考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共110题）

考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共4套）（共110题）考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0,且,则（）。A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、（0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，（0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：得f"(0)=2＞0,故f(0)为f(x)的极小值，选B.2、f(x)在x0可导，则|f(x)|在x0处（）.A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，选C.3、下列命题成立的是（）。A、若f(x)在x0处连续，则存在δ﹥0，使得f(x)在|x-x0|＜δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ﹥0，使得f(x)在|x-x0|＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0,因为不存在，所以f(x)在x0处不连续，A不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0不可导，B不对；4、下列说法正确的是（）.A、f（x)在（a,b)内可导，若=∞,则=∞B、f（x)在（a,b)内可导，若=∞,则=∞C、f(x)在（-∞，+∞）内可导，若=∞,则=∞D、f(x)在（-∞，+∞）内可导，若,则=∞标准答案：D知识点解析：5、设f(x）二阶连续可导，且,则（）。A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、（0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且,即f"(0)=0,又，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，有，即当x∈(-δ,0)时，f"(x)＞0,当x∈(0,δ)时，f"(x)＜0,所以（0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选C.6、设k﹥0,则函数f(x)=lnx-+k的零点个数为（）。A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f’(x)==0得x=e,当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0,由驻点的唯一性可知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0,又,于是f(x)在（0，+∞）内有且仅有两个零点，选C。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、设f(x)二阶连续可导，且,f"(0)=4,则=_________.标准答案：e2知识点解析：8、若f(x)=2nx(1-x)n,记Mn==________.标准答案：知识点解析：9、设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’≠1,则=________.标准答案：知识点解析：方程xef(y)=ey两边对x求导，得ef(y)+xef(y)f’（y),解得.10、设f(x)=在x=1处可微，则a=____,b=_____.标准答案：a=2,b=-1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b,即a+b=1.由f(x)在x=1处可微得a=2,所以b=-1.11、曲线的斜渐近线为____________.标准答案：y=2x-4知识点解析：三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)12、求曲线x3-3xy+y3=3上纵坐标最大和最小的点。标准答案：x3-3xy+y3=3两边对x求导得3x2-3y-,得y=x2,代入x3-3xy+y3=3得x=-1或x=,x=-1时，y=1；x=.所以，曲线上纵坐标最大的点是,最小的点是（-1，1）。知识点解析：暂无解析13、设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，,求曲线y=f(x)在点（0，f(0))处的曲率。标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)∈C（a,b)，在（a,b)内可导，f(a)=f(b)=1.证明：存在ε，η∈（a,b),使得2e2ε-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)].标准答案：令Φ（x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈（a,b),使得即2e2ε=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)],或2e2ε-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)].知识点解析：暂无解析设f(x)在（-1,1）内二阶连续可导，且f"(x)≠0,证明：15、对（-1,1）内任一点x≠0,存在唯一的θ（x)∈(0,1)，使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].标准答案：对任意x∈(-1,1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0＜θ（x)＜1.因为f"(x)∈C(-1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在（-1,1）内保号，不妨设f"(x)＞0,则f’(x)在（-1,1）内单调增加，又由于x≠0,所以θ（x)是唯一的。