七年级数学上册-第六章《实数》 解析版

第六章《实数》同步单元基础与培优高分必刷卷一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．的算术平方根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．利用算术平方根定义计算即可求出值．【详解】解：，的算术平方根是．故选：．2．下列各数，，，，（相邻两个1之间3的个数逐次多1），，，其中有理数的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】此题主要考查了有理数和无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】解：，是有理数的是：，，，，共4个，故选：C3．一个数的算数平方根是8，这个数的立方根是（

）A．4 B． C．4或 D．【答案】A【分析】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键．先根据算术平方根的定义求出原数，然后根据立方根的定义求解即可．【详解】解：∵一个数的算数平方根是8，∴这个数是，∴64的立方根是4，故选：A．4．已知非零实数a，b，满足，则等于(

)A．﹣1 B．9 C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意可得，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得的值．【详解】解∶根据题意得∶，∴，∴原等式可化为即，∴且，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性、偶次方都是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5．下图是一个数值转换机的示意图，当输入的值时，输出的结果为（

）

A．3 B．5 C．-5 D．-2【答案】B【分析】根据数值转换机的运算顺序计算即可．【详解】解：由题意知，．故选B．【点睛】此题考查的是实数的混合运算，解决此题的关键是根据数值转换机的运算顺序计算即可．6．如果是9的平方根，那么等于（

