考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷1（共101题）

考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷1（共4套）（共101题）考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设，则在x=a处()．A、f(x)在x=a处可导且f’(a)≠0B、f(a)为f(x)的极大值C、f(a)不是f(x)的极值D、f(x)在x=a处不可导标准答案：B知识点解析：由，根据极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x-a｜＜δ时，有，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，选B．2、设函数f(x)二阶可导，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△y=f(x+△x)-f(x)，其中△x＜0，则()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：D知识点解析：根据微分中值定理，△y=f(x+△x)-f(x)=f’(ξ)△x＜0(x+△x＜ξ＜x)，dy=f’(x)△x＜0，因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ＜x，所以f’(ξ)＜f’(x)，于是f’(ξ)△x＞f’(x)△x，即dy＜△y＜0，选D．3、f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，f’’(x)＜0，=1，则f(x)在(-∞，0)内()．A、单调增加且大于零B、单调增加且小于零C、单调减少且大于零D、单调减少且小于零标准答案：B知识点解析：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，因为f’’(x)＜0，所以f’(x)单调减少，在(-∞，0)内f’(x)＞f’(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)内为单调增函数，再由f(0)=0，在(-∞，0)内f(x)＜f(0)=0，选B．4、设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则()．A、x0为f(x)的驻点B、-x0为-f(-x)的极小值点C、-x0为-f(x)的极小值点D、对一切的x有f(x)≤f(x0)标准答案：B知识点解析：因为y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以-x0为f(-x)的极大值点，从而-x0为-f(-x)的极小值点，选B．5、设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f’(x)g(x)-f(x)g’(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)标准答案：A知识点解析：由f’(x)g(x)-f(x)g’(x)＜0得，从而为单调减函数，由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设f’’(x)＞0，且f(0)=0，则2f(1)与f(2)的大小关系是______．标准答案：2f(1)＜f(2)知识点解析：由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得f(1)-f(0)-f’(ξ1)(1-0)=f’(ξ1)，f(2)-f(1)-f’(ξ2)(2-1)=f’(ξ2)，因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调递增，又因为ξ1＜ξ2，所以f(1)-f(0)＜f(2)-f(1)，再由f(0)=0得2f(1)＜f(2)．7、函数f(x)=xe-2x的最大值为______．标准答案：知识点解析：令f’(x)=(1-2x)e-2x=0得x=当x＜时，f’(x)＞0；当x＞时，f’(x)＜0，则x=为f(x)的最大值点，最大值为8、设f(x)连续可导，且，则x=0时函数f(x)取_________值．标准答案：最小值知识点解析：由得f(0)=2，f’(0)=0，再由得f’’(0)=4＞0，故x=0时函数f(x)取极小值．9、设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=_______.标准答案：2知识点解析：10、设f(x)为偶函数，且f’(-1)=2，则=______.标准答案：-8知识点解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(1)=2，11、设x＞0，且=_______.标准答案：知识点解析：由则三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)12、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．标准答案：令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，故存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln标准答案：令g(x)=lnx，g’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，整理得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln知识点解析：暂无解析14、设y=，求y(5)(0)．标准答案：sinx=x-+o(x5)=x-+o(x5)，=1-x2+x4+o(x5)，y=x5+o(x5)=x-x5+o(x5)，由，得y(5)(0)=141．知识点解析：暂无解析15、证明：曲线上任一点处切线的横截距与纵截距之和为2．标准答案：对两边关于x求导得切线方程为令Y=0得X=x+；令X=0得Y=y+则X+Y=x+=2．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)-f’(x)lnx+f’(z)lna，所以[f(b)-f(ξ)]-f’(ξ)(lnξ-lna)=0，即=ξf’(ξ)．知识点解析：由f(x)-f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna]’=0，得辅助函数为φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．17、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．