专题5.6 两直线平行的判定的四大题型（人教版）（解析版）

专题5.6两直线平行的判定的四大题型【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对两直线平行的判定的四大题型的理解！【题型1利用邻补角判定两直线平行】1.（2023下·湖南长沙·七年级统考期中）如图，∠ADE+∠BCF=180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E．(1)AD与BC平行吗？请说明理由．解：AD∥∵∠ADE+∠ADF=180°（邻补角的定义），∠ADE+∠BCF=180°（已知），∴∠ADF=∠______（同角的补角相等）．∴AD∥(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？∵BE平∠ABC（已知），∴∠ABE=12∠ABC又∵∠ABC=2∠E（已知），即∠E=1∴∠E=∠______（_________）∴______∥______（_________）【答案】(1)BCF(2)角平分线的定义；ABE；等量代换；AB，【分析】（1）根据同角的补角相等证得∠ADF=∠BCF，再根据同位角相等，两直线平行证得结论即可；（2）根据角平分线定义证得∠ABE=12∠ABC【详解】（1）解：AD∥∵∠ADE+∠ADF=180°（邻补角的定义），∠ADE+∠BCF=180°（已知），∴∠ADF=∠BCF（同角的补角相等）．∴AD∥故答案为：BCF；（2）解：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠ABE=1又∵∠ABC=2∠E（已知），即∠E=1∴∠E=∠ABE（等量代换）∴AB∥故答案为：角平分线的定义；ABE；等量代换；AB，【点睛】本题考查同角的补角相等、平行线的判定、角平分线定义、邻补角定义，熟练掌握平行线的判定是解答的关键．2.（2023·全国·七年级假期作业）如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝°（）因为∠2+∠3＝180°（）所以∠3＝∠4（）因为（）所以∠1＝∠4（）所以AB//DE（）【答案】180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3，已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．【分析】根据邻补角的意义，得出∠2+∠4＝180°，由同角的补角相等得出∠3＝∠4，等量代换得出∠1＝∠4，由同位角相等，两直线平行得出结论AB//DE．【详解】解：将∠2的邻补角记作∠4，则∠2+∠4＝180°（邻补角的意义）因为∠2+∠3＝180°（已知）所以∠3＝∠4（同角的补角相等）因为∠1＝∠3（已知）所以∠1＝∠4（等量代换）所以AB//DE（同位角相等，两直线平行）故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；∠1＝∠3，已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．3.（2023下·宁夏银川·七年级校考期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF=90°，∠ODC=30°时，人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架OE的夹角∠AOE和扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．

【答案】∠AOE=60°,∠ANM=120°【分析】先根据平行线的性质，得出∠ODC=∠BOD=30°，再根据∠EOF=90°，即可得到∠AOE=60°，再根据平行线的性质，即可得到∠AND的度数，进而得出∠ANM的度数．【详解】解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面，∴AB∥∴∠ODC=∠BOD=30°，又∵∠EOF=90°，∴∠AOE=180°−∠EOF−∠BOD=60°，∵DM∥∴∠AND=∠AOE=60°，∴∠ANM=180°−∠AND=120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．4.（2023下·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（），∴∠1=∠B（）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝（）．∴AB∥CD（）．【答案】见解析【分析】根据平行的判定定理证明即可．【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（平角定义），∴∠1=∠B（同角的补角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠B（等量代换）．∴AB∥CD（同位角相等，两条直线平行）．【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5.（2023下·浙江丽水·七年级青田县第二中学校考期中）如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1=45°，∠2=135°，判断l【答案】直线l1与l【分析】根据平行线的判定解答即可．【详解】解：直线l1与l∵∠2=135°，∴∠3=180°−∠2=45°，∴∠1=∠3=45°，∴直线l1与l【点睛】此题考查平行线的判定、平角，解题的关键是掌握平行线的判定定理．6.（2023下·七年级课时练习）如图，一条公路绕湖而过，测得三个拐弯的角度分别为∠A＝120°，∠B＝150°，∠C＝150°，试判断公路AE与CF是否平行，并说明理由．【答案】AE∥CF.【分析】延长CB交AE于点D，先由邻补角定义得出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理求得∠BDA，从而得到∠BDE，即∠BDE＝∠C，由内错角相等，两直线平行可得AE∥CF.【详解】AE∥CF.理由：延长CB交AE于点D，∵∠ABC＝150°，∴∠ABD＝180°－∠ABC=180°-150°=30°，∵∠A＝120°，∴∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－120°－30°＝30°，∴∠BDE＝180°－∠BDA=180°－30°=150°，∴∠BDE＝∠C，∴AE∥CF【点睛】此题考查了平行线的判定、邻补角定义以及三角形内角和是180°，得到∠BDE＝∠C是解答此题的关键.【题型2利用垂直判定两直线平行】1．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）请根据所给图形回答下列问题：