知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、f(x)在[-1,1]上三阶连续可导，且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明：存在ε∈（-1,1）,使得f"’(ε)=3.标准答案：两式相减得f"’(ε1)+f(ε2)=6因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导，所以f"’(x)在[ε1,ε2]上连续，由连续函数最值定理，f"’(x)在[ε1,ε2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"’(ε1))+f"’(ε2)≤2M，即m≤3≤M.由闭区间上连续函数介值定理，存在ε∈[ε1,ε2](-1,1),使得f"’(ε)=3.知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M﹥0).证明：对此邻域内任一异于x0的点，有.其中x’为x关于x0的对称点。标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a,b]上连续，且f"(x)﹥0,对任意的x1,x2∈[a,b]及0﹤λ﹤1，证明：f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).标准答案：令x0=λx1+(1-λ)x2,则x0∈[a,b]，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+,其中ε介于x0与x之间，因为f"(x)＞0,所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0),于是两式相加，得f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).知识点解析：暂无解析20、证明：当x﹥0时，（x2-1)lnx≥(x-1)2标准答案：令Φ(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2,Φ(1)=0,Φ’(x)=2xlnx-x+2-,Φ’(1)=0,Φ"(x)=2lnx+1+,Φ"(1)=2＞0.Φ"’(x)=故x=1为Φ（x)的极小值点，也为最小值点，而最小值Φ（1）=0，所以x＞0时，Φ（x)≥0,即（x2-1)lnx≥(x-1)2.知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0.证明：方程f"(x)-f(x)=0在（0,1）内有根。标准答案：令Φ(x)=e-x[f(x)+f’(x)],因为Φ（0）=Φ（1）=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0,1),使得Φ’(c)=0,而Φ’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，所以方程f"(c)-f(c)=0在（0,1）内有根。知识点解析：暂无解析22、设k为常数，方程kx-+1=0在（0，+∞）内恰有一根，求k的取值范围。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0,2]上三阶连续可导，且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=,证明：存在ε∈（0,2），使得f"’(ε)=2.标准答案：方法一：先作一个函数P（x)=ax3+bx2+cx+d,使得P(0)=f(0)=1,P’(1)=f’(1)=0,P(2)=f(2)=5/3,P（1）=f(1).则令g(x)=f(x)-P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c1∈(0,1),c2∈(1,2),使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0,又存在d1∈(c1,1),d2∈(1,c2),使得g"(d1)=g"(d2)=0,再由罗尔定理，存在ε∈（d1，d2）(0,2)，使得g"’(ε)=0,而g"’（x)=f"’(x)-2,所以f"’(ε)=2.方法二：知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ε∈（0,1）,使得.标准答案：令Φ（x)=(x-1)2f’(x)，显然Φ（x)在[0,1]上可导，由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理，存在c∈(0,1),使得f’(c)=0,再由Φ（c)=Φ(1)=0,根据罗尔定理，存在ε∈（c,1)(0,1),使得Φ’(ε)=0,而Φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)2f"(x),所以2（ε-1）f’(ε)+(ε-1)2f"(ε)=0,整理得.知识点解析：暂无解析25、设f（x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0﹤θ﹤1).证明：.标准答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+,其中ε介于x与x+h之间，由已知条件得f’(x+θh)h=f’(x)h+,或f’(x+θh)-f’(x)=,两边同时除以h,得,知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)在x=a处二阶可导，则等于（）。A、-f"(a)B、f"(a)C、2f"(a)D、标准答案：D知识点解析：2、f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是（）.A、f(x),g(x)在x0处都可导B、f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C、f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D、f(x),g(x)在x0处都可能不可导标准答案：D知识点解析：令显然f(x),g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)=-1在任何一点都可导，选D。