人教版初中八年级数学上册同步讲义-最短路径（原卷版）

第05讲最短路径

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，

①最短路径的基本原理点到直线的距离最短。

②最短路径的基本模型2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，

垂直平分线的性质解决相应题目。

思维导图

知识点01最短路径的基本原理

i.最短路径的基本原理:

号线最短

最短。

p

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离o如图，九W是垂直平分线，C4=

知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短

1.如图，存在直线/以及直线外的点P和点。，直线/上存在一点使得的值最小：

方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线,

的交点即为要找的点二_____________1

解：如图，作点P关于直线/的对称点连接尸’0,P。与直线/交于点则此时MP+M0最小。

证明：•.•尸与P关于直线/对称

直线I是PP的________________

：.MPMP'

：.MP+MQ=+MQ=o

此时有最小值，为的长度

题型考点：①基本作图。②求值计算。

【即学即练11

1.如图，在正方形网格中有M,N两点，在直线/上求一点尸使PM+PN最短，则点P应选在（）

C.C点D.。点

【即学即练21

2.如图，在等边△A8C中，3c边上的高AD=6,E是高4D上的一个动点，尸是边的中点，在点E运

动的过程中，匹+£尸存在最小值，则这个最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

知识点03最短路径基本类型一一角内一点与角两边构成的三角形周长最短

1.如图，已知以及角内一点尸，角的两边。”与。N上存在点/与点3,使得△E42的周长最小:

方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P与P'连接PP'。P'P"

与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。

解:如图，分别作点尸关于与ON的对称点P与P连接PP"。P'P"//

0--------------M

与（W、ON的分别交于点/与点2,连接以、PB以及AB,此时的周长最

小。

,4rN

证明：与P关于（W对称，尸与尸〃关于ON对称

是PP的___________,ON是刊”的______

APAP',BPBPn

。△口鸟=E4+AB+PB=______-\-AB-\-=0

t1

:.△R4B的周长最小。p,

题型考点：①基本作图。②求值计算。

【即学即练1】

3.如图，已知/。，点P为其内一定点，分别在N。的两边上找点/、B,使△为5周长最小的是（）

-B.X

/f。

C.。/一BD./）匕

【即学即练21

4.如图，已知的大小为a,P是N/O3内部的一个定点，且。P=5,点E、尸分别是04、08上的

动点，若△尸跖周长的最小值等于5,则（1=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

知识点04最短路径基本类型一一角内两点与角两边构成的四边形周长最短

1.如图：已知//O5以及角内两点点尸与点。,角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小:

方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边

CU与08相交与点河与点N,此时点M与点N即为要找的点。

解：如图，作点。关于04的对称点。，点P关于OB的对称点C,连接DC,o<[

DC与OA交于点M,与OB交于点N,连接QM,MN,PN,PQ.此时四边形PQMN

的周长最下。S

证明：与。关于CM对称，尸与C关于对称

D

・・・。4是。。的,05是尸。的o

MDMQ,NPNCo乂

C四边形PQMN=PQ+QM+MN+PNQ

—PQ~\~-\-MN-\~

=PQ+。

...四边形PQMN的周长最小。

题型考点：①基本作图。

【即学即练1】

5.已知：点"和点N,试在。4、03上分别找点P、Q,使四边形尸的周长最短.（尺规作

图，不需写作法，保留作图痕迹）

知识点05最短路径基本类型一一造桥选址问题

1.如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q,现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程

最短：・P

方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，

连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。如下图：一

题型考点：①基本作图。

【即学即练11

6.如图，/和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥使从4到8的路径4WS最短的是（假

定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）

题型精讲

题型01最短路径的作图

【典例1】

小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区/,8提供牛奶，要使/,8两小区到送奶站的距离之和最

小，则送奶站C的位置应该在（）

居民区A居民区A/

\以炎心居民区

居民区BB

A.街道---------街道——

B.:C

居民区A

I居民区B居民区A

街道,/\居民区B

街道—^

C.A'D.C

【典例2】

如图，河道/的同侧有"，N两个村庄计划铺设管道将河水引至M,N两村，下面四个方案中，管道总长

度最短的是（）

/N

：/Q1

A.Q1•

B./

二N

c.Q\D.Q

【典例3】

如图，直线/1，/2表示一条河的两岸，且/1〃/2现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使

得从村庄P经桥过河到村庄。的路程最短，应该选择路线（）

C

111

E’2--

A.路线：PF^FQPB.路线：PE-EQP

C.路线：PE—EF—FQPD.路线：PE—EF—FQ

【典例4】

将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为°,沿河。2排开（从点尸到点。）；将军从马棚M

出发到达队头尸，从P至。检阅队伍后再赶到校场M请问：在什么位置列队（即选择点P和。），可

以使得将军走的总路程MP+P0+QN最短？

【典例5】

如图，山娃星期天从/处赶了几只羊到草地/1放羊，然后赶羊到小河/2饮水，之后再回到2处的家，假设

山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.

草地

【典例6】

如图：要求在人、/2上找出M,N两点.使四边形尸QW的周长最小，在图上画出M,N的位置.（不写

画法，保留作图痕迹）

h

题型02最短路径的计算

【典例1】

如图，等边△4BC中，。为/C中点，点尸、。分别为48、4D上的点，且2尸=/。=4,QD=3,在上

有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

【典例2】

如图，CO是△/2C的角平分线，△N2C的面积为12,2C长为6,点E,尸分别是CD,/C上的动点，则

/£+斯的最小值是（）

C.3D.2

【典例3】

如图，四边形488中，/BAD=a,NB=/D=9Q°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△/的周长

最小时，则NM4N的度数为（）

c

A.工。B.2a-180°C.180°-aD.a-90°

2

【典例4】

如图，ZAOB=3Q°,点。是它内部一点，OD=m.点、E,尸分别是。2上的两个动点，则△£>£下周

A.0.5mB.mC.1.5mD.2m

【典例5】