标准答案：存在ξ∈，使得因为f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知识点解析：暂无解析18、(1)设f(x)在[0，2]上可导，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．(2)设f(x)在[s，b]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)内能取到最小值，证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．标准答案：(1)由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，2)，使得f(c)-f(0)=f’(ξ1)c，f(2)-f(c)=f’(ξ2)(2-c)，于是｜f(0)｜=｜f’(ξ1)｜c≤Mc，｜f(2)｜=｜f’(ξ2)｜(2-c)≤M(2-c)，故｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．(2)由题意，存在c∈(a，b)，使得f(c)为最小值，从而f’(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(c)-f’(a)-f’’(ξ1)(c-a)，f’(b)-f’(c)=f’’(ξ2)(b-c)，于是｜f’(a)｜=｜f’’(ξ1)｜(c-a)≤M(c-a)，｜f’(b)｜=｜f’’(ξ2)｜(b-c)≤M(b-c)，故｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．知识点解析：暂无解析19、证明不等式：xarctanx≥ln(1+x2)．标准答案：令f(x)=xarctanx-ln(1+x2)，f(0)=0．由f’(x)==arctanx=0，得x=0，因为f’’(x)=＞0，所以x=0为f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥ln(1+x2)．知识点解析：暂无解析20、证明：标准答案：令f(x)=1+xln，f(0)=0．f’(x)=，f’(0)=0．f’’(x)=＞0．由则x=0为f(x)的最小值点，而最小值为f(0)=0，故f(x)≥0，即知识点解析：暂无解析21、设f(x)=，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．标准答案：因为f’(x)=＞0，所以f(x)在(-∞，+∞)上单调增加．因为f’’(x)=，当x＜0时，f’’(x)＞0；当x＞0时，f’’(x)＜0，则y=f(x)在(-∞，0)的图形是凹的，在(0，+∞)内是凸的，(0，0)为y=f(x)的拐点．因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数．由为曲线y=f(x)的两条水平渐近线．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得ln2-1nl=.(2-1)=，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故知识点解析：暂无解析23、当0＜x＜时，证明：＜sinx＜x．标准答案：令f(x)=x-sinx，f(0)=0，f’(x)=1-cosx＞0(0＜x＜)，由即当0＜x＜时，sinx＜x令g(x)=sinx-，g(0)==0．由g’’(x)=-sinx＜0(0＜x＜)得g(x)在内为凸函数，由得g(x)＞0(0＜x＜)，即当0＜x＜＜sinx，故当0＜x＜＜sinx＜x．知识点解析：暂无解析24、求y=f(x)=的渐近线．标准答案：因为f(x)=∞，所以y=f(x)没有水平渐近线，由f(x)=-∞得x=0为铅直渐近线，由=f(x)=∞得x=2为铅直渐近线，由=1．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，1]上二阶可导，f(1)=1，且，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)-2f(ξ)+2=0．标准答案：由=1得f(0)=0，f’(0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)==1．令φ(x)=e-2x[f’(x)-1]，由f’(0)=f’(c)-1得φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=-2e-2x[f’(x)-1]+e-2xf’’(x)=e-2x[f’’(x)-2f’(x)+2]，因为e-2x≠0，所以f’’(ξ)-2f’(ξ)+2=0．知识点解析：暂无解析考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处()．A、可导，且f’(0)=0B、可导，且f’(0)=-1C、可导，且f’(0)=2D、不可导标准答案：B知识点解析：而所以，选B．2、设f(x)二阶连续可导，f’(0)=0，且，则()．A、x=0为f(x)的极大值点B、x=0为f(x)的极小值点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．标准答案：A知识点解析：因为=-1＜0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0．注意到x3=o(x)，所以当0＜｜x｜＜δ时f’’(x)＜0，从而f’(x)在(-δ，δ)内单调递减，再由f’(0)=0，得故x=0为f(x)的极大值点，选A．3、设f(x)可导，则当△x→0时，△y-dy是△x的()．A、高阶无穷小B、等价无穷小C、同阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：A知识点解析：因为f(x)可导，所以f(x)可微分，即△y=dy+o(△x)，所以△y-dy是△x的高阶无穷小，选A．4、设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3-1在点(1，-1)处切线相同，则()．A、a=1，b=1B、a=-1，b=-1C、a=2，b=1D、a=-2，b=-1标准答案：B知识点解析：由y=x2+ax+b得y’=2x+a，2y=xy3-1两边对x求导得2y’=y3+3xy2y’，解得因为两曲线在点(1，-1)处切线相同，所以选B．5、当x∈[0，1]时，f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小次序为()．A、f’(0)＞f(1)-f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)-f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)-f(0)D、f’(0)＜f(1)-f(0)＜f’(1)标准答案：D知识点解析：由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(c)(0＜c＜1)，因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)-f(0)＜f’(1)，选D.