3、设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’-(a)都存在，则（）.A、f(x)在x=a处不连续B、f(x)在x=a处连续C、f(x)在x=a处可导D、f(x)在x=a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f’+(a)存在，所以存在，于是,即f(x)在x=a处右连续，同理由f’-(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选B。4、设f(x)可导，则下列说法正确的是（）。A、若=+∞,则=+∞B、若=-∞,则=-∞C、若=+∞,则=+∞D、若=-∞,则=-∞标准答案：C知识点解析：令f(x)=x,显然,A不对，同理,是当x≥X0时，f(x)-f(X0)=f’(ε)(x-X0),其中ε∈（X0，x)，即f(x)≥f(X0)+M(x-X0)，根据极限的保号性，有,选C。5、设f(x)连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且g(0)=1,f’(x)=-sin2x+,则（）。A、x=0为f(x)的极大值点B、x=0为f(x)的极小值点C、（0，f(0))是y=f(x)的拐点D、x=0非极值点，（0，f(0))非y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：所以x=0为f(x)的极大值点，应选A.6、设f(x)在[a,+∞)上二阶可导，f(a)＜0,f’(a)=0,且f"(x)≥k(k﹥0),则f(x)在（a,+∞)内的零点个数为（）。A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0,且f"(x)≥k(k＞0),所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(x-a)2≥f(a)+(x-a)2,其中ε介于a与x之间，而,故，再由f(a)＜0得f(x)在（a,+∞)内至少有一个零点，又因为f’(a)=0,且f"(x)≥k(k≥0),所以f’(x)＞0(x＞a),即f(x)在[a,+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选B.二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、设函数y=满足f’(x)=arctan,则=________.标准答案：知识点解析：8、设f(x)满足f(x）=f(x+2),f(0)=0,又在（-1,1）内f’(x)=|x|,则=_______.标准答案：知识点解析：9、设=________.标准答案：知识点解析：10、设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为________.标准答案：知识点解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0.(1)当t=-1时，由11、设f(x,y)可微，f(1,2)=2,f’x(1,2)=4,Φ（x)=f[x,f(x,2x)],则Φ’（1）=______.标准答案：47知识点解析：因为Φ’(x)=f’x[x,f(x,2x)]+f’(y)[x,f(x,2x)]×[f’x(x,2x)+2f’y(x,2x)],所以Φ’（1）=f’x[1,f(1,2)]+f’y[1,f(1,2)]×[f’x(1,2)]+2f’y(1,2)]=3+4×(3+8)=47.三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、设x=x(t)由确定，求.标准答案：知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)在x=1处的某邻域内有定义，且满足|f(x)-2ex|≤(x-1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性。标准答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e,当x≠1时，不等式两边同时除以|x-1|,得知识点解析：暂无解析设f（x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，f(0)=0,,f(1)=0.证明：14、存在η∈,使得f(η)=η.标准答案：令Φ(x)=f(x)-x,Φ(x)在[0,1]上连续，Φ,Φ(1)=-1＜0,由零点定理，存在η∈,使得Φ（η）=0，即f(η)=η.知识点解析：暂无解析15、对任意的k∈(-∞,+∞)，存在ε∈（0，η）,使得f’(ε)-k[f(ε)-ε]=1.标准答案：设F（x)=e-kxΦ(x)，显然F（x)在[0,η]上连续，在（0，η）内可导，且F（0）=F(η)=0，由罗尔定理，存在ε∈（0，η），使得F’(ε)=0，整理得f’(ε)-k[f(ε)-ε]=1.知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0,1]上可导，f(0)=0,|f’(x)|≤.证明：f(x)=0,x∈[0,1].标准答案：因为f(x)在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，从而|f(x)|在[0,1]上连续，故|f(x)|在[0,1]上取到最大值M,即存在x0∈[0,1]，使得|f(x0)|=M,当x0=0时，则M=0，所以f(x)=0,x∈[0,1]；当x0≠0时，M=|f(x0)|=|f(x0)-f(0)|=|f’(ε)|x0≤|f’(ε)|≤,其中ε∈(0,x0),故M=0，于是f(x)=0,x∈[0,1].知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明：|f’(x)|≤.标准答案：由泰勒公式得知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f’（a)=f’(b)=0,证明：存在ε∈（a,b)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a,b]上连续，f(0)=0,且f"(x)﹥0.证明：对任意的a﹥0,b﹥0,有f(a+b)﹥f(a)+f(b).标准答案：不妨设a≤b,由微分中值定理，存在ε1∈（0，a),ε2∈（b，a+b),使得两式相减得f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε2)-f’(ε1)]a.