯，所以I町寸，电1=黑

答案第2页，共13页

在Rt△町月中，|峥『+|火加尸百/，即25c2=17/,所以e=乎.

故选:B.

【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.

【详解】由/(x+2)=4-/(x)可得〃x+4)=4-/(x+2)=4-[4-/卜)]=/卜)，

故“X)的一个周期为4,

由〃x+3)-2为奇函数可得〃0+3)-2=0,得/⑶=2*

对于/(x+2)=4-/(x),令x=l,得/⑴+/(3)=4,则〃1)=2,

令>2,得/⑵+/(4)=4,又"4)=5,所以〃2)=-1,

则/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=8,

2026

故£/㈤=/⑴+八2)+〃3)+〃4)+.•+〃202今

k=l

=506x[/(l)+/(2)+/(3>/(4J+/>506x8+2+(1>4049.

故选：C.

9.BCD

【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比

较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断.

【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大，

因为0<巧</，所以¥对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误；

B选项，甲村的平均分为70,乙村的平均分为75,故B正确；

C选项，因为甲村的平均分为70,由对称性知尸(X280)=尸(X460),C正确；

D选项，因为乙村的平均分为75,由对称性知尸(X"O)>P(X46O),D正确.

故选：BCD.

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10.BC

【分析】利用正弦型函数的对称性结合。的取值范围求出。的表达式，利用正弦型函数的周

期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；

利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项.

【详解】因为函数〃x)=2sin(m-2)(o>0)图象关于点&,()]中心对称，

贝！=析(左eZ),可得=4左+|■(左eZ),

因为0>0,可得0=4左+|■(左eN),所以，/(x)=2sin+|-^x-ReN),

对于A选项，/(x)的最小正周期为7=二了*3兀(左eN),人错；

3

对于B选项，/[；]=2$也[[4左+：色-[=2sin[2阮七)=2sin{=1(左d\),B对；

对于C选项，/(兀)=2sin[14无兀-1=2sin14Ar£]=2sin2=2(左州)，

故函数/(x)的图象关于直线》=兀对称，C对;

对于D选项，将/(x)的图象向左平移二个单位长度后，

可得到函数

2sin[(4左+|■4]，左为偶数

_2sin[(4k+g[x],左为奇数

故「(X)的图象向左平移;个单位长度后得到的函数为奇函数，D错.

故选：BC.

11.AD

【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度可求出。值，即可判断选项AB,根据点在抛

物线上即可求出点尸的纵坐标，即可判断选项C,利用三角形的面积公式即可求出△尸尸0的

面积，即可判断选项D.

【详解】抛物线V=2px5>0)的准线为直线x=设点P在第一象限，过点P向准线作

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垂线垂足为w，

由抛物线的定义可知\PF\=\PM\=5+^=6,解得。=2,

则抛物线的方程为/=4x,准线为直线x=-l,故A正确，B错误;

将x=5代入抛物线方程，解得％=±2石，故C错误；

焦点厂(1,0),点尸(5,±2近)，即|尸0|=2石，

所以S△即°=；x26x(5-l)=46,故D正确；

故选：AD.

12.2

【分析】由复数的运算和共轨复数的定义计算求出结果即可.

【详解】由题意可得z="=-i(l+i)=l-i,

所以z=l+i，

所以z£=(l_i)(l+i)=l_i2=2,

故答案为：2.

【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.

【详解】由题知，尸(4)=)尸⑶=],尸(4+研=二

所以网/+耳=尸(/)+尸(可-尸(痴)=:，

Bp|+1-P(^)=|,则网点)=；.

因尸(13)+尸(/Z)=P(N),

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711

所以尸(/5)=g_3=§

£

则尸（即）=常/

2

3

故答案为：f

14.(X-1)2+(J-1)2=8(答案不唯一)

【分析】联立y=x与/+J?一6孙=0,解得/（3,3）,利用两直线的位置关系求出从点N向

渐近线作垂线的垂足8,进而求出圆的圆心坐标和半径，即可求解.

【详解】联立了=%与/+/_60=0,得2/一6丁=0,解得尸0或y=3.

结合题意可得/（3,3）.渐近线的方程为x+y+2=0.

从点/向此渐近线作垂线，垂足为8,

设3（外〃），贝!]3,解得，，即即-1,-1）,

YI——]

加+〃+2=0i

所以上同=J（3+iy+（3+l）2=4逝,AB的中点坐标为（?，U）=（1」），

所以以N3为直径的圆与渐近线相切的圆的方程为

（X-l）2+（y-1）2=8.

故答案为:(x-1)2+(y-1)2=8.

15.（1）分布列见解析,0.4；

【分析】（1）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望;

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(2)根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.

【详解】(1)X的可能值为0,1,2,3,

P(X=0)=(1-0.1)2x(l-0.2)=0.648,

P(X=l)=2x(l-0.1)x0.1x(l-0.2)+(l-0.1)2x0.2=0.306,

P(X=2)=0.12X(1-0.2)+2X(1-0.1)X0.1X0.2=0.044,

P(X=3)=0.12X0.2=0.002,

所以X的分布列为：

X0123

P0.6480.3060.0440.002

期望E(X)=0x0.648+1x0.306+2x0.044+3x0.002=0.4.

(2)记事件A为“车间停工”，事件B为3型机床发生故障”,

则尸(4)=P(X=2)+尸(X=3)=0.046,尸(48)=0.1x(l-0.1)x0,2x2+0.12x0.2=0,038,

L,…/…、PQB)0.03819

因此P(BA)=——-=----=—

尸⑷0.04623

IQ

所以某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率为q.