二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)6、=________.标准答案：1知识点解析：令f(x)=sinx，f’(x)=cosx，则其中则7、的最大项为_______．标准答案：知识点解析：令f(x)=由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，x=e时函数f(x)取最大值，从而的最大项为由8、设周期为4的函数f(x)处处可导，且，则曲线y=f(x)在(-3，f(-3))处的切线为______．标准答案：y=-2x-4知识点解析：由得f(1)=2，再由得f’(1)=-2，又f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2，f’(-3)=f’(-4+1)=f’(1)=-2，故曲线y=f(x)在点(-3，f(-3))处的切线为y-2=2(x+3)，即y=-2x-4．9、曲线的斜渐近线为______．标准答案：y=x+3知识点解析：则斜渐近线为y=x+3．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)10、设f(x)三阶可导，，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’’(ξ)=0．标准答案：由得f(0)=1，f’(0)=0；由得f(1)=1，f’(1)=0．因为f(0)=f(1)=1，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．由f’(0)=f’(c)=f’(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得f’’(ξ1)=f’’(ξ2)=0，再根据罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析11、设f(x)二阶可导，=1，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)-f’(ξ)+1=0．标准答案：由得f(0)=0，f’(0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得令φ(x)=e-x[f’(x)-1]，φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f’(x)+1]且e-x≠0，故f’’(ξ)-f’(ξ)+1=0．知识点解析：暂无解析12、设ex-是关于x的3阶无穷小，求a，b．标准答案：ex=1+x++o(x3)，=1-bx+b2x2-b3x3+o(x3)，=(1+ax)[1-bx+b2x2-b3x3+o(x3)]=1+(a-b)x+b(-ba)x2-b2(b-a)x3+o(x3)，e-=(1-a+b)x+(+ab-b2)x2+(+b2-ab2)x2+o(x3)，由题意得1-a+b=0，+ab-b2=0且+b2-ab2≠0，解得a=知识点解析：暂无解析13、证明：当x＞0时，ex-1＞(1+x)ln(1+x)．标准答案：令f(x)=ex-1-(1+x)ln(1+x)，f(0)=0，f’(x)=ex-ln(1+x)-1，f’(0)=0；f’’(x)=ex-＞0(x＞0)，由f’’(x)＞0(x＞0)得f’(x)＞f’(0)=0(x＞0)，再由f’(x)＞0(x＞0)得f(x)＞f(0)=0(x＞0)，即ex-1＞(1+x)ln(1+x)．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+2f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=e2xf(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e2x[f’(x)+2f(x)]且e2x≠0，故f’(ξ)+2f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(f)dt-df(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．标准答案：不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，＜0，令φ(x)=e-xf(x)，则φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]．因为φ(a)＞0，＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ1∈使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，因为e-ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析17、设b＞a＞0，证明：标准答案：等价于b(lnb-lna)>b-a，令φ1(x)=x(lnx-lna)-(x-a)，φ1(a)=0，φ’1(x)=lnx-lna＞0(x＞a)．由得φ1(x)＞0(x＞a)，而b＞a，所以φ2(b)＞0，从而，同理可证知识点解析：暂无解析18、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0；f’’(x)=(x＞0)，由得f’(x)＞0(x＞0)；由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln2(1+x)(x＞0)．知识点解析：暂无解析19、证明：当0＜x＜1时，e-2x＞标准答案：e-2x＞等价于-2x＞ln(1-x)-ln(1+x)，令f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2x，则f(0)=0，f’(x)=(0＜x＜1)，由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故当0＜x＜1时，e-2x＞知识点解析：暂无解析20、设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．标准答案：f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=k，f(x)=+∞．由f’(x)=lnx+1=0，得驻点为x=，由f’’(x)=＞0，得x=为f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为(1)当k＞时，函数f(x)在(0，+oo)内没有零点；(2)当k=时，函数f(x)在(0，+∞)内有唯一零点x=(3)当0＜k＜时，函数f(x)在(0，+∞)内有两个零点，分别位于与内．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．