2025版高考数学（理）二轮复习训练：立体几何过关检测

专题突破练19专题五立体几何过关检测

一、选择题

1.（2024天津实中模拟六，理4）若/，0是两条不同的直线，江平面。，则是“/〃a»的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体

积的比值为（）

B1

JC-6

3.已知0,〃为异面直线，旌L平面平面£.直线/满意勿R。，加£,则（）

A.a〃£且/〃a

B.a_L£且/_L£

C.a与£相交,且交线垂直于1

D.。与£相交,且交线平行于1

4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和

俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20”，则r=（）

,正视图,

TT

2r

俯视图

A.1B.2C.4D.8

5.（2024山东青岛二模，理7）某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的

最小角的正弦值为（）

A.1B-T*

6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体

积是等，则它的表面积是（）

A.17JiB.18JiC.20JiD.28Ji

7.

（2024山东聊城一模,理7）如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD,£为弧切的中点,则异面直线四与

■所成角的余弦值为（）

B片

「V30

C.——

8.在封闭的直三棱柱ABC-A^Q内有一个体积为「的球.若ABLBC,AB=6,BC=8,M=3,则，的最大值

是（）

A.4冗B.—C.6JiD.—

23

9.

（2024河北衡水同卷联考,理10）在边长为8的等边三角形ABC^,D,£分别为AC,48的中点,现将

△/庞沿龙折起到△/'龙的位置，使得346则直线与底面8侬所成角的正弦值为（

B-frV70

L.-----

A者10

10.（2024河南名校联盟压轴卷四，理10）一个圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥

内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（）

A.2（V2-1）B.8（2^/2）3

C.8（72-1）3D.8（V2+1）3

11.（2024新疆乌鲁木齐二模,理11）已知A,6,C为球。的球面上的三个定点，ZABC=60°,AC^,P为

球。的球面上的动点,记三棱锥产T反7的体积为九三棱锥0T欧的体积为K,若」的最大值为3,则

2

球。的表面积为（）

A16JID64nnUb

A.--B.--C.—D.6兀

992

12.（2024北京师大附中模拟三,理8）已知在长方体ABCD-A\B\C\D\中,81c与G〃所成角的余弦值为

彳与底面4?必所成角的正弦值为:则以与底面加切所成角的余弦值为（）

A.-B.-C.-D.-

2232

二、填空题

13.a,£是两个平面，典〃是两条直线，有下列四个命题：

①^如〃_L。，〃〃£,那么a_L£.

②^如a、n//a、那么mA.n.

③如aIIBq,那么加〃£.

©段如miln、。〃£,那么勿与a所成的角和〃与£所成的角相等.

其中正确的命题有.（填写全部正确命题的编号）

14.（2024天津卷,理11）已知四棱锥的底面是边长为北的正方形，侧棱长均为正.若圆柱的一个底面

的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积

为.

15.在三棱锥2-4%中，底面ABC,ACA.BC,AB=BD^>,B0,则此三棱锥的外接球的表面积

为.

16.（2024北京师大附中模拟三,理13）某工厂现将一棱长为W的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体

零件,则该圆柱体体积的最大值为.

三、解答题

17.（2024江苏卷,16）

如图,在直三棱柱ABC-4BC中,D,£分别为BC；a'的中点,AB=BC.

求证：⑴4吕〃平面庞G;

⑵庞_LG£.

18.（2024四川成都二模，理19）如图。在等腰梯形46切中,48〃勿与厂分别为切的中

点，CD*AB{EF4,〃为8中点.现将四边形BEFC沿用折起使平面庞FCT平面AEFD,得到如图②

所示的多面体.在图②中，

AEB

B

DMFC

①

⑴证明：即L加1;

(2)求二面角乜的余弦值.

19.

(2024山东济宁一模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面46切为平行四边形,序，底面ABCD,Z

ABC=6Q°,ABM,AD之亚,AP%.

(1)求证:平面阳4_L平面PCD-,

(2)设£为侧棱47上的一点，若直线施与底面/aZ?所成的角为45°,求二面角切的余弦值.

20.(2024北京卷，理16)

如图，在四棱锥P-ABCD中,用，平面ABCD,ADVCD,AD//BC,PA=AD=CD28c=3.6为阳的中点，点F

在PC上,且---=

(1)求证：平面PAD-

(2)求二面角/9的余弦值;

⑶设点G在PB上,且一=|推断直线加是否在平面4EF内，说明理由.

21.(2024天津卷，理17)

如图，/£_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,ADVAB,AB=AD=\,AE=BC2

(1)求证:母'〃平面ADE;

(2)求直线。与平面〃应所成角的正弦值;

(3)若二面角£-如-尸的余弦值为《求线段〃的长.

22.

（2024山东荷泽一模,理18）在四棱锥P-ABCD^,如，平面ABCD,四边形切是直角梯形,ADL

DC,AB//DC,DC丸AB,PD=\,BC^[2,BCYBD,设0为棱R7上一点,=A

⑴求证：当才4时,幽，-?;

5

(2)试确定A的值使得二面角Q-BD-P为45°.

