2023-2024学年人教版九年级数学上册重难点题型突破训练：四点共圆

专题4.8四点共圆

区模型方弦

1.四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为''四点

共圆”.

2.四点共圆的性质

(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等.

(2)圆内接四边形的对角互补.

(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.

3.四点共圆的判定

⑴用“角”判定：

①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；

②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；

③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三

角形的四个顶点在同一个圆上.

⑵“等线段”判定：

四顶点到同一点的距离相等，若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆.

⑶用“比例线段”判定：

若线段AB,CD(或其延长线)交于点P,且PA•PC=PB•PD,则A,B,C,D四点

共圆.

模型解接」

模型1:对角互补型：

若NA+NC=180°或NB+ND=180°

I

则A、B、C、D四点共圆

模型2：同侧等角型

(1)若NA=NC,

则A、B、C,D四点共圆

(2)手拉手(双子型)中的四点共圆

条件：△OCDSZ\OAB

结论：①△OACs/\OBD

②AC与BD交于点E,必有ZAEB=ZAOB;

③点E在^OAB的外接圆上，即0、A、B、E四点共圆.同理:ODCE也四点共圆.

模型3:直径是圆中最长的弦

1.定圆中最长的弦是直径；

2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦;

3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

E

园满台外依

【典例1】如图，四边形488是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下

数据：48=30方〃，BC=40hn,Z5=120°,ZJ+ZC=180°,请计算这块

规划用地的最大面积.

【变式1-1】如图，已知2C=5C=4,点D是48下方一点，且NC=NZ>=

90°,求四边形NC5Z）面积的最大值.

【变式1-2】如图，△4SC中，ZBAC=60°,40平分NA4C,NBDC=120°,

连接助，8并延长分别交2C,45于点E和点/，若DE=6,此空，则

CD5

加的长为（）

A.10B.12C.15D.16

【变式1-3】如图，/、/台。中，NZCS=90°,点刀为边43的中点，AADC沿

直线。＞翻折至△48C所在平面内得△/'DC,AA'与CD交于点£.若

AC=V5,BC=2代，则点H到48的距离是（）

［变式1-4］如图，正方形488和正方形DEFG边长分别为。和A,正方形DEFG

绕点。旋转，给出下列结论：①NG=C£；（2）AG±CE-,③点G、D、H、E

四点共圆；④。77平分N4DE；©AC^+EG1=C&+AE1,其中正确的结论是

（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③⑤

【变式1-5】如图，48=40=6,ZA=60°,点C在NZX45内部且NC=

120°,则CB+CD的最大值()

A.473B.8C.10D.6V3

【变式1-6］如图，在等腰三角形纸片月5c中，AB=AC,将该纸片翻折，使得

点C落在边45的尸处，折痕为DE,D,E分别在边3C,AC±,/AFD=N

DEF,若DE=4,BD=9,则。尸=_,4劣。的面积为.

［变式1-7］如图，以C为公共顶点的RtA45c和Rt/\CED中，ZACB=ACDE

=90°,ZA=ZDCE=3O°,且点。在线段48上，则,若ZC

【变式1-8］如图，ABLBC,AB=5,点、E、尸分别是线段43、射线上的动

点，以石尸为斜边向上作等腰ZZ)=90°,连接40,则4D的最

小值为__.

【变式1-9】【问题情境】如图①，在四边形488中，/B=/D=90°,求

证：/、B、C、D四点共圆.

小吉同学的作法如下：连结NC,取力C的中点。，连结。3、OD,请你帮助

小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图②，在正方形4BCD中，48=2,点E是边8的中点，

点尸是边5c上的一个动点，连结AF,作于点尸.

(1)如图②，当点尸恰好落在正方形488对角线5。上时，线段4P的长

度为—;

(2)如图③，过点尸分别作于点〃，PN1BC千点、N,连结

则的最小值为.

图①图②图③

【变式1-10］如图，在RtZ\48C中,ZBAC=90°,ZABC=40°,将△UC

绕N点顺时针旋转得到△/瓦,使。点落在5c边上.

(1)求的度数；

(2)求证：A,D,B,七四点共圆.

E

B

DC

专题4.8四点共圆

_互避型交甚____________________________________________

1.四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点

共圆”.

2.四点共圆的性质

⑴共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等.

⑵圆内接四边形的对角互补.

⑶圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.

3.四点共圆的判定

⑴用“角”判定：

①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；

②J个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；

③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三

角形的四个顶点在同一个圆上.