标准答案：令则φ(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1)，由罗尔定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而故ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．知识点解析：暂无解析22、证明：当0＜x＜1，标准答案：等价于(1+x)ln(1+x)＞令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arcsinx，f(0)=0，f’(x)=ln(1+x)+arcsinx＞0(0＜x＜1)，由得当0＜x＜1时，f(x)＞0，故知识点解析：暂无解析23、求曲线的斜渐近线．标准答案：由得曲线的斜渐近线为y=2x-11．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ．标准答案：令φ(x)=f(x)sinx，则φ(0)=φ(π)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f’(ξ)=-f’(ξ)cotξ．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’’(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．标准答案：对任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间．因为f’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当x=x0，从而两式相加得由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且∫01f(t)dt=0证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．标准答案：令φ(x)=e-x∫0xf(t)dt，因为φ(0)=φ(1)=0，所以存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f(x)-∫0xf(t)dt]且e-x≠0，故f(ξ)=∫0ξf(t)dt．知识点解析：暂无解析考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、函数f(x)=x2-3x+k只有一个零点，则k的范围为()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＜1C、｜k｜＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：令f’(x)=3x2-3x=0，得x=±1，f’’(x)=6x，由f’’(-1)=-6＜0，得x=-1为函数的极大值点，极大值为f(-1)=2+k，由f’’(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=-2+k，因为f(x)=x3-3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或-2+k＞0，故｜k｜＞2，选C．2、设f(x)具有二阶连续可导，且，则()．A、x=1为f(x)的极大值点B、x=1为f(x)的极小值点C、(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点D、x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=2及f(x)二阶连续可导得f’’(1)=0，因为=2＞0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x-1｜＜δ时，＞0，从而故(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点，选C．3、设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)=0，f’’(x)＜0，则在(0，a]上()．A、单调增加B、单调减少C、恒等于零D、非单调函数标准答案：B知识点解析：令h(x)=xf’(x)-f(x)，h(0)=0，h’(x)=xf’’(x)＜0(0＜x≤a)，由得h(x)＜0(0＜x≤a)，于是＜0(0＜x≤a)，故在(0，a]上为单调减函数，选B．4、设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设，而f(x)在x=0处不可导，A不对；即存在只能保证f(x)在x=0处右可导，故B不对；因为，所以h-tanh～h3，于是存在不能保证f(x)在x=0处可导，故D不对；所以选C．5、设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值-2，则()．A、a=1，b=2B、a=-1，b=-2C、a=0，b=-3D、a=0，b=3标准答案：C知识点解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值-2，所以解得a=0，b=-3，选C．6、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(-δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(x)标准答案：D知识点解析：因为f’(0)=＞0，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，当x∈(-δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，选D．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设f(x)=ln(1+x)，当x＞0时，由拉格朗日中值定理，f(x)=f’(θx)x(0＜θ＜1)，则=______.标准答案：知识点解析：f’(x)=，由f(x)=f’(θx)x得ln(1+x)=解得故8、=_____.标准答案：知识点解析：由cosx=+o(x2)，xcosx=x-+o(x3)，sinx=x-+o(x3)=x-+o(x3)得xcosx-sinx=+o(x3)～故9、∫0xsin2xtdt=______．标准答案：知识点解析：由∫01sin2xtdt=∫01sin2xtd(xt)=得10、设可导，则a=______，b=_______．标准答案：3；-2知识点解析：f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1．又因为f’-(1)==a，f’+(1)==3，且f(x)在x=1处可导，所以a=3．故a=3，b=-2．