(1)若∠DCF+∠GFC=180°，CD⊥AB，请写出FG与AB的位置关系，并给予证明；证明：FG与AB垂直．∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∵∠DCF+∠GFC=180°∴DC∥FG（__________）∴∠CDB=∠FGB=90°（__________）∴FG⊥AB(2)在（1）的结论下，如果∠1=∠2，又能得到哪两条线段平行呢？下面是小明同学不完整的解答过程，请补充完整．∵DC∥FG∴∠2=∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴__________（__________）【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等(2)∠3；两直线平行，同位角相等；DE∥【分析】（1）根据垂直得∠CDB=90°，根据∠DCF+∠GFC=180°得DC∥FG（同旁内角互补，两直线平行），根据两直线平行同位角相等得（2）根据两直线平行，同位角相等得∠2=∠3，根据∠1=∠2等量代换得∠1=∠3，根据内错角相等两直线平行即可得．【详解】（1）FG与AB垂直；证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠DCF+∠GFC=180°，∴DC∥∴∠CDB=∠FGB=90°（两直线平行，同位角相等），∴FG⊥AB，故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；（2）解：∵DC∥∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴DE∥故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DE∥【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质．2．（2023下·浙江杭州·七年级期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，（1）请说明∠1=∠A的理由；（2）若∠1+∠2=180°，HF与AB是否垂直？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）垂直，见解析【分析】（1）利用同角的余角相等进行证明；（2）根据平行线的性质和平行线的判定证明即可．【详解】解：（1）∵DE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠CED=90°，∴∠1+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠1=∠A；（2）∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠1=∠DCB，∵∠1+∠2=180°，∴∠DCB+∠2=180°，∴CD∥FH，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠HFB=90°，∴HF⊥AB．【点睛】本题主要考查余角的性质和平行线的性质以及平行线的判定，命题意图在于训练学生的证明书写过程．3．（2023上·安徽铜陵·七年级铜陵市第十五中学校考期中）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD垂直OB，交边BC于点D．(1)如图1，猜想并直接写出∠COD与∠BAC的数量关系，不需要说明理由；(2)如图2，作△ABC的外角∠ABE的角平分线交CO的延长线于点F，求证：BF∥【答案】(1)∠COD=1(2)见解析【分析】（1）则根据角平分线的定义以及三角形内角和定理得出∠BOC与∠BAC的关系，然后根据∠COD=∠BOC−∠BOD即可得出结论；（2）根据角平分线的性质以及平角的性质得出∠FBO即可证明结论．【详解】（1）解：猜想：∠COD=1证明：∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB，∴∠OBC=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−=180°−=90°+1∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°，∴∠COD=∠BOC−∠BOD=90°+=1即∠COD=1（2）解：∵BF平分∠ABE，BO平分∠ABC，∴∠ABF=1∴∠FBO=∠ABF+∠ABO=1∵作△ABC的外角∠ABE交CO的延长线于点F，∴∠ABE+∠ABC=180°，∴∠FBO=180°×1∴∠FBO=∠BOD=90°，∴BF∥【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．4．（2023上·江苏南通·七年级校考期末）填写理由：如图所示，EF⊥AB，CD⊥AB，AC⊥BC，∠1=∠2，求证：DG⊥BC．证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB①.∴∠EFA=∠CDA=90°（垂直定义）∴EF//CD②∴∠1=∠③∴∠1=∠2（已知）∴∠2=∠ACD（等量代换）∴DG//AC④．∴∠DGB=∠ACB⑤．∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（垂直定义）∴∠DGB=90°即

