空间中直线、平面的平行 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4空间向量的应用1.4.1.2空间中直线、平面的平行几何中点线面向量中点+位置向量点+方向向量点+法向量OPpPaABO

lAPa

复习导入我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢?首先来看平行的问题.思考1：由直线与直线平行的关系，如何用向量表示它们的关系？这两条直线的方向向量有什么关系？新知探究

l1l2(1)新知探究1.直线与直线平行

αl(2)思考2：由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？新知探究2.直线与平面平行

α(3)β思考3：由平面与平面平行的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？新知探究3.平面与平面平行例1:

证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.αβPba练习巩固

练习巩固大册P20变式训练2

证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设DA=a,DC=b,DD1=c,坐标法题型一：利用空间向量证明线线平行

练习巩固课本P31T2题型一：利用空间向量证明线线平行

ACDBEF基底法练习巩固题型二：利用空间向量证明线面平行

ACDBC1D1B1A1P

练习巩固大册P20例3题型二：利用空间向量证明线面平行、面面平行【例3】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.

ADCBA1D1C1B1F•E•∴EF//平面ACD1.练习巩固题型二：利用空间向量证明线面平行方法一

证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示.方法二

证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三

先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．利用空间向量证明线面平行的三种方法方法总结证法1(几何法)：ADD1A1B1C1BCFENM又∴∵M,N,E,F分别为棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.连接NE,则NE//A1B1,AB//A1B1,NE=A1B1,AB=A1B1,NE//AB

,NE=AB

,∴

ABEN为平行四边形.∴

AN//BE.又AN平面EFDB，BE平面EFDB，∴

AN//平面EFDB.同理AM//平面EFDB.又AM∩AN=A,∴

面AMN∥面EFDB.

练习巩固题型二：利用空间向量证明线面平行、面面平行

练习巩固题型二：利用空间向量证明线面平行、面面平行ADD1A1B1C1BCFENM证法2(向量法)：xyz例3

如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．BACDPEFGxyz证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．

练习巩固(1)线线平行的向量表示.2.方法归纳：基底法、坐标法.3.易错点：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内.(2)线面平行的向量表示.(3)面面平行的向量表示.1.知

识

点：课堂小结1、判断直线与直线平行的方法：①平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行、棱柱的侧棱互相平行…②三角形的中位线、相似线段成比例③基本事实4——平行线的传递性④直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.⑤平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行⑥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．⑦两直线的方向向量共线(直接法、基底法、坐标法找λ)归纳总结——平行的判定2、判段直线与平面平行的方法：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.(几何法、基底法、坐标法)

直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面.②面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.③如果两个平面相互垂直，如果一条直线垂直于两个平面中的一个，则该直线要么在另一个平面内，要么与另一个平面平行.④法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直归纳总结——平行的判定3、判段平面与平面平行的方法：①判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.(几何法、基底法、坐标法)②平行于