七年级数学上册-6.2立方根 解析版

6.2立方根【考点梳理】考点一：立方根的概念 考点二：求立方根问题考点三：立方根的实际应用问题 考点四：算术平方根和立方根的综合问题知识点一、立方根立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做a的立方根（三次方根）若x是a的立方根，则说明x3=a。a的立方根记为：,读作“三次根号a”。根指数被开方数开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。被开方数（1）8的立方根：（2）-64的立方根：技巧归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。题型一：立方根的概念1．（23-24八年级上·河北邢台）已知，则下列说法正确的是（）A．是的立方根B．是的立方根C．是的立方根 D．是的立方根【答案】B【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可．【详解】解：，是的立方根，故选项A、C、D均错误；B正确．故选：B．2．（22-23七年级下·河南周口·期中）下列计算错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】运用立方根知识对各选项进行求解、辨别．【详解】解：，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项符合题意；，选项不符合题意，故选：．【点睛】此题考查了实数立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．3．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（

）A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根C． D．【答案】D【分析】利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，∴负数a没有偶数次方根，∴A选项的结论不符合题意；∵任何实数a都有奇数次方根，∴B选项的结论不符合题意；∵，∴∴C选项的结论不符合题意；∵，∴∴D选项的结论符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．题型二：求立方根问题4．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键．由，进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，，故选：C．5．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）已知：，且，则（

）A．2360 B． C．23600 D．【答案】C【分析】由等式的基本性质可得出，从而得出，即．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等式的基本性质，立方根的定义．根据等式的基本性质得出是解题关键．6．（21-22七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故选：A．【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．题型三：立方根的实际应用问题7．（23-24七年级上·山东烟台·期末）一个正方体的棱长为，体积为，则下列说法正确的是（

）A．的立方根是 B．是的立方根 C． D．【答案】B【分析】本题考查正方体体积公式，立方根和算术平方根计算．根据题意先列出棱长和体积表达式，再逐一对选项进行分析即可．【详解】解：∵一个正方体的棱长为，体积为，∴，即：，∴是的立方根，故选：B．8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是立方根的实际应用，理解题意，建立方程是解本题的关键．设每个方块的边长为，可得，则，再利用立方根的含义解方程即可．【详解】解：设每个方块的边长为，，，，故选：D．9．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（）A．4 B．2 C． D．8【答案】B【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案．【详解】由题意可得每个方块的体积为，则其边长为，故选：B．题型四：算术平方根和立方根的综合问题10．（2024七年级下·全国·专题练习）已知的立方根是，的算术平方根是．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，；(2)．【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解；（）由，可得，求的平方根即可求解；本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键．【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是，∴，，即，解得，∴，；（2）解：∵，，∴，∴，∴的平方根是．11．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根据平方根的运算可求出的，算术平方根的运算及的值可求出的值，立方根的运算可求出的值；（2）把（1）中的的值代入，根据平方根的运算即可求解．【详解】（1）解：∵的平方根为，∴，即，解得，，∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有或，且，∴，即，且，∴，解得，，∵的立方根是，∴，即，解得，，∴，，．（2）解：由（1）可知，，，，∴，∴的平方根为，∴的平方根为：．【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键．12．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，表示的算术平方根，，表示的立方根．(1)求m、n的值；(2)求M和N的值；(3)求的平方根．【答案】(1)，(2)(3)4【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值；（2）将m和n的值代入M和N即可求解；（3）将（2）中得出的M和N的值相加即可．【详解】（1）解：∵表示的算术平方根，∴，解得：，∵表示的立方根，∴，把代入得：，解得：，综上：，；（2）解：∵，，∴，，综上：；（3）解：∵，∴．一、单选题13．（23-24七年级上·山东威海·期末）体积为9的立方体的棱长为（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】本题主要考查了立方根的应用，正确掌握立方体的体积公式是解答本题的关键．【详解】解：设立方体的棱长为，则有：，解得，所以，立方体的棱长为，故选：A．14．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）下列说法中正确的是（

）A．的平方根是0.3 B．1的立方根是C．的立方根是 D．【答案】C【分析】此题主要考查平方根、立方根综合，解题的关键是熟知其各自的性质．根据平方根、立方根的意义逐项进行判断即可．【详解】解：A．的平方根为，因此选项A不符合题意；B．1的立方根是，因此选项B不符合题意；C．的立方根是，因此选项C符合题意；D．，因此选项D不符合题意．故选：C．15．（23-24七年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（

）A．1.2 B．2.0 C．2.2 D．2.3【答案】C【分析】本题考查计算器—基础知识，根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果．【详解】由题意可得，，故选：C．16．（23-24七年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器计算下列式子，其按键顺序正确的是（