DG⊥BC．【答案】已知ACD同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行

两直线平行，同位角相等．【分析】根据题意，利用平行线的判定和性质，以及垂直的定义，进行证明，即可得到答案.【详解】∵EF⊥AB，CD⊥AB已知.∴∠EFA=∠CDA=90°（垂直定义）∴∠1=∠ACD.∴EF//CD（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠2（已知）∴∠2=∠ACD（等量代换）∴DG//AC（内错角相等，两直线平行）∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）.∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（垂直定义）∴∠DGB=90°，即DG⊥BC.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.5．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图1，线段BA⊥AC于点A，BD平分∠ABC，M为射线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．

(1)如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由；(2)如图2，M为线段AC延长线上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由．【答案】(1)BD∥(2)BD⊥MF，见解析【分析】（1）利用平行线的判定即可证明；（2）利用各角之间的关系，证明BD所在的直线与MF的夹角为90°即可．【详解】（1）解：∵BA⊥AC，∴∠A=90°，∵ME⊥BC，∴∠A=∠CEM，∴∠CME=∠ABC，∴∠ABC+∠AME=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠AMF+∠ABD=90°，∴∠AFM=∠ABD，∴BD∥（2）延长BD，交MF于点G，

∵在Rt△ABC和Rt△CMF中，∠BAC=∠CEM，∴∠ABC=∠CME，又∵BD、MF分别为∠ABC和∠CME的平分线，∴∠FBG=∠AMF，又∵∠AMF+∠AFM=90°，∴∠FBG+∠AFM=90°，∴∠BGF=90°，∴BD⊥MF．【点睛】本题考查了平行线的判定以及垂线的判定，熟练掌握平行线的判定以及垂线的判定是解题的关键．6．（2023下·上海奉贤·七年级统考期末）如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC

【答案】见解析【分析】先根据垂直的定义可得∠BAC=90°，进而得到∠BAD+∠B=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可证明即可．【详解】解：∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=90°（垂直的定义），∵∠1=30°，∴∠1+∠BAC+∠B=180°，即∠BAD+∠B=180°．∴AD∥【点睛】本题主要考查平行线的判定、垂直定义等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．7．（2023下·内蒙古赤峰·七年级统考期末）完成下面的证明．

如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：∠BAC+∠AGD=180°．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（______），∴∠EFB=∠ADB（等量代换），∴EF∥∴∠1=∠BAD（______），又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠_____（______）∴DG∥∴∠BAC+∠AGD=180°（______）．【答案】见解析【分析】根据垂直定义可得∠EFB=90°，∠ADB=90°，根据同位角相等，两直线平行得到EF∥AD，再根据两直线平行，同位角相等得到∠1=∠BAD，结合已知等量代换可得∠2=∠BAD，利用内错角相等，两直线平行可推出【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义），∴∠EFB=∠ADB（等量代换），∴EF∥∴∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BAD（等量代换），∴DG∥∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．【点睛】本题考查了平分线的判定与性质，垂直定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．8．（2023上·广东广州·七年级校考期中）如图1，线段BA⊥AC于点A，BD平分∠ABC，ME⊥BC，垂足为E

(1)如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由；(2)如图2，M为线段AC延长线上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由．【答案】(1)BD∥(2)BD⊥MF，理由见解析【分析】（1）利用交平分线的定义、等角的余角性质，结合平行线的判定即可证明；（2）利用各角之间的关系，证明BD所在的直线与MF的夹角为90°即可．【详解】（1）解：BD∥理由：∵BA⊥AC，∴∠A=90°，∵ME⊥BC，∴∠A=∠CEM，∴∠CME=∠ABC=90°−∠C，∠ABC+∠AME=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠AMF=12∠AME∴∠AMF+∠ABD=90°，又∠AMF+∠AFM=90°，∴∠AFM=∠ABD，∴BD∥（2）BD⊥MF，理由：延长BD，交MF于点G，