16.(1)证明见解析

⑵g.

【分析】(1)先证明平面8CG耳，再根据线面垂直的性质即可证得；

(2)法1：由三棱锥的体积最大推理得到S“CD最大，利用基本不等式得

AD=CD=g，作CH1DC、于H,可推得C4，平面，得到/C与平面所成的

角等于NC4〃，解三角形即得；法2：依题建系，分别求得〃和平面4DG的法向量的坐

标，利用空间向量的夹角公式计算即得.

【详解】(1)在直三棱柱N3C-4耳。中，平面N2C,因为/Ou平面48C,所以

CQ1AD.

答案第7页，共13页

又4DLDC,CCqDC=C,CG，DCu平面BCC#,所以平面BCC4.

又因为//平面8CG4,所以

（2）因为％TC3=；SUC3CG，所以当三棱锥G-/CD体积最大时，SMS最大.

由（1）可知_L平面BCG4,因为CDu面BCC4，所以4D_LCZ）.

又4c=2,所以4=心=•+"22/DS=4S“C3，

当且仅当/。=CD=时取等号，即当S.CD最大时，AD—CD=V2-

法1：综合法

如图，作CH工DQ于H,连结工〃

由（1）可知_L平面BCC4,因为CHu面8CG4，所以4DJ.CH.

又DJcAD=D,AD,OC|u平面ADCX,所以C〃，平面ADQ.

因此，NC与平面ZDG所成的角等于

因为CH,平面4DG，4f/u平面4DG，所以8,47.

在RtAQ?G中，CD=®,CC、=2,所以Z）G=V^,因止匕CH=2W,

yj6A/3

2

在Rt"CH中，sinZCAH=CH_,

~AC~~T~^

所以NC与平面40。所成角的正弦值立.

3

法2：向量法

在平面BCC[Bi内，作DE//CG,DE交4。于E,因为CG_L平面ABC,所以DE上平面ABC.

分别以。。。/,。£为了,》2轴建立空间直角坐标系如图.则4（0,71,0）,。（0,0,0），6（&，0,2）.

答案第8页，共13页

z」

设平面ADCX的法向量为五=(%/,z),易得方=(0,y/2,0),DQ=(JI,0,2),

DA•n=也y=0,

可取方=(0,0,—1).

DC\-n=41x+lz-0,

因就=(行，一后,0),贝Ijcos〈就，亢〉=击=，，

所以/C与平面ADQ所成角的正弦值等于|cos〈就,力1=?•

17.(l)(e-2)x-j+|=0

(2)证明见解答

3

【分析】(1)求导可得/'(l)=e-2,又〃l)=e-；,可求切线方程；

(2)求导得/(X)=e"-、-1,令〃(%)=e"-再求导，进而判断力(%)=e"-％-1在[0,+q)

上单调递增，可得/'(无)=e，-gx2-x在⑼+⑹上单调递增，/(x)>/(0)=l,可得结论.

【详解】(1)由“尤)=e'-；x2-x,可得八x)=e'-x-l,

13

/,(l)=e'-l-l=e-2,X/(l)=e1--xl2-l=e--,

31

所以函数在％=1处的切线方程为y-e+]=(e-2)(x-1),即(e-2)x->+5=0.

(2)由/'(x)=e*-；x2-无，可得/'(x)=e'-x-l,

令〃(尤)=e*-x-1,可得/?'(x)=e'-1,

当xe[0,+oo)时，Af(x)=ex-l>0,所以〃(x)=e*-x-1在[0,+8)上单调递增，

又〃(x)2/z(0)=e°-0-1=0,即/''(x)=eX-x-120,

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所以/(x)=ex-gf-x在[0,。)上单调递增，

所以/(x)N/(O)=e°_；x()2_o=i,当尤=0时，/(0)=l>sin0=0,

当％>0时，/(x)>l>sinx,

综上所述：VxG[0,+oo),/(x)>sinx.

22

18.⑴土+匕=1

43

OP1

(2)是定值；——-=~

【分析】(1)由椭圆的性质和离心率解方程组求出即可;

OP1

(2)当斜率不存在时，分别求出直线和BN的直线方程，得到万万=%；当斜率存在

时，设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，由点斜式求出直线方程可得到RO两点

OP

坐标，再用韦达定理表示出该化简即可.

c_1

a2

【详解】(1)由题意可得26=

a2=b2+c2

解得a=2,b=V3,c=1f

所以椭圆方程为《+片=1,

43

(2)是定值，理由如下：

由题意可得4-2,0),8(2,0),下(1,0),

答案第10页，共13页

当Wx轴时，直线/的方程为x=l,易知

直线AM的方程为y=g(x+2),所以尸(O,l),Q尸卜1,

aOPi

直线8N的方程为y=：(x-2),所以。(0,-3),|OQ|=3,则而万=4;

当直线AGV的斜率存在时，设直线/的方程为了=左(尤-1),(%0),

(22

工+匕=1

由，43得(3+4左2)x?-8左?x+4左2—12=0,

y=k(x-\)

则公=144俨+1)>0,

设M(为,乂),NG?,%)，贝1U+w=3：；//〃=，

直线⑷/的方程为>(x+2),令x=0,则力=2，所以/｛。，之

%+2再+2(xx+2)

直线8N的方程为>=上;(》-2),令》=0,则坨=",所以。［o,飞

x2~1x2—2I%—2,

OP£

综上,

OQ3

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于讨论斜率存在与不存在的情况，不存在时，直曲

OP

联立，由韦达定理结合直线方程表示出3°,再化简即可.

19.(1)4

答案第11页，共13页

(2)证明见解析，％=2〃

25

(