参考答案

专题突破练19专题五

立体几何过关检测

1.B解析若J_LR,因为〃_L平面a,所以/〃。或Jua;若，〃a,因为必_L平面a,所以/_Lq所

以“ILm”是al//a”的必要不充分条件.

2.D解析

由题意知该正方体截去了一个三棱锥，如图所示,设正方体棱长为a,则『正方体二或，心去部分日£,故截去

6

13

部分体积与剩余部分体积的比值为匕=I.

一J0

6

3.D解析因为mLa,ILm,Ra,所以/〃a.同理可得1//£.又因为典〃为异面直线,所以a与

£相交,且1平行于它们的交线.故选D.

4.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下

的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积

的一半及一个球的表面积的一半组成..：S表3rX2r+2x

gitr+nrX2r*x4md=5Jir^/=16+20n,解得r=2.

5.C解析

由几何体的三视图可得几何体的直观图如图所示,依据三视图中的线段长度,得AB畛贬,BE=AE=DE畛,

由勾股定理得CE=®从而得4c=14+(V5)2=3,所以侧棱AC和底面所成线面角最小,sinZJCE'^.

6.A解析由三视图可知该几何体是球截去:后所得几何体,贝白x9x4年,解得R2所以它的表

面积为（X4“妙号XJI#=14it+3n=17n.

7.D解析

取8c的中点H,连接EH,AH,则/94句0°.设AB2则BH=HE=\,AH/所以连接ED,则

则用因为BC//AD,所以异面直线肌与园所成角即为NE42,在△成，中cosN&O■总=,故

zxzxVbb

选D.

8.B解析由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得△

O

2回的内切球的半径为写竺之,则胫2.又因为2胫3,所以R<|,所以嗡*号xf|)=，,故选B.

9.B解析取庞的中点。，连接0A),如在△/'庞中，由可得勿'=2次,在宏中，

由0E丸，BE3,/应'0=120°可得吩2近.由04'2+组当'4可得力」如.又因为0A,LDE,OBCDE=0,

所以的'_L底面BCDE,//'6。即为直线/'4与底面比场'所成角.在RtAT如中，sin/4'加一-=

叫故选B.

10.C解析因为圆锥的母线长为2,圆锥的母线与底面的夹角为所以圆锥的轴截面为等腰直角三

角形,底面半径和高均为0,设正方体的棱长为x,则余=宏,解得产2(点-1).故正方体的体积

为［2（2-1）］与（虎-1）3.

11.B解析如图,设△/回的外接圆圆心为0',其半径为r,球。的半径为R,当球心。在三棱锥P-

/8C内时，由题意可知，2=3,可得R9r.：*2r^—；----=仁，足胃，.：S球

刊mX£=若.当球心。在三棱锥户T6c外时,结果不变.故选B.

12.B解析如图,设AB=a,BC=b,AA^c,贝UABx^j2+~AC^/2+~BxC^j2+~l.-：AB,//

GD,BBL平面ABCD,.；NABK是BiC与GO所成角（或所成角的补角），N6备是61c与底面46切所成

角.

:劣。与G2所成角的余弦值为坐改与底面/四所成角的正弦值为今

2+2+2+2-2-2_V6

cosN1=

2j2+2.J2+2—4

_V3

sinZi=

=）

2+2~

解得a=c=43b.

:PG_L平面/比〃

・・・/C\DC是G〃与底面2死9所成角.

TDC二CCi,DCLCCi,

.：/G%35°.

.：G〃与底面46切所成角的余弦值为当故选B.

13.②③④解析对于@若mln,小，。，〃〃£,则a,£的位置关系无法确定,故错误;对于②因

为〃〃a,所以过直线〃作平面/与平面a相交于直线c,则〃〃c.因为必_1_。，所以九Lc,所以0

故②正确;对于③由两个平面平行的性质可知正确;对于④由线面所成角的定义和等角定理

可知其正确,故正确命题的编号有②③④

14.y解析如图，由底面边长为低可得OC=1.

设〃为力的中点，则ao^vo,voN二』

.：010A.

-ait•ao=nx(p2xi^.

15.34JT解析由题意,在三棱锥D-ABC中,OIL底面ABC,ACVBC,AB=BD而,BCW,可得

心切4524=3,故三棱锥2T雨的外接球的半径^32+42+32=浮,则其表面积为4JI乂（苧）

2=34Ji.

16.答解析

A

当圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心0\圆柱的上底面与棱锥侧面的交点

”在侧面的中线/〃上.

「正四面体棱长为百，.:蜗,O'MqB0'=1,「.AON.

设圆柱的底面半径为r,高为h,则

由三角形相像得,丁=g-,即h^2-2y/2r,圆柱的体积V=nrh=y[2nr(1-2r).

2

"(l-2r)W(*岁)),当且仅当r=l-2r,即r』时,取等号..：圆柱的最大体积为等.

17.证明⑴因为D,£分别为BC,AC的中点，所以ED//AB.

在直三棱柱ABC-A&G中,AB//A&,所以AB〃ED.

又因为瓦七平面DEQ,48I平面DEQ,所以4夕〃平面DEG.