⑵“等线段”判定：

四顶点到同一点的距离相等，若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆.

⑶用“比例线段”判定：

若线段AB,CD（或其延长线）交于点P,且PA・PC=PB・PD,则A,B,C,D四点

共圆.

模型解禳:

模型1:对角互补型:

若NA+NC=180°或NB+ND=180°,

则A、B、C、D四点共圆

模型2：同侧等角型

（1）若NA=NC,

则A、B、C、D四点共圆

（2）手拉手（双子型）中的四点共圆

条件：AOCD^AOAB

结论：©AOAC^AOBD

②AC与BD交于点E,必有NAEB=NAOB；

③点E在46X8的外接圆上，即。、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.

模型3:直径是圆中最长的弦

1.定圆中最长的弦是直径；

2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦;

3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

E

园满台外依

【典例1】如图，四边形488是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下

数据：48=30方〃，BC=40hn,Z5=120°,ZJ+ZC=180°,请计算这块

规划用地的最大面积.

【解答】解：二•四边形N5CZ）中，ZDAC+ZDCB=\80°,

.../、B、C、。四点共圆，

如图，延长C8,过点N作于点E,连接NC,过点。作。尸，/C于

点尸.

VZJ5C=120°,

；.NADC=NABE=60°,

221

：.BE=^AB=\5kin,AE=^30-15=5V3^»,CE=40+15=55方〃，

=

•,-5^c=-j-AE'CByX15A/3X40=3oW^〃2.

则当△4DC的面积最大时，四边形48CZ）的面积最大.

当40=8时，DF最大,此时四边形Z8CZ）的面积最大.

在RtA4CE中，^4C=^552+（15V3）2=1oV37^//>AF=Lc=5国kin,

•.Z刀尸=紧胸=30°，

，DF=y[^AF=5A/111A7//,

，=9252

•-5AJWC=-1-AC-DF-X10V37X5VmV3A7«.

300V3+925V3=1225V^防后

，四边形488的最大面积为12256方〃2.

【变式1-1]如图，已知ZC=5C=4,点。是48下方一点，且NC=/O=

90°,求四边形NC5Z）面积的最大值.

【解答】解：过点C作CEL4B,垂足为E,过点刀作。尸，45,垂足为尸,

VZC=ZZ>=90°，

二48是圆的直径，即2,C,B,D四个点在以4B为直径的圆上，

"：AC=BC=4,

•,-AB=-\/AC2+BC2=V42+42=4&>

・••四边形/CAD的面积=A4C3的面积+AAD5的面积，

二四边形的面积=!4小。石+工45•刀尸

22

=248・(DE+DF),

2

当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，

即当。£+0尸=4我时，

四边形/C5。的面积=」X4&X4&=16,

2

，四边形ACBD面积的最大值为16.

【变式1-2】如图，AA3C中，NA4c=60°,4D平分NA4C,NBDC=120°,

连接&),CZ)并延长分别交NC,48于点石和点尸，若DE=6,更白，则

CD5

的长为()

A.10B.12C.15D.16

【答案】C

【解答】解：'：ZBAC=60°,ZBDC=120°,

：.A.E、D、尸四点共圆,

平分NA4C,

ADAE=NDAF,

：.DE=DF=6,

VZBDC=nQ°,

；./CDE=60°=ZFAC,

ZACD=ZACD,

:.△CDEsMAF,

：.AF：AC=DE；CD=6：10=3：5,

如图，延长。尸到尸，使。尸二05,

•：4PBD=60°,

...△AD尸为等边三角形，

，/尸=60°,

:.△AFCSBFB,

:.PF：PB=AF：AC=3：5,

设每一份为上

：.PB=PD=5k,PF=3k,

：.DF=2k=6,

:・k=3,

：.BD=5k=15.

故选：c.