∵在Rt△ABC和Rt△CME中，∠BAC=∠CEM，又∴∠ABC=∠CME，又∵BD、MF分别为∠ABC和∠CME的平分线，∴∠FBG=∠AMF，又∵∠AMF+∠AFM=90°，∴∠FBG+∠AFM=90°，∴∠BGF=90°，∴BD⊥MF．【点睛】本题考查了角平分线的定义、等角的余角相等、三角形的内角和定理、平行线的判定以及垂线的判定，熟练掌握平行线的判定以及垂线的判定是解题的关键．【题型3利用平行公理判定两直线平行】1．（2023下·湖南永州·七年级校考期中）如图所示，已知AB∥CD，∠B=120°，∠C=25°，求∠E的大小．

【答案】85°【分析】过点E作EF∥AB，由EF∥AB可得∠B+∠BEF=180°，由此得出∠BEF的度数，由EF∥CD可得∠CEF=∠C，再结合∠E=∠BEF+∠CEF即可得出结论．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，则∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠BEF=180°−∠B=180°−120°=60°，又AB∥CD，∴EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠C=25°（两直线平行，内错角相等）∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=60°+25°=85°．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质以及角的计算，解题的关键是得出∠BEF和∠CEF的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角，再根据角与角之间的关键即可得出结论．2．（2023下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，活动小组在探索∠APD与∠A，∠D之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A=∠D时，瞄准最准确．现测得∠A=140°，

【答案】此次瞄准不是最准确的，见解析【分析】如图，过点P作PE∥AB，可得∠APE=180°−140°=40°，可得∠EPD=∠APD−∠APE=70°−40°=30°，证明PE∥CD，可得【详解】解：如图，过点P作PE∥AB，

∴∠A+∠APE=180°．∵∠A=140°，∴∠APE=180°−140°=40°．∵∠APD=70°，∴∠EPD=∠APD−∠APE=70°−40°=30°．∵AB∥CD，∴PE∥∴∠D+∠EPD=180°．∴∠D=180°−30°=150°．∴∠A≠∠D，∴此次瞄准不是最准确的．【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，熟记两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．3．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）补全下列证明过程：已知：如图∠1+∠B=∠C，求证：BD∥证明：如图，作射线AP，使AP∥

∴∠PAB=∠B（_______________）又∵∠1+∠B=∠C（________________）∴∠1+∠PAB=∠C（_________________）即∠PAC=∠C∴AP∥又∵AP∴BD∥【答案】见解析【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】证明：如图，作射线AP，使AP∥

∴∠PAB=∠B（两直线平行内错角相等），又∵∠1+∠B=∠C（已知），∴∠1+∠PAB=∠C（等量代换），即∠PAC=∠C，∴AP∥CE（又∵AP∥∴BD∥CE（【点睛】本题考查了平行直线的性质与判定，平行线公里推论的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．4．（2023下·江苏南京·七年级校联考期中）（1）如图①，AB∥CD，∠1=∠2，求证：（2）如图②，AB∥CD，直接写出

【答案】（1）证明见解析；（2）∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，证明见解析；【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再利用平行线的判定即可解答；（2）过点E作EP∥AB，过点F作FH∥【详解】解：（1）∵AB∥∴∠ABC=∠BCD，∴∠1+∠PBC=∠2+∠BCM，∵∠1=∠2，∴∠PBC=∠BCM，∴PB∥

（2）∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，理由如下：过点E作EP∥AB，过点F作FH∥∴AB∥∴∠ABE=∠BEP，∠PEF=∠EFH，∠HFG=∠FGT，∠TGD=∠CDG，∴∠BEF=∠BEP+∠EFH，∠FGD=∠FGT+∠D，∴∠BEF+∠FGD=∠BEP+∠EFH+∠FGT+∠D，∵∠B=∠BEP，∠EFG=∠EFH+∠HFG，∠TGD=∠CDG，∴∠B+∠EFG+∠D=∠E+∠FGD，

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．5．（2023上·河北邯郸·七年级统考期中）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，问题提出：（1）如图1，∠A=120°，∠C=130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG=∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC=20°，∠PAB=150°，求