⑵因为力庆落£为然的中点，

所以BELAC.

因为三棱柱ABC-ABG是直棱柱，

所以GC_L平面ABC.

又因为BEu平面ABC,所以GCLBE.

因为GCt平面AiACG,ACcz平面AACG,GCnAC=C,

所以跳士平面A.ACG.

因为G6u平面A,ACG,

所以BEIGE.

18.⑴证明由题意知在等腰梯形46口中,46〃3

：'£厂分别为/反切的中点，

•：EFLAB,EFLCD.

•:折叠后,"的;册

；DFCCF=F,.：瓦」平面DCF.

又MCu平面DCF,.\EFVMC.

(2)解:平面庞RLL平面AEFD,平面BEFCC平面AEFD=EF,且EFLDF,

.:毋工平面BEFC,.\DFLCF,

.:毋:①;屈两两垂直.

以尸为坐标原点,分别以或FC,〃所在直线为x,八2轴,建立空间直角坐标系.

:DMA；.FMA,•:〃(1,0,0),7)(2,0,0),^(1,0,2),5(0,1,2),

=(0,0,2),—*=(T,1,0),一=(-1,0,2),

设平面例8的法向量m=(x,%z),贝4二.=2=0,

取x=l,得m=(l,1,0).

设平面ABD的法向量n=(x,Kz),

则1==+2=°­

(,=一+=0.

取z=l,得n=(2,2,1).

,.cos血，n>1H=—=

.：二面角)仿高的余弦值为言.

19.解⑴在平行四边形ABCD中,NADC=6Q：CD=®AD^,s/3,

由余弦定理得A^=A^+C^-2,AD•CDcosAADC=\2^3-2X2V3xV3Xcos60°=9.

；.Ad+Cl}=Alt.：//切=90°,即CDLAC.

又用，底面ABCD,Cg底面ABCD,

；.PAA_CD.

又ACPiCD=C,.:5_L平面PCA.

又CDc.平面AN,.：平面户平面PCD.

⑵如图，以A为坐标原点,AB,AC,在所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.则

A(0,0,0),5(V3,0,0),C(0,3,0),J9(~V3,3,0)，尸(0,0,3).

p

E

设E(x,y,z),*=XOW4Wl),贝I(x,p,z—3)=4(0,3,-3),

・：x-0,p=3A,z-3-3A,即点£的坐标为(0,3九3-3几).

・•・*-(~\/3,3几，3—34).

又平面/题的一个法向量为n=(0,0,1),

Zsin45°-/cos<n)/q=3'=,角星得》总

J3+92+(3一3)2

・・.点E的坐标为(0,1,2),・・・--(0,1,2),--(V3,0,0),

设平面E46的法向量为m=(x,y,z),

由｛二亶得｛斜=0.

令z=l,得平面£46的一个法向量为m=(0,-2,1),

•：cos血，n，T^=\=弓

又二面角仿-〃的平面角为锐角，

故二面角2T6W的余弦值为当.

20.(1)证明因为用，平面/&Z?,

所以PALCD.

又因为ADLCD,所以5_L平面PAD.

⑵解过A作AD的垂线交BC于点M.

因为必，平面力阅9,

所以PALAM,PALAD.

如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),6(2,T,0),C(2,2,0),2(0,2,0),如0,0,2).

因为£为阳的中点,所以£(0,1,1).

所以一=(0,1,1),―-(2,2,-2),—=(0,0,2).

设平面45F的法向量为n=(x,y,z),

(+=0,

即上,2,40

U+3+3=0-

令Z=l,则尸T,x=T.

于是n-(-l,-1,1).

又因为平面PAD的法向量为p-(l,0,0),

所以cos<h,――『咚

由题知,二面角尸-4£-尸为锐角,

所以其余弦值为当

(3)解直线/G在平面AEF内.

因为点C在加上，且——=|,-=(2,-1,-2),所以—>=|-U[W,—>=—<+一=

OOOOO

(i.£2)

3'3'3,

由⑵知,平面力即的法向量n-(-l,-1,1).

所以''n二?+g+

所以直线AC在平面/砂内.

21.(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以一:一:一>的方向为x轴,y轴,2轴正方向的

空间直角坐标系(如图),可得4(0,0,0),6(1,0,0),C(l,2,0),2(0,1,0),£(0,0,2).设CF=h(h9.则

户(1,2").

依题意,一=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又一=(0,2"),可得—>-一>=0,又因为直线〃〃平

面ADE,所以@'〃平面ADE.

(2)解依题意,一=(-1,1,0),一=(-1,0,2),->=(T,-2,2).

设n=(x,y,z)为平面〃厉的法向量，则1•二=£即「+不妨令z=l,可得

(•=0,1一+2=。，

n二(2,2,1).

因止匕有cos<n>-,'~|=-.

所以，直线"与平面叱所成角的正弦值为a

⑶解设m=(s,z)为平面叱的法向量，则1•==£即玄+=。，不妨令尸1,可得m=

I=0,Q+=0,

(1,1,

由题意,有/cos血,n>/4^=上工=I，解得吟经检验,符合题意.所以,线段6F的长为