结构力学数值方法：解析法：结构静力学分析教程

结构力学数值方法：解析法：结构静力学分析教程1结构力学与数值方法简介结构力学是研究结构在各种外力作用下的响应，包括变形、应力和应变等，以确保结构的安全性和稳定性。数值方法则是通过数学模型和计算机算法来解决复杂结构力学问题的一种手段，它能够处理那些解析解难以获得或不存在的情况。解析法，作为数值方法的一种补充，适用于结构简单、边界条件明确的情况，能够直接通过数学公式求解结构的静力学响应。1.1解析法在结构静力学分析中的应用解析法在结构静力学分析中的应用主要集中在梁、桁架、框架等简单结构的分析上。这些结构的受力情况相对简单，可以通过建立适当的数学模型，利用微积分、线性代数等数学工具直接求解。下面，我们将通过一个具体的梁的静力学分析例子来展示解析法的应用。1.1.1梁的静力学分析示例假设我们有一根简支梁，长度为L，在梁的中点施加一个垂直向下的集中力F。我们的目标是计算梁在该力作用下的最大弯矩和最大挠度。数学模型对于简支梁，最大弯矩发生在梁的中点，最大挠度也发生在中点。根据梁的静力学理论，我们可以建立以下数学模型：最大弯矩：M最大挠度：v其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。数据样例假设梁的长度L=4m，集中力F=10kN，弹性模量E=200GPa，截面惯性矩I=0.001m^4。代码示例#定义梁的参数

L=4#梁的长度，单位：m

F=10#集中力，单位：kN

E=200e3#弹性模量，单位：Pa

I=0.001#截面惯性矩，单位：m^4

#计算最大弯矩

M_max=F*L/4

print(f"最大弯矩为：{M_max}kN.m")

#计算最大挠度

v_max=F*L**3/(48*E*I)

print(f"最大挠度为：{v_max*1000}mm")代码解释在上述代码中，我们首先定义了梁的参数，包括长度L、集中力F、弹性模量E和截面惯性矩I。然后，根据数学模型，我们计算了最大弯矩M_max和最大挠度v_max。最后，我们输出了计算结果，其中最大挠度的单位转换为了毫米。通过这个例子，我们可以看到解析法在结构静力学分析中的应用，它能够快速、准确地给出结构的响应，对于结构设计和分析具有重要的参考价值。然而，当结构变得复杂，或者边界条件不规则时，解析法可能就不再适用，这时就需要借助数值方法，如有限元法、边界元法等，来求解结构的静力学问题。2结构力学基础2.1结构力学概述结构力学是研究结构在各种外力作用下变形和内力分布的学科。它主要关注结构的稳定性、强度和刚度，通过数学模型和物理定律来分析和预测结构的行为。在工程设计中，结构力学是确保结构安全和性能的关键工具。2.2结构类型梁：承受横向载荷，主要分析弯矩和剪力。桁架：由直杆组成，主要分析轴力。框架：结合梁和柱，分析弯矩、剪力和轴力。连续体结构：如板、壳体，分析应力和应变分布。2.3结构分析方法解析法：基于数学方程直接求解，适用于简单结构。数值方法：如有限元法，适用于复杂结构。2.4静力学平衡方程2.4.1平衡条件在静力学分析中，结构必须满足平衡条件，即所有作用力和力矩的矢量和为零。这可以表示为：-力的平衡：∑Fx=0,∑Fy=0,∑Fz=02.4.2示例：简单梁的静力学分析假设我们有一根简支梁，长度为L，受到集中力P的作用于中点。我们可以通过静力学平衡方程来求解梁的支反力。#Python示例代码

defcalculate_reactions(L,P):

"""

计算简支梁的支反力。

参数:

L--梁的长度

P--作用于梁中点的集中力

返回:

R1,R2--两端的支反力

"""

R1=P/2

R2=P/2

returnR1,R2

#数据样例

L=10#梁的长度为10米

P=100#集中力为100牛顿

#调用函数

R1,R2=calculate_reactions(L,P)

print(f"支反力R1:{R1}N,支反力R2:{R2}N")2.4.3解释上述代码定义了一个函数calculate_reactions，用于计算简支梁两端的支反力。通过将梁的长度L和作用于中点的集中力P作为输入，函数返回两端的支反力R1和R2.5材料性质与应力应变关系2.5.1材料性质弹性模量：E，表示材料抵抗弹性变形的能力。泊松比：ν，描述材料横向变形与纵向变形的关系。屈服强度：σy2.5.2应力应变关系在弹性范围内，应力应变关系遵循胡克定律，即：σ其中，σ是应力，ϵ是应变。2.5.3示例：计算梁的弯矩和应力假设我们有一根矩形截面的梁，宽度为b，高度为h，弹性模量为E，受到弯矩M的作用。我们可以计算梁的最大应力。#Python示例代码

defcalculate_stress(b,h,E,M):