因为f"(x)＞0,所以f’(x)单调增加，而ε1＜ε2，所以f’(ε1)＜f’(ε2),故f(a+b)-f(a)-f(b)=[f’(ε2)-f’(ε1)]a＞0,即f(a+b)＞f（a)+f(b).知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f"(x)﹥0,取xi∈[a,b](i=1,2,...,n)及ki﹥0,(i=1,2,...,n)且满足k1+k2+...+kn=1.证明：f(k1x1+k2x2+...+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn).标准答案：令x0=k1x1+k2x2+...+knxn,显然x0∈[a,b],因为f"(x)＞0,所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0),分别取x=xi(i=1,2,...n),得知识点解析：暂无解析21、求由方程x2+y3-xy=0确定的函数在x﹥0内的极值，并指出是极大值还是极小值。标准答案：知识点解析：暂无解析设fn(x)=x+x2+...+xn(n≥1).22、证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.标准答案：令Φn(x)=fn(x)-1,因为Φn(0)=-1＜0，Φn(1)=n-1＞0，所以Φn(x)在（0,1）(0,+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在（0，+∞）内有一个根。因为Φ’n(x)=1+2x+...+nxn-1＞0,所以方程Φn(x)在（0，+∞）内单调增加，所以Φn(x)在（0，+∞）内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在（0，+∞）内有唯一正根，极为xn.知识点解析：暂无解析23、.标准答案：由fn(xn)-fn+1(xn+1)=0得知识点解析：暂无解析24、就k的不同取值情况，确定方程x3-3x+k=0的根的个数。标准答案：令f(x)=x3-3x+k,由f’(x)=3x2-3=0,得驻点为x1=-1,x2=1.f"(x)=6x,由f"(-1)=-6,f"(-1)=-6,f"(1)=6,得x1=-1,x2=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(-1)=2+k,f(1)=k-2.(1)当k＜-2时，方程只有一个根；（2）当k=-2时，方程有两个根，其中一个为x=-1,另一个位于（1，+∞）内；（3）当-2＜k＜2时，方程有三个根，分别位于（-∞，-1）（-1,1）（1，+∞）内；（4）当k=2时，方程有两个根，一个位于（-∞，-1）内，另一个为x=1；（5）当k＞2时，方程只有一个根。知识点解析：暂无解析设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1.25、确定常数a,使得f(x)在x=0处连续。标准答案：知识点解析：暂无解析26、求f’(x).标准答案：知识点解析：暂无解析27、讨论f’(x)在x=0处的连续性。标准答案：知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且.证明：存在ε∈（a,b),使得f’(ε)=0.标准答案：不妨设f’+(a)＞0,f’-(b)＜0,根据极限的保号性，由f’+(a)＞0=,则存在δ＞0（δ＜b-a),当0＜x-a＜δ时，,即f(x)＞f(a),所以存在x1∈(a,b),使得f(x1)＞f(a).同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a,b)，使得f(x2)＞f(b).因为f(x)在[a,b]上连续，且f(x1)＞f(a),f(x2)＞f(b),所以f(x)的最大值在（a,b)内取到，即存在ε∈（a,b)，使得f(ε)为f(x)在[a,b]上的最大值，故f’(ε)=0.知识点解析：暂无解析29、设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且.证明：f’(x0)=M.标准答案：由微分中值定理得f(x)-f(x0)=f’(ε)(x-x0),其中ε介于x0与x之间，知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设ε为f(x)=arctanx在[0,a]上使用微分中值定理的中值，则为（）。A、1B、1/2C、1/3D、1/4标准答案：C知识点解析：2、设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处（）。A、一定可导B、一定不可导C、不一定连续D、连续标准答案：D知识点解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以存在，于是，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选D.3、设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4,f’(2)=,f’(4)=6,则g’(4)等于（）.A、1/4B、C、1/6D、4标准答案：B知识点解析：因为g’(4)=,所以选B。4、函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是（）.A、存在B、存在C、存在D、存在标准答案：D知识点解析：5、设f(x)二阶连续可导，,则（）。A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、（2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，（2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：6、下列说法正确的是（）。A、设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a,b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在[a,b]上的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(x)在（a,b）内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：不存在，所以A不对；若最大值在端点取到，则不是极大值，所以B也不对，C显然不对，所以选D.7、设函数f(x)在（-∞，+∞）内连续，其导数的图形如图所示，则f(x)有（）。