【答案】（1）110°；（2）∠APC=∠A−∠C，理由见解析；（3）65°【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠A+∠APQ=180°，根据∠A=120°，求出∠APQ=180°−∠A=60°，根据PQ∥（2）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠A=∠APQ，根据平行公理得出PQ∥CD，求出∠C=∠CPQ，根据（3）根据∠APC=20°，∠PAB=150°，得出∠AQP=∠PAB−∠APC=130°，根据平行线的性质得出∠BEF=∠AQP=130°，设∠PEF=∠PEG=x，则∠PEB=∠BEF−∠PEF=130°−x，∠BEG=∠PEG−∠PEB=x−130°−x=2x−130°，根据角平分线定义得出∠BEH=1【详解】解：（1）如图1所示，过点P作PQ∥

∴∠A+∠APQ=180°，∵∠A=120°，∴∠APQ=180°−∠A=60°，∵AB∥CD，∴PQ∥∴∠C+∠CPQ=180°，∵∠C=130°，∴∠CPQ=180−∠C=50°∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=60°+50°=110°；（2）结论：∠APC=∠A−∠C；理由如下：如图2，过点P作PQ∥

∴∠A=∠APQ，∵AB∥∴PQ∥∴∠C=∠CPQ，又∵∠APC=∠APQ−∠CPQ，∴∠APC=∠A−∠C；（3）∵∠APC=20°，∠PAB=150°，∴∠AQP=∠PAB−∠APC=130°，∵EF∥∴∠BEF=∠AQP=130°，设∠PEF=∠PEG=x，∴∠PEB=∠BEF−∠PEF=130°−x，∴∠BEG=∠PEG−∠PEB=x−130°−x∵EH平分∠BEG，∴∠BEH=1∴∠PEH=∠PEB+∠BEH=130°−x+x−65°=65°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，数形结合．6．（2023下·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）【课本再现】（1）①如图1，已知AB∥CD，直接写出∠B，∠D和∠E

②如图2，已知AB∥CD，直接写出∠B，∠D和∠E

【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知AB∥CD，∠B=∠D=90°，写出∠E，∠F和∠G

【答案】（1）①∠BED+∠B+∠C=360°；②∠BED=∠B+∠D；（2）∠F+∠G−∠FEG=180°，理由见解析【分析】（1）①过点E作EF∥AB，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得到∠B+∠BEF=∠D+∠DEF=180°，从而可得∠BED+∠B+∠C=360°；②过点E作EF∥AB，可得（2）过点E作EM∥AB，结合（1）②中的结论可得∠F=90°+∠FEM，【详解】解：（1）①如图1，过点E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B+∠BEF=∠D+∠DEF=180°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°−∠B+180°−∠C=360°−∠B−∠C，即∠BED+∠B+∠C=360°；

②如图，过点E作EF∥∵AB∥∴AB∥∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；

（2）∠F+∠G−∠FEG=180°，理由是：如图，过点E作EM∥∵AB∥∴AB∥在折线A−B−F−E−M中，同（1）②可得：∠F=∠B+∠FEM=90°+∠FEM；同理可得：∠G=∠D+∠GEM=90°+∠GEM；∴∠FEG=∠FEM+∠GEM=∠F−90°+∠G−90°=∠F+∠G−180°，即∠F+∠G−∠FEG=180°．

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是适当添加辅助线，灵活运用平行线的性质建立角的关系．7．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点

(1)在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数；(2)在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC=64°，∠ADC=72°时，求∠BFD的度数；(3)如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．【答案】(1)∠ABE+∠CDE=90°(2)∠BFD=68°(3)∠BFD的补角为1【分析】（1）过点E作EG∥AB，证明EG∥CD，可得∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG，（2）过点F作FH∥AB，证明FH∥CD，可得∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF，求解（3）如图，过点F作FQ∥AB，证明FQ∥CD，可得∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ，可得∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°−∠ABF+∠CDF，证明【详解】（1）解：过点E作EG∥

∵a∥∴EG∥∴∠ABE=∠BEG，∠CDE=∠DEG，∴∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE=∠BED=90°；（2）如图，过点F作FH∥

∵a∥∴FH∥∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=64°，∠ADC=72°，∴∠ABF12∠ABC=32°∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=68°；（3）如图，过点F作FQ∥