"""

计算矩形截面梁的最大应力。

参数:

b--梁的宽度

h--梁的高度

E--材料的弹性模量

M--作用于梁的弯矩

返回:

sigma_max--梁的最大应力

"""

I=b*h**3/12#截面惯性矩

c=h/2#截面到最远纤维的距离

sigma_max=M*c/I

returnsigma_max

#数据样例

b=0.2#梁的宽度为0.2米

h=0.1#梁的高度为0.1米

E=200e9#弹性模量为200GPa

M=1000#弯矩为1000Nm

#调用函数

sigma_max=calculate_stress(b,h,E,M)

print(f"最大应力:{sigma_max}Pa")2.5.4解释代码中的calculate_stress函数用于计算矩形截面梁的最大应力。通过输入梁的宽度b、高度h、材料的弹性模量E以及作用于梁的弯矩M，函数计算出截面惯性矩I和截面到最远纤维的距离c，进而求得最大应力σmax通过上述原理和示例，我们深入了解了结构力学中解析法的基本概念，包括结构类型、静力学平衡方程以及材料性质与应力应变关系。这些知识是进行结构静力学分析的基础，能够帮助工程师准确预测结构在不同载荷下的行为。3解析法的数学基础解析法在结构静力学分析中扮演着至关重要的角色，它依赖于一系列数学工具和原理来求解结构在静载荷作用下的响应。本教程将深入探讨解析法的数学基础，包括线性代数回顾、微积分与偏微分方程以及变分原理与能量方法。3.1线性代数回顾线性代数是结构力学分析的基石，它提供了处理线性系统和矩阵运算的框架。在结构静力学分析中，线性代数用于建立和求解结构的平衡方程。3.1.1矩阵与向量矩阵和向量是线性代数的基本元素。矩阵可以表示线性变换，而向量则表示空间中的点或方向。示例：矩阵乘法假设我们有矩阵A和向量x，矩阵乘法AxA则Aximportnumpyasnp

#定义矩阵A和向量x

A=np.array([[1,2],

[3,4]])

x=np.array([5,6])

#计算矩阵乘法

Ax=np.dot(A,x)

print(Ax)输出结果为：[1739]这表示向量x在矩阵A的作用下变换为向量17,3.1.2线性方程组线性方程组是结构分析中常见的数学模型，通常表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，示例：求解线性方程组考虑以下线性方程组：x可以使用线性代数中的高斯消元法或矩阵求逆法来求解。#定义系数矩阵A和常数向量b

A=np.array([[1,2],

[3,4]])

b=np.array([8,18])

#使用numpy求解线性方程组

x=np.linalg.solve(A,b)

print(x)输出结果为：[2.3.]这意味着方程组的解为x=2和3.2微积分与偏微分方程微积分提供了处理连续变化的工具，而偏微分方程则用于描述多变量函数的连续变化。在结构静力学分析中，微积分和偏微分方程用于建立结构的平衡条件和变形方程。3.2.1偏微分方程偏微分方程（PDE）在描述结构的应力、应变和位移时至关重要。例如，弹性力学中的平衡方程可以表示为偏微分方程。示例：一维弹性杆的平衡方程考虑一根一维弹性杆，其平衡方程可以表示为：d其中E是弹性模量，A是截面积，u是位移，qx3.2.2数值求解偏微分方程数值方法，如有限差分法或有限元法，常用于求解复杂的偏微分方程。示例：使用有限差分法求解一维弹性杆的平衡方程假设弹性杆的长度为L，分布载荷为qx=10，弹性模量E=200，截面积A=1。我们使用有限差分法在x=0importnumpyasnp

#参数定义

L=10

E=200

A=1

q=10

n=100#网格点数

#网格划分

x=np.linspace(0,L,n)

dx=x[1]-x[0]

#初始化位移向量

u=np.zeros(n)

#应用有限差分法

foriinrange(1,n-1):

u[i]=u[i-1]+(dx**2)*q/(E*A)

#边界条件

u[0]=0#左端固定

u[-1]=0#右端固定

#输出位移向量

print(u)3.3变分原理与能量方法变分原理和能量方法是解析法中用于求解结构静力学问题的高级工具。它们基于能量守恒和最小势能原理，提供了一种求解结构平衡状态的途径。3.3.1最小势能原理最小势能原理指出，在静力平衡状态下，结构的总势能达到最小值。总势能由内部能量和外部能量组成。示例：使用最小势能原理求解一维弹性杆的位移考虑一根一维弹性杆，其内部能量为U=0LEAdudx23.3.2能量方法能量方法利用能量守恒来求解结构问题。在结构静力学分析中，能量方法可以简化复杂的微分方程求解过程。示例：使用能量方法求解一维弹性杆的平衡状态假设弹性杆的长度为L，分布载荷为qx=10，弹性模量E=200，截面积importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#参数定义