【变式1-3］如图，△N5C中，NNC5=90°,点刀为边48的中点，AADC沿

直线CZ）翻折至△ASC所在平面内得AN'DC,AA'与CD交于点、E.若

AC=V5,BC=2y，则点到48的距离是（）

【答案】B

【解答】解：在△♦SC中，NACB=90°,点。为边48的中点,

，CD=AD=BD=LB,

2

'：AC=V5,BC=2遥，

'AB=VAC2+BC2=V(V5)2+(2V5)2=5，

：.AD=BD=^-,

2

根据折叠的性质可得，AC=A'C=V5,40=/'D=$,

2

'•A'

：.AAA'B为直角三角形,

，/、B、A'.。四点共圆，

以48为直径，。为圆心作圆，过点Z'作/'FLAB,设CD与44'交于点

VAzB=A'B，

CO=ZBAO,

'：ZJzOC=NBOA,

：.AA'OCs/\BOA,

.AyCQC0Az

AB=0A"OB

设OC=x,则OB=BC-OC=275-x,

•V5x0A’

，~=OA=27T7，

：.OA=45X,OA'=2-2^_X,

在RtAJOC中，00+4。=。月2,

•2+（病）2=（吊）2,

解得：*=近或XL（舍去），

22

OA'=2-正义近=3,OB=2^

52222

在RtZkOH8中，，5rOB2_OA，2=J（等）2呜）2=3

设DF=a,则BF=BD-。尸=5-2，

2

221

在Rt2\HDF中,A'F=A'D-DF=（A）2_32；

在RtA4'6厂中，A'产=力’用-5产2=§2呜一&）2,

2222

，（|）-a=3-（1-a）-

解得：a=-L,

10___________

・"/=1成）2-（吉）2=]

即点N'到25的距离是里•.

5

故选：B.

【变式1-4]如图，正方形258和正方形QE厂G边长分别为。和从正方形DEFG

绕点。旋转，给出下列结论：®AG=CE-,(2)AG±CE；③点G、D、H、E

四点共圆；④。H平分N4DE;⑤AC+EG2=CgAE?,其中正确的结论是

()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③⑤

【答案】D

【解答】解：在△4DG和△CDE中，

rAD=CD

<ZADC=ZCDE,

,DG=DE

:.△ADG9XCDE（SAS）,

：.AG=CE；

连接/c,

,/AADG^ACDE,

:.NDAG=/DCE,

VZDAG+ZCAG+ZACD=90°,

AZDCE+ZCAG+ZACD=90a,

即N/RC=180°-(ZDCE+ZCAG+ZACD)=90°,

：.AG±CE；

'：AG±CE,ZGDE=9G°,

...点G、D、H、E四点在以EG为半径的圆上；

•.力和。不-定相等，

：.DH不一定平分NNOE；

连接NC,AE,EG,CG,

,：AH1+CH2=AC2,HG2+HE2=EG2

—EG2=AH2+CH1+HG2+HE2,

,：AH2+EH1=AE2,CH2+HG2=CG2,

.^AE^CG2=AH2+CH2+HG2+HE2,

即AC2+ECr=CG2+AE2,

①②③⑤结论正确；

故选：D.

【变式1-5］如图，48=40=6,ZA=60°,点。在NZM5内部且NC=

120°,则CB+CD的最大值（）

D

C.10D.6M

【答案】A

【解答】解：如图，连接NC,BD,在NC上取点“使。M=Z>C,

•:/DAB=60°，ZDCB=120°,

ZDAB+ZDCB=1SQO,

：.A,B,C,D,四点共圆,

•；4D=AB,NZM8=60°,

...△4D5是等边三角形，

:./ABD=/ACD=60°,

,:DM=DC,

.•.△"/C是等边三角形，

ZADB=ZACD=60°,

ZADM=NBDC,

'：AD=BD,

:.△ADM9ABDC(.SAS'),

：.AM=BC,

：.AC=AM+MC=BC+CD,

四边形ABCD的周长为AEnAB+CD+BC=AmAB+AC,

且40=48=6,

.,.当NC最大时，四边形488的周长最大，则C3+8最大,

此时C点在右的中点处,

/.ZC4B=30°,

.•./C的最大值=48Xcos30°=4V3,

：.CB+CD最大值为幺。=4帆，

故选:A.

【变式1-6］如图，在等腰三角形纸片力5C中，AB=AC,将该纸片翻折，使得

点C落在边48的尸处，折痕为OE,D,E分别在边5C,AC±,/AFD=/

DEF,若DE=4,BD=9,则DF=6,AlgC的面积为—则元

【解答】解：连接40,过点/作ZG_LffC于点G,如图,

,/AAFD=/DEF,

：.ZCED=ZAFD,

：.A.F、D、石四点共圆，

:./DAF=/DEF,ZCAD=ZDFE,

:./AFD=NDAF,ZCAD=ZC,

：.DF=AD=CD,

,:AB=AC,

，ZB=ZC,

/CED=/DEF=ZDAF,

ABADsACED,

•.•A-D--BDf

DECD

\"DE=4,BD=9,DF=AD=CD,

•••D-F=--9-,

4DF

：.DF=AD=CD=6,

：.BC=BD+CD=9+6=15,

'：AG±BC,AB=AC,

：.BG=CG=jbC~^

：.DG=CG-CD=li_6=2，

22

在RtA^DG中，由勾股定理得AG=7AD2-DG2=^62-(1-)2=百醇，

01……1、，3任_45行

-521瓯学*一彳乂15乂一———•

故答案为：6,查运.

