专题4.5 图形的全等（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

专题4.5图形的全等（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】全等图形1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形全等图形的特征“两相同”、“两无关”“两相同”：形状相同；大小相同；“两无关”：与位置无关；与方向无关性质：全等图形的形状和大小都相同。特别提醒：完全重合说明两个图形的周长和面积相等；反之，周长或面积相等的两个图形不一定是全等图形【知识点二】全等三角形1、全等三角形的相关概念全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应元素：①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②全等三角形中，能够重合的边；③全等三角形中，能够重合的角。全等三角形的表示方法全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。【知识点三】全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；几何语言：拓展：全等三角形的对应元素相等。全等三角形对应边、对应角、对应边上的中线、高线、角平分线相等，周长、面积相等。特别提醒：①应用三等三角形的性质时，要先确定两个条件：（1）两个三角形全等；（2）找出对应元素；其次②全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法。.【考点目录】【考点1】全等图形的认识；【考点2】全等三角形的认识；【考点3】利用全等三角形的性质求值；【考点4】利用全等三角形的性质证明与求值；【考点5】全等三角形的性质综合应用；【考点1】全等图形的认识；【例1】找出七巧板中（如图）全等的图形．【答案】全等的图形解：分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形,做题时认真观察图形,根据是否重合去判断.本题解析：由图知：△ADE与△DEC，△EHK与△CJF，△ADC与△ABC，四边形AGKE与四边形CFKE，四边形AGKD与四边形CFKD是重合的，即是全等的图形．【变式1】如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（）

A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8【答案】B【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键．解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成，∴．故选：B．【变式2】如图，四边形四边形，若，，，则°．

【答案】【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得，进一步可得的度数.解：∵四边形四边形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：105．【点拨】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键.【考点2】全等三角形的认识；【例2】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程．解：（已知），___________（垂直的定义）．当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________．（___________）点B与点___________重合，与___________，___________（全等三角形的定义），（___________）．【答案】；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．解：（已知），（垂直的定义）．当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合．（已知）点B与点C重合，与重合，（全等三角形的定义），（全等三角形的性质）．故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质．【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．【变式】下列说法正确的是（

）A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】C【分析】性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．解：A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；C、两个全等图形面积一定相等，故正确；D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；故选：C．【点拨】此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．【考点3】利用全等三角形的性质求值；【例3】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【点拨】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．【变式1】如图所示，，则的长是（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．根据全等三角形的性质可得，进而可得答案．解：，，，，．故选：A．【变式2】如图所示，，，若，，则的度数是．【答案】80°/80度【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理及平行线的性质，熟知这些定理的内容是正确解决本题的关键．根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到的度数，根据平行线的性质得到，进而得到的度数．解：，，，，，，，，所以的度数是．【考点4】利用全等三角形的性质证明与求值；【例4】如图所示，已知在四边形中，，过点作于点，连接，，且．（1）求的度数；（2）若，试判断与之间的关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），，理由见分析【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；（2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案．解：（1），，，，，，，；（2），且．理由：，，，．【变式1】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°，下列结论不正确的是（）A．EF⊥AC B．AD=4AGC．四边形ADEF为菱形 D．FH=BD【答案】C【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故A正确；∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD，故D说法正确；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故C说法不正确；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，则AD=4AG，故B说法正确，故选C．【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解题时需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．【变式2】如图，，若，则，．【答案】54【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解．解：∵△ABD≌△CDB．∴BC＝AD，CD＝AB．∵AB＝4，AD＝5．∴BC＝5，CD＝4．故答案为5，4．【点拨】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用．【考点5】全等三角形的性质综合应用；【例5】如图，C为BE上一点，点A，D在线段BE的两侧，若△ABC≌△CED，试说明：AB∥ED.【答案】证明见分析【分析】由△ABC≌△CED可得∠B＝∠E，再由内错角相等则两直线平行即可判断.解：由△ABC≌△CED可得∠B＝∠E，根据内错角相等则两直线平行可知AB∥ED.【点拨】本题考查了全等三角形的性质.【变式1】如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（

）

A．105° B．100° C．110° D．115°【答案】B【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．解：延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．【变式2】如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为．【答案】或或【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的