L=10

E=200

A=1

q=10

#定义位移函数

defu(x,c):

returnc[0]*x+c[1]

#定义内部能量函数

defU(c):

x=np.linspace(0,L,100)

returnnp.trapz(E*A*(np.gradient(u(x,c),x))**2,x)

#定义外部能量函数

defV(c):

x=np.linspace(0,L,100)

returnnp.trapz(q*u(x,c),x)

#定义总势能函数

defP(c):

returnU(c)-V(c)

#初始猜测

c0=[0,0]

#使用最小化函数求解最小势能状态

res=minimize(P,c0,method='BFGS')

c=res.x

#输出位移函数

x=np.linspace(0,L,100)

print(u(x,c))以上代码使用能量方法和最小化算法求解了一维弹性杆的平衡状态，输出了位移函数ux通过以上内容，我们深入理解了解析法在结构静力学分析中的数学基础，包括线性代数、微积分与偏微分方程以及变分原理与能量方法。这些工具和原理为结构工程师提供了强大的分析手段，帮助他们准确预测结构在静载荷下的行为。4结构的离散化4.1离散化方法概述在结构静力学分析中，离散化是将连续的结构转化为有限数量的离散单元的过程，以便于使用数值方法进行分析。这种方法基于将复杂结构简化为一系列简单单元的组合，每个单元的力学行为可以用数学模型精确描述。通过离散化，可以将结构的连续方程转化为离散的代数方程组，从而利用计算机进行求解。4.2节点与单元的概念4.2.1节点节点是结构离散化过程中的基本点，它们是单元的连接点。在节点处，可以定义位移、力等边界条件。节点的位移是结构分析中的未知变量，而力则是已知的输入条件。4.2.2单元单元是结构的最小分析单元，可以是梁、板、壳、实体等。每个单元的力学行为由其几何形状、材料属性和边界条件决定。单元内部的应力和应变可以通过单元的位移来计算。4.3单元刚度矩阵的建立单元刚度矩阵是描述单元内部力与位移关系的矩阵。它是通过将单元的连续方程转化为离散方程来建立的。对于一个简单的梁单元，其刚度矩阵可以通过以下步骤建立：选择坐标系：确定单元的局部坐标系。建立位移函数：使用位移函数描述单元内部的位移分布。应用胡克定律：将位移函数与材料的弹性性质结合，得到应力和应变的关系。应用虚功原理：通过虚功原理建立力与位移的关系。积分求解：对单元内部的力与位移关系进行积分，得到单元刚度矩阵。4.3.1示例：简单梁单元的刚度矩阵假设我们有一个简单的梁单元，长度为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E。我们可以使用以下Python代码来计算其刚度矩阵：importnumpyasnp

#定义单元参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.05#截面惯性矩，单位：m^4

L=1.0#单元长度，单位：m

#计算刚度矩阵

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#输出刚度矩阵

print("单元刚度矩阵：\n",k)4.3.2解释在上述代码中，我们首先定义了梁单元的参数，包括弹性模量E、截面惯性矩I和单元长度L。然后，我们使用这些参数计算了单元的刚度矩阵k。刚度矩阵是一个4x4的矩阵，因为它考虑了梁单元两端的弯矩和剪力。最后，我们输出了计算得到的刚度矩阵。通过离散化方法，我们可以将整个结构的力学行为转化为一系列单元刚度矩阵的组合，进而求解整个结构的静力学问题。5结构力学数值方法：解析法5.1静力分析的解析方法5.1.1直接刚度法详解直接刚度法是结构静力学分析中的一种核心解析方法，它基于矩阵力学理论，通过将结构离散化为多个单元，然后建立单元刚度矩阵，最终组合成整体结构的刚度矩阵来求解结构在给定载荷下的响应。原理直接刚度法的基本步骤包括：1.结构离散化：将结构分解为多个单元，如梁、柱、板等。2.单元分析：对每个单元，根据其几何、材料和边界条件，建立单元刚度矩阵和单元载荷向量。3.整体分析：将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组合成整体结构的刚度矩阵和载荷向量。4.边界条件处理：施加边界条件，如固定支座、铰支座等，修改整体刚度矩阵和载荷向量。5.求解位移：解线性方程组，得到结构的位移向量。6.求解内力：根据位移向量，计算每个单元的内力。示例假设有一个简单的两跨梁结构，由两个相同的梁单元组成，两端固定，中间承受集中力。使用Python和NumPy库来演示直接刚度法的计算过程。importnumpyasnp

#定义单元刚度矩阵

defunit_stiffness_matrix(E,I,L):

"""