）A．求按键：

B．求按键：

C．求按键：

D．求按键：

【答案】D【分析】根据计算器键功能键列式计算，即可解答．此题考查了利用计算器的能力，熟练掌握各键功能是解题的关键．【详解】解：A．求按键：

，故选项错误，不符合题意；B．求按键：

，故选项错误，不符合题意；C．求按键：

，故选项错误，不符合题意；D．求按键：

,故选项正确，符合题意．故选：D．17．（2024七年级·全国·竞赛）一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的27倍后，棱长变为原来的倍，则的立方根与的平方根的和为．【答案】1或/或1【分析】本题考查了正方形的边长与面积、立方体的棱长与体积的关系及立方根、平方根的定义．由于一个正方形的边长扩大x倍，面积扩大x2倍；一个立方体的棱长扩大x倍，体积扩大x3倍．利用前面的结论即可求出a、b进而解答．【详解】解：一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原来的64倍，即，一个立方体的体积变为原来的27倍，则棱长变为原来的3倍，即．，，的立方根为，的平方根为，，的立方根与的平方根的和为1或，故答案为：1或．18．（2024七年级·全国·竞赛）若正数的两个平方根分别是和，则的立方根是．【答案】4【分析】本题考查了立方根以及平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据一个正数的平方根有个，且互为相反数求出a的值，即可确定出正数的立方根．【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和，∴，解得，∴，64的立方根是4．故答案为：4．19．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）设，，(1)化简：；(2)若x是8的立方根，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的化简求值，立方根的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．（1）把A，B的值代入化简即可；（2）先求出x的值，然后代入（1）化简后的结果计算即可．【详解】（1）．（2）是8的立方根，，．20．（2024七年级下·全国·专题练习）已知一个正数x的两个平方根分别是和．(1)求x的值；(2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值．【答案】(1)9(2)【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键．（1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案；（2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可．【详解】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和，解得∶，则，那么；（2）为的算术平方根，为的立方根，，∴，则．一、单选题21．（23-24七年级下·）已知，那么的立方根为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【解析】略22．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，，则的值为（

）A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528【答案】C【解析】略23．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若a，b互为相反数，m，n互为倒数，c的平方等于4，d是8的立方根，则的值为（）A． B． C．2 D．54【答案】A【分析】此题主要考查了平方根、立方根以及代数式求值的方法，要熟练掌握．首先根据a，b互为相反数，可得；根据m，n互为倒数，可得；然后根据c的平方等于4，d是8的立方根，分别求出、的值各是多少，代入求解即可．【详解】a，b互为相反数，；m，n互为倒数，；c的平方等于4，；d是8的立方根，，故选：A．24．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如果，，那么约等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了立方根．利用立方根的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，故选：D．25．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了非负数的性质和立方根，根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出、的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可，正确运用非负数的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴，故选：．26．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．二、填空题27．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）整数满足，其中，则的最大值是．【答案】1024【分析】本题考查平方，立方根，代数式求值，先根据已知条件确定b和可能的值，进而确定，推出，再分情况讨论求出和c可能的值，最后求出比较大小即可．【详解】解：整数满足，为整数，，或或或，或或或，当时，，不成立，又，，，，当，，，不是整数，不合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不合题意；当时，，，不合题意；当，，，不是整数，不合题意；当时，，，不是整数，不合题意；当时，，，不是整数，不合题意；当时，，，符合题意；综上可知，整数的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，，当整数的值为2，8，2时，；当整数的值为2，8，时，；当整数的值为2，，8时，；当整数的值为2，，时，；综上可知，的最大值是1024．故答案为：1024．28．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则．【答案】【分析】本题考查了非负性得性质，代数式求值，立方根，正确求出m、n的值是解此题的关键；根据非负性求出m、n的值，然后代入计算求出立方根即可．【详解】，，即，，，，，，故答案为：．29．（23-24八年级上·四川达州·期中）根据你发现的规律填空：①已知，则；②已知，则．【答案】【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．【详解】解：①，，故答案为：；②，，故答案为：．30．（23-24八年级上·四川成都·期中）若都是实数,且,则的立方根为【答案】【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，根据算术平方根的非负性确定，进而得，代入代数式再求立方根，即可求解．【详解】解：∵,∴∴，则∴∴的立方根为，故答案为：．31．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是cm．【答案】4【分析】此题主要考查了立方根的应用，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，则由题意得，解得．答：截去的每个小正方体的棱长是．故答案为：4．三、解答题32．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键．（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列出方程解出a，再根据的立方根为，列出方程解出b；（2）把、代入计算出代数式的值，然后求它的平方根．【详解】（1）解：∵正数的两个不同的平方根是和，，解得，的立方根为，，解得，；（2）解：把、代入得，∴的平方根是．33．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数．(1)求a，b，c的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，，(2)3【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟记相关结论即可．（1）根据，的相反数是即可求解；（2）计算出即可求解；【详解】（1）解：∵的立方根是，∴，解得：；∵的算术平方根是2，∴，即，∴．∵c是的相反数，∴故：，，．（2）解：∵，，，∴，∴的算术平方根为334．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．(1)求大正方体木块的棱长(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根如何开方是解题的关键；（1）根据正方体体积等于棱长棱长棱长，即可解答；（2）设每个小正方体棱长为，根据总体积前去截取得体积等于488，列方程解答即可；【详解】（1），大正方体木块的棱长（2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得：解得：，截得的每个小正方体木块的棱长．35．（23-24七年级上·浙江杭州·期末