∵a∥∴FQ∥∴∠ABF+∠BFQ=180°，∠CDF=∠DFQ，∴∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°−∠ABF+∠CDF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，∴∠ABF=12∠ABC=∴∠BFD=180°−∠ABF+∠CDF=180°−1∴∠BFD的补角=1【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键．8．（2023下·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）已知直线l1∥l2，直线l3交直线l1，l2于点C，D，在直线l3上有动点P（点P与点C，D不重合），点A，问题发现(1)如图1，当点P在C，D两点之间运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系为______．拓展探究(2)如图2，当点P在C，D两点之外运动时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系．问题解决(3)如图3所示的是一处海滨公园的平面图，BD朝向大海，由于潮汐的作用，形成了∠BPD形状的沙滩，试探究∠BPD，∠PBA，∠PDC，∠BQD之间的数量关系．【答案】(1)∠APB=∠PAC+∠PBD(2)当点P在l1的上方时，∠APB=∠PBD−∠PAC；当点P在l2的下方时，(3)∠BPD=∠ABP+∠BQD+∠PDC，理由见解析【分析】（1）过点P作PE∥l1，则可证PE∥l（2）分点P在l1的上方和l（3）过点P作PF∥AB，PE∥CD，PE与AB相交于点G，利用平行线的性质可得∠ABP=∠BPF，【详解】（1）解：过点P作PE∥l1∵l1∴PE∥∴∠EPB=∠PBD，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；故答案为：∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）解：当点P在l1如图，过点P作PE∥，由（1）可知：PE∥∴∠EPA=∠PAC，∠EPB=∠PBD，又∠APB=∠BPE−∠APE，∴∠APB=∠PBD−∠PAC；当点P在l2如图，过点P作PE∥，同理可证：∠EPA=∠PAC，∠EPB=∠PBD，∵∠APB=∠APE−∠BPE，∴∠APB=∠PAC−∠PBD；（3）∠BPD=∠ABP+∠BQD+∠PDC；理由如下：如图，过点P作PF∥AB，PE∥CD，PE，∴∠ABP=∠BPF，∠BGP=∠FPE，∠BQD=∠BGP，∠EPD=∠PDC，∴∠BQD=∠FPE，∵∠BPD=∠BPF+∠EPF+∠DPE，∴∠BPD=∠ABP+∠BQD+∠PDC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．【题型4利用角平分线判定两直线平行】1．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．【答案】见解析【分析】根据AE是∠DAC的角平分线和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到AE与BC互相平行．【详解】解：AE与BC平行，理由是：∵AE是∠DAC的平分线，∴∠DAC＝2∠DAE，∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，∴∠DAC＝2∠B，∴∠DAE＝∠B，∴AE//【点睛】本题主要利用角平分线的定义，等边对等角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．2．（2023下·江苏·七年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线

(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么位置关系？请说明理由．【答案】(1)∠1+∠2=90°，理由见解析(2)BE∥DF，理由见解析【分析】（1）由角平分线的定义得∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，根据四边形的内角和可得∠ABC+∠ADC=180°，进而可求出结论；（2）由互余的性质可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定即可得出．【详解】（1）∠1+∠2=90°，理由：∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF∵∠A=∠C=90°∴∠ABC+∠ADC=360°−90°−90°=180°∴2∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF，理由：在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．【点睛】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，关键是掌握四边形内角和为360°、同位角相等，两直线平行．3．（2023下·河南漯河·七年级统考期中）如图，∠DCB和∠ABC的平分线交于点E，CE的延长线交AB于点F，且∠1+∠2=90°

(1)试说明AB∥CD；(2)若∠1=30°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据角平分线定义求出∠DCB=2∠2,∠ABC=2∠1，结合∠1+∠2=90°可证（2）先求出∠2=60°，根据角平分线的定义求出∠DCF=∠2，然后根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）∵∠DCB和∠ABC的平分线交于点E，∴∠DCB=2∠2,∠ABC=2∠1又∵∠1+∠2=90°，∴∠DCB+∠ABC=2∠2+2∠1=2∠2+∠1∴AB∥CD．（2）∵∠1=30°，∠1+∠2=90°，∴∠2=60°．