计算梁单元的刚度矩阵

:paramE:弹性模量

:paramI:惯性矩

:paramL:单元长度

:return:单元刚度矩阵

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定义整体刚度矩阵

defglobal_stiffness_matrix(units):

"""

组合所有单元的刚度矩阵为整体刚度矩阵

:paramunits:单元列表，每个单元包含刚度矩阵和节点位置

:return:整体刚度矩阵

"""

n=len(units)+1#节点数

K=np.zeros((2*n,2*n))

fori,unitinenumerate(units):

k=unit['stiffness']

nodes=unit['nodes']

K[2*nodes[0]:2*nodes[0]+2,2*nodes[0]:2*nodes[0]+2]+=k[:2,:2]

K[2*nodes[0]:2*nodes[0]+2,2*nodes[1]:2*nodes[1]+2]+=k[:2,2:]

K[2*nodes[1]:2*nodes[1]+2,2*nodes[0]:2*nodes[0]+2]+=k[2:,:2]

K[2*nodes[1]:2*nodes[1]+2,2*nodes[1]:2*nodes[1]+2]+=k[2:,2:]

returnK

#定义单元载荷向量

defunit_load_vector(F,nodes):

"""

计算梁单元的载荷向量

:paramF:集中力

:paramnodes:单元的节点位置

:return:单元载荷向量

"""

P=np.zeros(4)

P[2*nodes[1]]=F

returnP

#定义整体载荷向量

defglobal_load_vector(units):

"""

组合所有单元的载荷向量为整体载荷向量

:paramunits:单元列表，每个单元包含载荷向量和节点位置

:return:整体载荷向量

"""

n=len(units)+1#节点数

P=np.zeros(2*n)

fori,unitinenumerate(units):

p=unit['load']

nodes=unit['nodes']

P[2*nodes[1]]+=p[2*nodes[1]]

returnP

#定义结构

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.01#惯性矩，单位：m^4

L=5#单元长度，单位：m

F=1000#集中力，单位：N

#创建单元

unit1={'stiffness':unit_stiffness_matrix(E,I,L),'nodes':[0,1],'load':unit_load_vector(F,[0,1])}

unit2={'stiffness':unit_stiffness_matrix(E,I,L),'nodes':[1,2],'load':np.zeros(4)}

#创建单元列表

units=[unit1,unit2]

#计算整体刚度矩阵和载荷向量

K=global_stiffness_matrix(units)

P=global_load_vector(units)

#施加边界条件

K[[0,2,4,6],:]=0

K[:,[0,2,4,6]]=0

K[[0,2,4,6],[0,2,4,6]]=np.eye(4)

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,P)

#输出位移结果

print("位移向量：",U)5.1.2力法与位移法比较力法和位移法是结构静力学分析中的两种主要方法，它们在求解结构响应时有不同的侧重点和适用场景。力法力法主要关注结构的支反力和内力，通过设定结构的多余未知力作为基本未知量，然后建立力的平衡方程来求解。这种方法适用于超静定结构，特别是当结构的多余未知力较少时。位移法位移法则关注结构的位移，通过设定结构的节点位移作为基本未知量，然后建立位移的平衡方程来求解。这种方法适用于所有类型的结构，特别是当结构的位移未知量较少时，如直接刚度法就是位移法的一种。比较计算复杂度：位移法通常需要建立更大的矩阵，但现代计算机可以高效处理。力法则可能需要更多的迭代计算。适用性：位移法适用于所有类型的结构，而力法更适用于超静定结构。结果直观性：力法直接给出内力和支反力，而位移法需要额外步骤来计算这些量。5.1.3超静定结构的解析超静定结构是指结构的未知支反力或内力数目多于静力平衡方程数目，因此不能仅通过静力平衡方程直接求解。这类结构需要使用力法、位移法或混合方法来求解。原理超静定结构的求解通常涉及以下步骤：1.确定多余未知量：识别结构的多余未知力或位移。2.建立平衡方程：根据力法或位移法，建立平衡方程。3.施加边界条件：根据结构的边界条件，修改方程。4.求解未知量：解方程组，得到多余未知量的值。5.计算内力和位移：使用求得的多余未知量，计算结构的内力和位移。示例考虑一个简单的超静定梁结构，两端固定，中间承受集中力。使用力法来求解结构的支反力。importnumpyasnp

#定义力法的刚度矩阵

defstiffness_matrix(E,I,L):

"""

计算超静定梁的刚度矩阵

:paramE:弹性模量

:paramI:惯性矩

:paramL:单元长度

:return:刚度矩阵

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,24,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定义力法的载荷向量

defload_vector(F,L):

"""

计算超静定梁的载荷向量

:paramF:集中力

:paramL:单元长度

:return:载荷向量

"""

P=np.array([0,F*L/2,0,F*L/2])

returnP

#定义结构

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.01#惯性矩，单位：m^4

L=5#单元长度，单位：m

F=1000#集中力，单位：N

#计算刚度矩阵和载荷向量

K=stiffness_matrix(E,I,L)