4

【变式1-7］如图，以C为公共顶点的RtA43c和中，/ACB=/CDE

=90°,ZA=ZDCE=30°,且点少在线段48上，则N4g£=30°

若/C=10,CD=9,则AE=空运.

一3一

【解答】解：VZACB=ZCDE=90°,ZA=ZDCE=30°,

AZDBC=ZDEC=6Q°,

:.B、。、D、E四点共圆,

：.4DBE=4DCE=30°,

ZABE=30°,

设8C=x,则Z5=2x,

在RtAJ5C中，

由勾股定理得幺¥=/C+BC2,

'：AC=10,

：.⑵）2=102+/,

解得：x=」。®

3

3

设DE=a,则CE=2a,

在RtZ\CEO中，

由勾股定理得CE2=DE2+CD2,

'：CD^9,

：.（2a）2=a2+92,

解得：a=3A/3，

:•DE=3V^，CE=IJA/3>

VZABC=60°,ZABE=30°,

ZCBE=ZABC+ZABE=90°,

在RtzXCBE中，

由勾股定理得BE=VE贰萩,（蓊）2-（喈■）2=室.

【变式1-8］如图，AB±BC,AB=5,点、E、尸分别是线段48、射线3c上的动

点，以所为斜边向上作等腰RtZ\Z>£/，ZD=90°,连接Z。，则4D的最

小值为旦（2.

—2—

【答案】皿2.

2

【解答】解：连接5。并延长，如图,

AZABC=9Q°,ZEDF=90°,

：.NABC+/EDF=180°,

:.B,E,D,E四点共圆，

•••△DEF为等腰直角三角形，

:./DEF=NDFE=45°,

:./DBF=NDEF=45°,

:.NDBF=NDBE=45°,

点D的轨迹为N48C的平分线上，

:垂线段最短，

二当ADLBD时，AD取最小值，

：.AD的最小值为©5=显2,

22

故答案为：皿2.

2

【变式1-9】【问题情境】如图①，在四边形48co中，ZB=ZD=90°,求

证：A,B、C、D四点共圆.

小吉同学的作法如下：连结ZC,取ZC的中点。，连结。5、0D,请你帮助

小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图②，在正方形45CQ中，48=2,点E是边CD的中点，

点厂是边8c上的一个动点，连结NE,AF,作EPL4F于点P.

(1)如图②，当点尸恰好落在正方形48CO对角线5。上时，线段4P的长

度为—垣_；

—2—

(2)如图③，过点尸分别作尸48于点PNLBC千点、N,连结7W,

则“N的最小值为义亘正.

—22―

图①图②图③

【答案】【问题情境】见解析；

【问题解决】(1)运；

_2

(2)里.

22

【解答】【问题情境】证明：如图，连结ZC,取NC的中点。，连结。8、

0D,

VZADC=ZABC=90°,。为ZC的中点，

0A=OB=OC=OD=1AC,

2

.,.A,B、C、D四点共圆；

【问题解决】解：(1)•.•四边形48co为正方形，点E是边的中点，AB

=2,

：.AD=2,DE=1,

NE=VAD2+DE2=V5，

由【问题情境】结论可知，4、D、E、尸四点共圆，如图，

B

NPAE=4PDE,

,：BD为正方形48co的对角线，

/.ZPDE=ZPAE=45°,

'：EP±AF,

•••△夫/E为等腰直角三角形，

设AP长为a,则PE长为a,

：.AP2+P^=AE^,

即a2+42=(%)2,

解得：勾=垣，a*二®(不合题意，舍去)，

222

线段幺尸的长度为运；

2

故答案为：运；

2

(2)由【问题情境】结论可知，4、D、E、尸四点共圆，

如图，过点。作。于点G,作于点连接。8交O。于点

APMB=ZMBN=ZPNB=90°,

，四边形"