A、两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B、两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C、三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D、两个极大值点，三个极小值点，两个拐点标准答案：C知识点解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为（x1,0)（x2,0),其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为（x3,0)（x4,0)，其中x3＜x4.当x＜x1时，f’(x)＞0,当x∈(x1,x2)时，f’(x)＜0,则x=x1为f(x)的极大点值；当x∈(x2,0)时，f’(x)＞0,则x=x2为f(x)的极小值点；当x∈(0,x3)时，f’(x)＜0,则x=0为f(x)的极大值点；当x∈(x3,x4)时，f’(x)＞0,则x=x3为f(x)的极小值点；当x＞x4时，f’(x)＜0,则x=x4为f(x)的极大值点，即f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又f"(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性，可得y=f(x)有两个拐点，选C.二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点（-1,1）处相切，则a=_____,b=_____.标准答案：a=3,b=3知识点解析：因为两曲线过点（-1,1），所以b-a=0,又由y=x2+ax+b得=a-2,再由-2y=-1+xy3得,且两曲线在点（-1,1）处相切，则a-2=1,解得a=b=3.9、设f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1,f"(0)=2且f"(x)在x=0的邻域内连续，则=_________.标准答案：1知识点解析：因为f(x)是偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0,又因为f"(x)在x=0的邻域内连续，所以f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+o(x2)=1+x2+o(x2),于是.10、设=_______.标准答案：0知识点解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1,得y=0.11、设确定函数y=y(x),则=_______.标准答案：知识点解析：12、设f(x)在（-∞，+∞）上可导，,则a=_______.标准答案：1知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)13、设f(x)连续，Φ（x)=.求Φ’（x),并讨论Φ’(x)在x=0处的连续性。标准答案：知识点解析：暂无解析14、设且f"(0)存在，求a,b,c。标准答案：因为f(x)在x=0处连续，所以c=0，即f(x)=知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2）内二阶可导，且,又f(2)=,证明：存在ε∈（0,2），使得f’(ε)+f"(ε)=0.标准答案：由罗尔定理，存在x0∈(c,2)(1,2),使得f’（x0）=0.令Φ（x)=exf’(x),则Φ（1）=Φ（x0)=0,由罗尔定理，存在ε∈（1，x0)(0,2),使得Φ’(ε)=0,而Φ’(x)=ex[f’(x)+f"(x)]且ex≠0,所以f’(ε)+f"(ε)=0.知识点解析：暂无解析16、一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离适用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4.标准答案：设运动规律为S=S(t),显然S(0)=0，S’(0)=0，S（1）=1，S’(1)=0.由泰勒公式知识点解析：暂无解析设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c为（0,1）内任一点。17、写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式。标准答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+,其中ε介于c与x之间。知识点解析：暂无解析18、证明：|f’(c)|≤.标准答案：分别令x=0,x=1得知识点解析：暂无解析19、设f（x)在[a,b]上连续，在（a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且.证明：存在ε∈（a,b)，使得f"(ε)﹤0.标准答案：因为，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有,从而f(x)＞f(a),于是存在c∈(a,b),使得f(c)＞f(a)=0.由微分中值定理，存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ε∈（ε1，ε2）(a,b)，使得知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0,+∞)内可导且f(0)=1,f’(x)﹤f(x)(x﹥0).证明：f(x)﹤ex(x﹥0).标准答案：令Φ(x)=e-xf(x),则Φ（x)在[0,+∞)内可导，又Φ（0）=1，Φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]＜0(x＞0),所以当x＞0时，Φ（x)＜Φ(0)=1,所以有f(x)＜ex(x＞0).知识点解析：暂无解析21、设0﹤a﹤b，证明：.标准答案：所以令f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a),f(a)=0f’(x)=2x(lnx-lna)+x+-2a=2x(lnx-lna)+＞0(x＞a).