P=load_vector(F,L)

#施加边界条件

K[[0,3],:]=0

K[:,[0,3]]=0

K[[0,3],[0,3]]=np.eye(2)

#求解支反力

R=np.linalg.solve(K,P)

#输出支反力结果

print("支反力向量：",R)以上示例展示了如何使用Python和NumPy库来解析超静定结构的支反力，通过力法的刚度矩阵和载荷向量计算。6结构响应的计算6.1位移计算位移计算是结构静力学分析中的基础步骤，它涉及到结构在外部载荷作用下的变形情况。在解析法中，我们通常使用力法、位移法或能量法来求解结构的位移。这里，我们将通过一个简单的例子来展示如何使用位移法计算梁的位移。假设我们有一个简支梁，长度为L，受到均布载荷q的作用。梁的弹性模量为E，截面惯性矩为I。我们可以通过以下公式计算梁中点的位移：δ6.1.1示例代码#定义参数

L=4.0#梁的长度，单位：米

E=200e9#弹性模量，单位：帕斯卡

I=0.1**4/12#截面惯性矩，单位：平方米^4

q=10000#均布载荷，单位：牛顿/米

#计算位移

delta=q*L**4/(384*E*I)

print(f"梁中点的位移为：{delta:.3f}米")6.2应力与应变计算应力与应变计算是评估结构安全性的重要环节。在静力学分析中，我们通常使用胡克定律来计算应力，公式为：σ其中，σ是应力，ϵ是应变，E是弹性模量。6.2.1示例代码假设我们有一根材料的弹性模量为E，受到拉力F作用，截面积为A。我们可以计算材料的应力。#定义参数

E=200e9#弹性模量，单位：帕斯卡

F=10000#拉力，单位：牛顿

A=0.01#截面积，单位：平方米

#计算应力

sigma=F/A

print(f"材料的应力为：{sigma:.3f}帕斯卡")6.3内力图的绘制内力图，尤其是弯矩图和剪力图，对于理解结构的受力状态至关重要。在解析法中，我们可以通过计算结构在不同截面的内力，然后绘制这些内力随位置变化的图形。6.3.1示例代码假设我们有一个简支梁，长度为L，受到集中力P的作用于中点。我们可以计算梁的弯矩和剪力，然后绘制内力图。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

L=4.0#梁的长度，单位：米

P=10000#集中力，单位：牛顿

#定义位置变量

x=np.linspace(0,L,100)

#计算弯矩和剪力

M=np.where(x<=L/2,-P*x/2,P*(L-x)/2)

V=np.where(x<=L/2,-P/2,P/2)

#绘制内力图

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)

plt.plot(x,M)

plt.title('弯矩图')

plt.xlabel('位置(米)')

plt.ylabel('弯矩(牛顿·米)')

plt.grid(True)

plt.subplot(1,2,2)

plt.plot(x,V)

plt.title('剪力图')

plt.xlabel('位置(米)')

plt.ylabel('剪力(牛顿)')

plt.grid(True)

plt.tight_layout()

plt.show()通过上述代码，我们可以清晰地看到梁在集中力作用下的弯矩和剪力分布情况，这对于结构设计和分析具有重要意义。7特殊结构的解析法7.1连续梁的解析7.1.1原理连续梁是一种在两个或多个支座上连续支撑的梁结构，其解析法主要基于静力平衡方程和变形协调条件。静力平衡方程用于确定梁的内力，而变形协调条件则确保梁在不同支座间的连续性。在解析连续梁时，通常采用分段解析法，即将梁分为若干段，每段视为简支梁或悬臂梁，然后通过边界条件和连续条件求解整个梁的内力和变形。7.1.2内容静力平衡方程对于每一段梁，可以列出弯矩方程和剪力方程，通过积分求解得到挠度方程。例如，对于一段简支梁，其弯矩方程为：M其中，q是均布荷载，R是支座反力。通过积分得到剪力方程和挠度方程，然后利用边界条件求解支座反力。变形协调条件在连续梁的支座处，挠度和转角必须连续。例如，对于两段连续的简支梁，设第一段梁的右端挠度为y1，转角为θ1；第二段梁的左端挠度为y2，转角为yθ通过这些条件，可以求解出整个连续梁的内力和变形。7.1.3示例假设有一连续梁，由两段简支梁组成，每段长度为L，均布荷载为q，求解梁的内力和变形。importsympyassp

#定义变量

x,L,q,R1,R2,R3=sp.symbols('xLqR1R2R3')

#第一段梁的弯矩方程

M1=-q*x**2/2+R1*x-R2*(L-x)

#第二段梁的弯矩方程

M2=-q*x**2/2+R3*x-R2*(2*L-x)