∵CF平分∠DCB，∴∠DCF=∠2．又∵AB∥CD，∴∠3=∠DCF=60°．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．4．（2023下·广东江门·七年级校联考期中）如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME,NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点(1)若∠AMN=70°，则∠MNG=___________；(2)求证：EM∥(3)连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．【答案】(1)35°(2)见解析(3)45°【分析】（1）根据平行线的性质求出∠CNM=110°，由角平分线定义求出∠ENM的度数，即可得到结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出∠MEN=90°，再根据NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180°，进而得到EM∥（3）先设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°−2x，根据EP平分∠FEH，可得∠FEH=2∠PEG+x，再根据∠FEH+∠HEN=180°，可得方程2∠PEG+x+90°−2x=180°【详解】（1）解：∵AB∥∴∠AMN+∠CNM=180°，∵∠AMN=70°，∴∠CNM=110°∵NE平分∠CNM，∴∠ENM=1∵NG⊥EN，∴∠ENG=90°，∴∠MNG=90°−∠ENM=35°，故答案为：35°；（2）∵AB∥∴∠AMN+∠CNM=180°，∵ME,NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，∴∠EMN=1∴∠EMN+∠ENM=12∠AMN+∠CNM又∵NG⊥EN，∴∠ENG=90°，∴∠MEN+∠ENH=180°，∴EM∥（3）设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°−2x，∵EP平分∠FEH，∴∠FEH=2∠PEH=2∠PEG+x又∵∠FEH+∠HEN=180°，∴2∠PEG+x∴∠PEG=45°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行．5．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，已知直线AB，CD，AC上的点M，N，E满足ME⊥NE，∠AME＋∠CNE＝90°，∠ACD的平分线交MN于G，作射线GF∥(1)求证：AB∥(2)若∠CAB＝66°，求∠CGF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)123°【分析】（1）根据ME⊥NE可得∠AEM＋∠CEN＝90°，根据三角形的内角和定理∠A＋∠ACD＝180°，根据平行线的判定即可得AB∥（2）由AB∥CD，GF∥AB可得GF∥CD．根据平行线的性质可得∠ACD＝114°，根据角平分线的定义可得∠GCD＝【详解】（1）证明：∵ME⊥NE，∴∠MEN＝90°，∴∠AEM＋∠CEN＝90°，∵∠A＋∠AEM＋∠AME＝180°，∠ACD＋∠CEN＋∠CNE＝180°，∴∠A＋∠ACD＋∠AEM＋∠CEN＋∠AME＋∠CNE＝180°，∵∠AME＋∠CNE＝90°，∠AEM＋∠CEN＝90°，∴∠A＋∠ACD＝180°，∴AB∥（2）解：∵GF∥∴∠BMG=∠FGN，∵AB∥∴∠BMG+∠DNG=180°,∴∠FGN+∠DNG=180°,∴GF∥∵∠CAB＝66°，∴∠ACD＝180°−∠CAB＝114°，∵CG平分∠ACD，∴∠GCD＝12∠ACD∵∠CGF＋∠GCD＝180°，∴∠CGF＝123°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，涉及到直角三角形两锐角互余等知识点，熟练运用平行线的判定与性质是解决问题的关键．6．（2023下·福建福州·七年级统考期中）如图，射线AG与直线EF相交于点C，在射线AG的右侧分别过点A，C作射线AB，CD，且CE平分∠DCG，∠A=2∠ACF．(1)求证：AB∥(2)H是射线AB上的一点，CI平分∠ACD，连接HI，∠AHI的平分线交直线EF于点K．①如备用图1，若HI∥AG，求证：②如备用图2，若∠HKC=∠HIC，∠A=α，∠BHI=β，求α的值．（用含β的式子表示）【答案】(1)见解析(2)①见解析；②3【分析】（1）由角平分线性质得到∠DCG=2∠ECG，再结合∠A=2∠ACF，等量代换可得∠A=∠DCG，最后根据同位角相等，两直线平行即可解答；（2）①由两直线平行同旁内角互补解得∠A+∠ACD=180°，∠A+∠AHI=180°，