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)11、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[1，2]上连续，所以f(x)在[1，2]上取到最小值m和最大值M，又因为m≤≤M，所以由介值定理，存在c∈[1，2]，使得f(c)=，即f(1)+2f(2)=3f(c)，因为f(0)=f(c)，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，2)，使得f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析12、设f(x)二阶可导，且，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．标准答案：由得f(0)=1，f’(0)=0，f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．令φ(x)=x2f’(x)φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2xf’(x)+x2f’’(x)，于是2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)-0，再由ξ≠0得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析13、求极限标准答案：由得sinx-sin(sinx)～x3，于是知识点解析：暂无解析14、求曲线y=f(x)=的渐近线．标准答案：由f(x)=∞得曲线无水平渐近线；由f(x)=∞得x=-1为铅直渐近线；由得x=1不是铅直渐近线；由得斜渐近线为y=x+1．知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．标准答案：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)=1．因为f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，3)c(0，3)，使得f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.知识点解析：由∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)=0，得∫0xf(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而(x-∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt)’=0，辅助函数为φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt．17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且d(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，6)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．标准答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ’’(x)＞0(x＞a)．由得φ’(x)＞0(x＞a)；再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．知识点解析：暂无解析19、设PQ为抛物线y=的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．标准答案：令，因为y=关于y轴对称，不妨设a＞0．y’(a)=，过P点的法线方程为设，因为点Q在法线上，所以(b-a)，解得b=-a-PQ的长度的平方为L(a)=(b-a)2+由L’(a)=为唯一驻点，从而为最小值点，故PQ长度的最小值为知识点解析：暂无解析20、证明：方程在(0，+∞)内有且仅有两个根．标准答案：∫0π，令f(x)=lnx-，令f’(x)==0，得x=e，因为f’’(e)=，所以f(e)=＞0为f(x)的最大值，又因为f(x)=-∞，f(x)=∞，所以f(x)0在(0，+∞)内有且仅有两个实根．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)；(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．标准答案：(1)令φ(x)=e-x2f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x2[f’(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知识点解析：暂无解析22、证明：当x＞0时，arctanx+标准答案：令f(x)=arctanx+因为f’(x)=＜0(x＞0)，所以f(x)在(0，+∞)内单调递减，又因为，所以f(x)＞，即arctanx+知识点解析：暂无解析23、求曲线的上凸区间．标准答案：由y’’＜0得(x-3)2-1＜0，解得2＜x＜4，故曲线y=的上凸区间为(2，4)．知识点解析：暂无解析24、设0＜a＜1，证明：方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．标准答案：令f(x)=arctanx-ax，由f’(x)=-a=0得x=由f’’(x)=为f(x)的最大值点，由f(x)=-∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有唯一实根，位于内．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f’(η)ln2.标准答案：(1)令h(x)=lnx，F(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得(2)由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f’(η)(ξ-1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=e(ξ-1)f’(η)ln2知识点解析：暂无解析考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、曲线的渐近线有()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：由f(x)=-∞得x=0为铅直渐近线；由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→-2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选B．2、设f(x)连续，且，则()．A、f(x)在x=0处不可导B、f(x)在x=0处可导且f’(0)≠0C、f(x)在x=0处取极小值D、f(x)在x=0处取极大值标准答案：D知识点解析：由得f(0)=1，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜z｜＜δ时，＜0，即f(x)＜1=f(0)，故x=0为f(x)的极大值点，选D．