#积分得到剪力方程

V1=egrate(M1,x)

V2=egrate(M2,x)

#再次积分得到挠度方程

y1=egrate(V1,x)

y2=egrate(V2,x)

#利用边界条件和连续条件求解支座反力

#边界条件：两端挠度为0

boundary_conditions=[y1.subs(x,0),y1.subs(x,L),y2.subs(x,2*L)]

#连续条件：中间支座挠度和转角连续

continuity_conditions=[y1.subs(x,L)-y2.subs(x,L),sp.diff(y1,x).subs(x,L)-sp.diff(y2,x).subs(x,L)]

#求解支座反力

solution=sp.solve(boundary_conditions+continuity_conditions,(R1,R2,R3))

#输出结果

print("支座反力：",solution)7.2框架结构的静力分析7.2.1原理框架结构的静力分析通常采用节点力法或截面力法。节点力法是基于节点的平衡条件，通过求解节点上的未知力来分析框架结构；截面力法则是基于截面的平衡条件，通过求解截面上的未知力来分析框架结构。在实际计算中，可以结合使用这两种方法，以简化计算过程。7.2.2内容节点力法节点力法的基本步骤如下：确定未知力：列出所有节点上的未知力。列出平衡方程：对于每个节点，列出水平方向和垂直方向的静力平衡方程。求解未知力：通过解线性方程组求解所有未知力。截面力法截面力法的基本步骤如下：确定未知力：列出所有截面上的未知力。列出平衡方程：对于每个截面，列出弯矩平衡方程和剪力平衡方程。求解未知力：通过解线性方程组求解所有未知力。7.2.3示例假设有一框架结构，由两根柱子和一根横梁组成，柱子高度为H，横梁长度为L，柱子和横梁的截面惯性矩分别为Ic和Ib，柱子和横梁的弹性模量均为E，求解框架结构在均布荷载importsympyassp

#定义变量

x,y,H,L,q,E,I_c,I_b,F1,F2,M1,M2=sp.symbols('xyHLqEI_cI_bF1F2M1M2')

#横梁的弯矩方程

M_b=-q*x**2/2+M1*x/L+F1*(x-L)

#柱子的弯矩方程

M_c1=M1*y/H

M_c2=M2*y/H

#积分得到横梁的剪力方程

V_b=egrate(M_b,x)

#再次积分得到横梁的挠度方程

y_b=egrate(V_b,x)

#积分得到柱子的剪力方程

V_c1=egrate(M_c1,y)

V_c2=egrate(M_c2,y)

#再次积分得到柱子的挠度方程

y_c1=egrate(V_c1,y)

y_c2=egrate(V_c2,y)

#利用边界条件和连续条件求解未知力

#边界条件：柱子底部剪力为0，横梁两端挠度为0

boundary_conditions=[V_c1.subs(y,0),y_b.subs(x,0),y_b.subs(x,L)]

#连续条件：柱子顶部弯矩和剪力连续，横梁中间点挠度和转角连续

continuity_conditions=[M_c1.subs(y,H)-M_c2.subs(y,0),V_c1.subs(y,H)-V_c2.subs(y,0),y_b.subs(x,L/2)-y_c1.subs(y,H/2),sp.diff(y_b,x).subs(x,L/2)-sp.diff(y_c1,y).subs(y,H/2)]

#求解未知力

solution=sp.solve(boundary_conditions+continuity_conditions,(F1,F2,M1,M2))

#输出结果

print("未知力：",solution)7.3桁架结构的解析方法7.3.1原理桁架结构的解析方法主要基于节点力法。桁架结构由一系列直杆组成，这些直杆在节点处连接，且只承受轴向力。因此，桁架结构的静力分析可以简化为求解节点上的未知力，进而得到每根杆件的内力。7.3.2内容节点力法节点力法的基本步骤如下：确定未知力：列出所有节点上的未知力。列出平衡方程：对于每个节点，列出水平方向和垂直方向的静力平衡方程。求解未知力：通过解线性方程组求解所有未知力。计算杆件内力：利用节点上的未知力，计算每根杆件的内力。7.3.3示例假设有一桁架结构，由四根杆件组成，杆件长度均为L，杆件的弹性模量均为E，截面积分别为A1、A2、A3和A4importsympyassp

#定义变量

L,E,A1,A2,A3,A4,P,F1,F2,F3,F4=sp.symbols('LEA1A2A3A4PF1F2F3F4')

#节点1的平衡方程

eq1=F1*sp.cos(sp.pi/4)+F2*sp.cos(sp.pi/4)-P

eq2=F1*sp.sin(sp.pi/4)-F3

eq3=F2*sp.sin(sp.pi/4)-F4

#节点2的平衡方程

eq4=F3-F4*sp.cos(sp.pi/4)

eq5=F4*sp.sin(sp.pi/4)