）．A．－3 B．－ C．±3 D．或－【答案】D【分析】本题主要考查了平方根及立方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题关键．先根据平方根的定义可求得的值，再根据立方根的定义即可得答案．【详解】解：∵是9的平方根，∴，∴或，故选：D．7．一个正偶数的算术平方根是，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据算术平方根的概念先求得这个正偶数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根．【详解】解：∵一个正偶数的算术平方根是m，∴这个正偶数为，∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数为+2，∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是．故选C．【点睛】此题主要考查算术平方根的定义及其应用，比较简单．8．如图，数轴上点表示的数分别是，，且两点到点的距离相等，则点表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了绝对值的几何含义：数轴上两点之间的距离，以及两点间距离的计算：两个点在数轴上对应数的差的绝对值叫做两点间的距离，解题的关键在于正确计算．【详解】数轴上点所表示的数分别是，，点到点的距离相等，，点表示的数为，且点表示的数为正数，在的右侧，点的数为：，故选：C．9．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．【详解】解：，，解得：，故①正确；若，，则，故②正确；，解得：，故③错误；，当时，有最小值，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．10．表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组，表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记，第个数组的四个数之和为（为正整数）.下列说法：①可以是奇数，也可以是偶数；②的最小值是；③若，则.其中正确的个数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分别进行运算即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键.【详解】解：根据题意可知，，，，，∴，∴是偶数，故错误；∵，∴的最小值是，∴的最小值是，又∵为正整数，∴的最小值为20，故正确；∵，∴，∴，故正确；故选：C.二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．请写出一个绝对值大于1的负无理数．【答案】（答案不唯一）【分析】此题考查了无理数，实数绝对值的应用和大小比较的，关键是能准确理解并运用该知识．运用实数的绝对值知识和大小比较方法进行求解．【详解】解：，故答案为：（答案不唯一）．12．正数9的平方根是．【答案】【分析】此题考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．直接利用平方根的定义计算即可．【详解】解：∵的平方是9，∴9的平方根是．故答案为：．13．若，则实数．【答案】【分析】此题考查了求一个数的立方根，根据立方根的性质求解即可．【详解】∵∴．故答案为：．14．若的整数部分为a，的整数部分为b，则．【答案】13【分析】本题考查了求无理数的整数部分，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法．先求出，，得出，，即可解答．【详解】解：∵，∴，即，∴，∵，∴，即，∴，∴，故答案为：13．15．如果正数的平方根为和,则x的值是．【答案】1【分析】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出x的值，然后根据平方根的定义即可求出结论．【详解】解：正数的平方根为和，则，．16．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝．【答案】0或﹣1或﹣【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.【详解】∵﹣2x﹣1＝0，∴＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．故答案为：0或﹣1或﹣．【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.17．对于各位数字均不为零的三位自然数，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”，例如是“对偶数”；又如不能被3整除，不是“对偶数”，将m的百位数字放在其个位数字后得，再将的百位数字放在其个位数字后得．记．已知一个“对偶数”（其中），若能被7整除，则所有满足条件的n的最大值为．【答案】514【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“对偶数”，正确理解新定义“对偶数”以及运用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．先表示出，进而得出，即可得出，进而得出是7的倍数，可推导21或35或49，最后分类讨论即可求出答案．【详解】∵，∴，，∴，∴，∵能被7整除，∴是7的倍数，∵，且a、b为整数，∴，，∴，∴14或21或28或35或42或49，∵，即为偶数，∴是奇数，∴21或35或49，①当时，，∵a、b为整数，∴，，∴，∵，8能被2整除，∴224是“对偶数”，符合题意；②当时，，∵a、b为整数，∴，或，或，，当，时，，，12不能被7整除，故174不是“对偶数”，不符合题意；当，时，，，11不能被4整除，故344不是“对偶数”，不符合题意；当，时，，，10能被1整除，故514是“对偶数”，符合题意；③当时，，∵a、b为整数，∴，或，，当，时，，，14不能被6整除，故464不是“对偶数”，不符合题意；当，时，，，13能被3整除，故634不是“对偶数”，不符合题意；综上所述，所以满足条件的n为224或514．则所有满足条件的n的最大值为514，故答案为：514．三、解答题（本大题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．把下列各数对应的序号填在相应的括号里．①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧（每两个2之间多一个0）正分数集合：{_________…}非正整数集合：{_________…}负有理数集合：{_________…}无理数集合：{_________…}．【答案】③，④；①，⑤，⑦；①，⑥，⑦；②，⑧【分析】根据实数的分类方法即可判定求解．【详解】解：，正分数集合：{③，④，…}非正整数集合：{①，⑤，⑦，…}负有理数集合：{①，⑥，⑦，…}无理数集合：{②，⑧，…}【点睛】此题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数；有理数分为：整数和分数；无理数分为：正无理数、负无理数（无限不循环小数）．19．若，为实数，且，求的值．【答案】【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件．根据算术平方根有意义的条件，确定，，计算a，b的值，再代入计算即可．【详解】解：∵有意义，∴，，，∴，∴，∴．20．求下列各式中x的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了利用立方根和平方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键．（1）将方程化为，再利用平方根的定义解方程即可；（2）将方程化为，再利用立方根的定义解方程即可．【详解】（1）解：，，，；（2）解：，，，．21．对于实数，，定义运算：．(1)求的值；(2)求的值；(3)若实数x满足：，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了实数新定义运算；（1）由，代入，即可；（2）先求，代入即可；（3）由，，即可得，解得即可．【详解】（1）解：由，得；（2）由，得；（3）由，，，得，得．22．如图将边长为2cm的小正方形与边长为xcm的大正方形放在一起．（1）用xcm表示图中空白部分的面积；（2）当x＝5cm时空白部分面积为多少？（3）如果大正方形的面积恰好比小正方形的面积大165cm2，那么大正方形的边长应该是多少？【答案】（1）；（2）；（3）13cm【分析】（1）空白部分面积=小正方形的面积+大正方形的面积-阴影部分两个三角形的面积，据此可得代数式；（2）将x=5代入计算可得；（3）根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）空白部分面积为；（2）当x＝5时，空白部分面积为．（3）根据题意得，，解得x＝13或-13（舍去），所以，大正方形的边长为13cm【点睛】此题考查列代数式问题，解题的关键是根据图形得出计算空白部分面积的关系式．23．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以=6．(1)计算和的值，你发现了什么规律？请用自己的语言表达；(2)若=7，请直接写出的最小值；(3)若，都是“互异数”，其中，(1≤≤9，1≤≤9，，都是正整数)，当+=16时，求的值．【答案】（1）F(243)=9，F(617)=14，规律：F(n)与n中各数位上的数字和相等；（2）n的最小值为124；（3）【分析】(1)根据“相异数”的定义可求，根据计算结果可得规律：F(n)与n中各数位上的数字和相等；(2)根据(1)的规律各数位上的数字和等于7，即可得出n的最小值为124；(3)根据题意得到F(s)=x+3+2=x+5，F(t)=1+5+y=6+y，根据F(s)+F(t)=6，可求x+y的值，即可求得答案．【详解】(1)F(243)=(423+342+234)÷111=9，F(617)=(167+716+671)÷111=14．规律：F(n)与n中各数位上的数字和相等；(2)根据题意和(1)的规律知：各数位上的数字和等于7，∴n的最小值为124；(3)∵若s，t都是“相异数”，，∴由(2)得，又∵，∴，∴．∵，且都是正整数，∴或或或．∵s是“互异数”，∴．∵t是“互异数”，∴．∴即∴，∴．【点睛】本题综合考查了新概念“相异数”的定义，主要是考查对数字拆分组合的能力，这类题目需要根据题设进行讨论求解．24．探究发散：(1)完成下列填空①______，②______，③______，④______，⑤______，⑥______；(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；(4)有理数在数轴上的位置如图．

化简：．【答案】(1)3，0.5，6，0，，(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数(3)(4)【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；（2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律．（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；（4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可．【详解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥．故答案为：3，0.5，6,0，，；（2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：