3、设f’’(x)连续，f’(0)=0，，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：由=1及f’’(x)的连续性，得f’’(0)=0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，从而f’’(x)＞0，于是f’(x)在(-δ，δ)内单调增加，再由f’(0)=0，得：当x∈(-δ，0)时，f’(x)＜0，当x∈(0，δ)时，f’(x)＞0，所以x=0为f(x)的极小值点，选B．4、若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且，则下列正确的是()．A、x=0是f(x)的零点B、(0，f(0))是y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极大值点D、x=0是f(x)的极小值点标准答案：D知识点解析：由=1得f’(0)=0，由=f’’(0)得x=0为极小值点，选D．5、设f’(x0)=f’’(x0)=0，f’’’(x0)＞0，则下列正确的是()．A、f’(x0)是f’(x)的极大值B、f(x0)是f(x)的极大值C、f(x0)是f(x)的极小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：因为f’’(x0)＞0，所以存在δ＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ时，从而当x∈(x0-δ，x0)时，f’’(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f’’(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，选D．6、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：由=2得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x＜δ时，＞0，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，选D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、函数f(x)=x2-3x+4在[1，2]上满足罗尔定理条件的ξ=_________．标准答案：知识点解析：f(x)∈C[-1，2]，f(x)在(1，2)内可导，且f(1)=f(2)=2，显然f(x)在[1，2]上满足罗尔定理的条件，则存在ξ∈(1，2)，使得f’(ξ)=0，而f’(x)=2x-3，由f’(ξ)=0得ξ=8、函数y=e-x2的拐点为_________，凸区间为_______．标准答案：知识点解析：y’=-2xe-x2，y’’=(4x2-2)e-x2，令y’’=(4x2-2)e-x2=0得x=当x＜时，y’’＞0；当时，y’’＜0；当x＞时，y’’＞0，故点皆为曲线y=e-x2的拐点，曲线y=e-x2的凸区间为9、曲线的斜渐近线为______．标准答案：y=2x-6知识点解析：所求曲线的斜渐近线为y=2x-6．10、设函数y-y(x)由e2x+y-cos(xy)=e-1确定，则曲线y=y(x)在x=0处的法线方程为_______．标准答案：y=x+1知识点解析：当x=0时，y=1．对e2x+y-cos(xy)=e-1两边关于x求导得将x=0，y=1代入上式得=-2．故所求法线方程为y-1=(x-0)，即y=x+1．11、设f(x)在x=a处可导，则=_______.标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)12、设f(x)二阶可导，f(1)=0，令φ(x)=x2f(x)，证明：存在ξ∈(0，1)，使得φ’’(ξ)=0．标准答案：φ(0)=φ(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，1)，使得φ’(ξ1)=0，而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，φ’(0)=φ’(ξ1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，ξ1)(0，1)，使得φ’’(ξ)=0知识点解析：暂无解析13、设f(x)在上连续，在内可导，证明：存在ξ，η∈，使得标准答案：令g(x)=cosx，g’(x)=-sinx≠0(0＜x＜)，由柯西中值定理，存在η∈，使得由拉格朗日中值定理，存在故知识点解析：暂无解析14、设当x＞0时，方程kx+=1有且仅有一个根，求k的取值范围．标准答案：令f(x)=kx+-1，f’(x)=k-(1)当k≤0时，由f’(x)＜0得f(x)在(0，+∞)内单调减少，再由f(0+0)=+∞，f(x)＜0得k≤0时，f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点，即方程kx+=1在(0，+∞)内有且仅有一个根；(2)当k＞0时，令f’(x)=0，解得x=因为f’’(x)=＞0，所以x=为f(x)的最小值点，令最小值m==0，解得k=或k≤0时，方程kx+=1在(0，+∞)内有且仅有一个根．知识点解析：暂无解析15、设验证f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求(0，2)内使f(2)-f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．标准答案：由f(1-0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1处连续，从而f(x)在[0，2]上连续．由f’-(1)==-1．f’+(1)==-1得f(x)在x=1处可导且f’(1)=-1，从而f(x)在(0，2)内可导，故f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件．f(2)-f(0)==-1．当x∈(0，1)时，f’(x)=-x；当x＞1时，f’(x)=即当0＜ξ≤1时，由f(2)-f(0)=2f’(ξ)得-1=-2ξ，解得ξ=当1＜ξ＜2时，由f(2)-f(0)=2f’(ξ)得-1=，解得ξ=知识点解析：暂无解析16、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：令F(x)=f(3c)g(6)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)，所以知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：令F(x)=x2，F’(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由微分中值定理，存在ξ∈(a，