#求解未知力

solution=sp.solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5],(F1,F2,F3,F4))

#输出结果

print("节点力：",solution)

#计算杆件内力

N1=solution[F1]*L/A1/E

N2=solution[F2]*L/A2/E

N3=solution[F3]*L/A3/E

N4=solution[F4]*L/A4/E

#输出杆件内力

print("杆件内力：")

print("N1=",N1)

print("N2=",N2)

print("N3=",N3)

print("N4=",N4)以上示例展示了如何使用节点力法求解桁架结构的内力。通过列出节点的平衡方程并求解未知力，进而计算出每根杆件的内力。8解析法的局限性与数值方法的引入8.1解析法的适用范围解析法，即利用数学公式直接求解结构力学问题的方法，适用于结构简单、边界条件明确、材料性质均匀的理想化情况。例如，对于悬臂梁的弯曲问题，可以使用欧拉-伯努利梁理论的微分方程求解梁的挠度和应力分布。下面是一个悬臂梁在自由端受集中力作用的解析解示例：假设悬臂梁的长度为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E，自由端受集中力F作用。根据欧拉-伯努利梁理论，梁的挠度方程为：d边界条件为：w解析解为：w8.2数值方法的优势然而，实际工程中的结构往往复杂多变，解析法难以直接应用。此时，数值方法成为解决问题的有效工具。数值方法通过将连续问题离散化，转化为有限个未知数的代数方程组，适用于复杂结构、非线性材料和边界条件。其中，有限元法（FEM）是最常用的数值方法之一。8.2.1有限元法示例以悬臂梁为例，使用Python和SciPy库进行有限元分析：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#参数定义

L=1.0#梁长度

E=200e9#弹性模量

I=1e-4#截面惯性矩

F=1000#集中力

n=10#离散化节点数

#离散化

x=np.linspace(0,L,n+1)

h=x[1]-x[0]

K=np.zeros((n,n))#刚度矩阵

F=np.zeros(n)#荷载向量

F[-1]=F#自由端受力

#构建刚度矩阵

foriinrange(n):

ifi==0:

K[i,i]=12

K[i,i+1]=6

elifi==n-1:

K[i,i-1]=6

K[i,i]=4

else:

K[i,i-1]=6

K[i,i]=12

K[i,i+1]=6

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#求解位移向量

u=spsolve(diags(K),F)

#计算挠度

w=np.zeros(n+1)

foriinrange(n):

w[i+1]=w[i]+u[i]*h+u[i+1]*h**2/2

#输出挠度

print("梁的挠度分布为：")

print(w)8.3解析法与数值方法的结合应用在某些情况下，解析法和数值方法可以结合使用，以提高计算效率和精度。例如，对于结构的初步设计，可以使用解析法快速估算结构的响应；在详细设计阶段，再使用数值方法进行精确分析。此外，解析解还可以作为数值方法的验证基准，确保数值解的正确性。结合应用的一个示例是使用解析法确定结构的固有频率，然后使用数值方法分析在特定频率下的响应。这种方法在振动分析中尤为常见，可以有效地评估结构的动态性能。8.3.1结合应用示例假设需要分析一个悬臂梁在特定频率下的振动响应，首先使用解析法确定梁的固有频率，然后使用有限元法分析在该频率下的响应。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

fromscipy.linalgimporteig

#参数定义

L=1.0#梁长度

E=200e9#弹性模量

I=1e-4#截面惯性矩

rho=7850#材料密度

n=10#离散化节点数

#离散化

x=np.linspace(0,L,n+1)

h=x[1]-x[0]

M=np.zeros((n,n))#质量矩阵

K=np.zeros((n,n))#刚度矩阵

#构建质量矩阵

foriinrange(n):

M[i,i]=rho*h*I

#构建刚度矩阵

foriinrange(n):

ifi==0:

K[i,i]=12

K[i,i+1]=6

elifi==n-1:

K[i,i-1]=6

K[i,i]=4

else:

K[i,i-1]=6

K[i,i]=12

K[i,i+1]=6

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#求解固有频率

eigenvalues,_=eig(diags(K),diags(M))

frequencies=np.sqrt(eigenvalues)/(2*np.pi)

#输出固有频率

print("梁的固有频率为：")

print(frequencies)

#假设分析频率为第一个固有频率

omega=2*np.pi*frequencies[0]

#构建荷载向量（假设为正弦荷载）

F=np.zeros(n)

F[-1]=np.sin(omega*x[-1])

#求解位移向量

u=spsolve(diags(K),F)

#计算挠度

w=np.zeros(n+1)

foriinrange(n):

w[i+1]=w[i]+u[i]*h+u[i+1]*h**2/2

#输出挠度

print("梁在特定频率下的挠度分布为：")

print(w)通过上述示例，我们可以看到解析法和数值方法在结构力学分析中的互补作用，以及如何结合使用这两种方法来解决实际问题。9案例分析与实践9.1简单结构的静力分析实例在结构静力学分析中，解析法是一种基于理论力学和材料力学原理的分析方法，适用于解决结构在静载荷作用下的平衡问题。下面，我们将通过一个简单的梁结构静力分析实例，来展示解析法的应用。9.1.1案例描述假设有一根简支梁，长度为4米，两端固定，中间受到一个垂直向下的集中力作用，力的大小为1000牛顿。我们需要计算梁的弯矩、剪力和挠度。9.1.2解析步骤确定边界条件：简支梁的两端弯矩和剪力均为0。建立力学模型：将梁简化为一维模型，使用欧拉-伯努利梁理论。求解弯矩方程：根据弯矩与剪力的关系，以及剪力与外力的关系，建立微分方程。求解剪力方程：基于弯矩方程，进一步求解剪力方程。求解挠度方程：利用弯矩与挠度的关系，求解挠度方程。9.1.3代码示例假设梁的弹性模量E=200×importnumpyasnp

#定义参数

L=4.0#梁的长度

F=1000.0#集中力大小

E=200e9#弹性模量

I=0.01#截面惯性矩

#定义位置变量x

x=np.linspace(0,L,100)

#计算弯矩M(x)

M=-F*x*(L-x)/L

#计算剪力V(x)

V=-F*(L-x)/L

#计算挠度y(x)

#首先，根据弯矩方程求解挠度方程的积分常数

#由于y(0)=y(L)=0，可以求得C1=0,C2=FL^2/(8EI)

C2=F*L**2/(8*E*I)

#挠度方程

y=(F*x**2*(3*L-x))/(6*E*I)-C2*x

#输出结果

print("弯矩M(x)在x=2m处的值:",M[x==2][0])

print("剪力V(x)在x=2m处的值:",V[x==2][0])

print("挠度y(x)在x=2m处的值:",y[x==2][0])9.1.4解释上述代码中，我们首先定义了梁的长度、集中力大小、弹性模量和截面惯性矩。然后，我们使用numpy库生成了从0到L的100个位置点，用于计算弯矩、剪力和挠度。弯矩和剪力的计算基于梁的力学模型，而挠度的计算则需要考虑边界条件和积分常数。9.2复杂结构的解析法应用对于复杂结构，如多跨梁、框架结构等，解析法的应用需要更复杂的数学模型和边界条件处理。下面，我们以一个两跨连续梁为例，展示解析法在复杂结构中的应用。9.2.1案例描述假设有一根两跨连续梁，每跨长度为3米，中间支座为滑动支座，两端固定，梁上均匀分布着一个恒定的载荷，大小为500牛顿/米。我们需要计算梁的弯矩、剪力和挠度。9.2.2解析步骤确定边界条件：两端弯矩和剪力均为0，中间支座剪力未知。建立力学模型：使用连续梁理论，考虑支座反力和分布载荷的影响。求解支座反力：通过平衡方程求解支座反力。求解弯矩方程：基于支座反力，建立弯矩方程。求解剪力方程：基于弯矩方程，进一步求解剪力方程。求解挠度方程：利用弯矩与挠度的关系，求解挠度方程。9.2.3代码示例假设梁的弹性模量E=200×importnumpyasnp

#定义参数

L=3.0#每跨长度

F=500.0#均布载荷大小

E=200e9#弹性模量

I=0.01#截面惯性矩

#定义位置变量x

x=np.linspace(0,2*L,100)

#求解支座反力

#由于是两跨连续梁，中间支座剪力未知，需要通过平衡方程求解

#假设支座反力为R1,R2,R3

#通过平衡方程求解R1,R2,R3

R1=R3=F*L/2

R2=F*L

#计算弯矩M(x)

#分段计算弯矩，x在0到L之间和L到2L之间

M=np.where(x<=L,-F*x**2/2+R1*x,-F*(x-L)**2/2+R2*(x-L)-R3*(x-2*L))

#计算剪力V(x)

V=np.where(x<=L,-F*x+R1,-F*(x-L)+R2)

#计算挠度y(x)

#首先，根据弯矩方程求解挠度方程的积分常数

#由于y(0)=y(2L)=0，可以求得C1=0,C2=FL^3/(24EI)

C2=F*L**3/(24*E*I)

#挠度方程

y=np.where(x<=L,(F*x**3/(6*E*I))-(R1*x**2/(2*E*I))+C2*x,

(F*(x-L)**3/(6*E*I))-(R2*(x-L)**2/(2*E*I))+(R3*(x-2*L)**2/(2*E*I))-C2*x)

#输出结果

print("弯矩M(x)在x=1.5m处的值:",M[x==1.5][0])

pri