由得f(x)＞0(x＞a)，因为b＞a,所以f(b)＞f(a)=0,即.知识点解析：暂无解析22、设f（x)在[0,+∞)内二阶可导，f(0)=-2,f’(0)=1,f"(x)≥0.证明：f(x)=0在（0，+∞）内有且仅有一个根.标准答案：因为f"(x)≥0,所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)=1.因为x＞0时，f(x)-f(0)=f’(ε)x,从而f(x)≥f(0)+x,因为,所以.由f(x)在[0,+∞)上连续且f(0)=-2＜0,,则f(x)=0在（0，+∞）内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0,得到方程的根是唯一的。知识点解析：暂无解析23、设a﹥0,讨论方程aex=x2根的个数。标准答案：aex=x2等价于x2e-x-a=0.令f(x)=x2e-x-a,由f’(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0,x=2.当x＜0时，f’(x)＜0；当0＜x＜2时，f’（x)＞0；当x＞2时，f’(x)＜0,于是x=0为极小值点，极小值为f(0)=-a＜0；x=2为极大值点，极大值为f(2)=知识点解析：暂无解析24、设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0,f"(x)﹥0,过曲线y=f(x)上任一点（x,f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求.标准答案：曲线y=f(x)在点（x,f(x))处的切线方程为Y-f（x)=f’(x)(X-x),知识点解析：暂无解析25、设函数y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0,且与x=Φ(y)互为反函数，求Φ"(y).标准答案：因为函数的一阶导数与其反函数一阶导数互为倒数，所以知识点解析：暂无解析设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,.证明：26、存在c∈(a,b),使得f(c)=0.标准答案：令,则F(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且F’（x)=f(x),故存在c∈(a,b),使得=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即f(c)=0.知识点解析：暂无解析27、存在εi∈(a,b)（i=1,2），且ε1≠ε2,使得f’(εi)+f(εi)=0,(i=1,2).标准答案：令h(x)=exf(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理，存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得h’(ε1)=h’(ε2)=0,而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0,所以f’(εi)+f(εi)=0(i=1,2).知识点解析：暂无解析28、存在ε∈(a,b),使得f"(ε)=f(ε).标准答案：令Φ（x)=e-x[f’(x)+f(x)],Φ(ε1)=Φ(ε2)=0,由罗尔定理，存在ε∈(ε1，ε2)(a,b),使得Φ’(ε)=0,而Φ’（x）=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f"(ε)=f(ε).知识点解析：暂无解析29、存在η∈（a,b)，使得f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.标准答案：令g(x)=e-xf(x),g(a)=g(c)=g(b)=0,由罗尔定理，存在η1∈(a,c),η2∈(c,b),使得g’(η1)=g’(η2)=0,而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f’(η1)-f(η1)=0,f’(η2)-f(η2)=0,令Φ（x)=e-2x[f’(x)-f(x)],Φ(η1)=Φ(η2)=0,由罗尔定理，存在η∈（η1，η2）(a,b),使得Φ’(η)=0,而Φ’(x)=e-2x[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0,所以f"(η)-3f’(η)+2f(η)=0.知识点解析：暂无解析30、求的最大项。标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0,则|f(x)|在x=a处（）。A、可导B、不可导C、不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：不妨设f(a)＞0,因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是存在δ＞0，当|x-a|＜δ时，有f(x)＞0,于是=f’(a),即|f(x)|在x=a处可导，同理当f(a)＜0时，|f(x)|在x=a处也可导，选A.2、设f(x）连续可导，g(x)连续，且,则（）.A、x=0为f(x)的极大值点B、x=0为f(x)的极小值点C、（0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0既不是f(x)的极值点，（0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：即当x∈(-δ,0)时，f"(x)＞0；当x∈(0,δ)时，f"(x)＜0,故（0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选C。3、设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f"(x)﹥0,则当x﹥0时有（）。A、f"(x)＜0,f’(x)＜0B、f"(x)﹥0,f’(x)﹥0C、f"(x)﹥0,f’(x)＜0D、f"(x)＜0,f’(x)﹥0标准答案：A知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(-x)=-f(x),f’(-x)=f’(x),f"(-x)=-f"(x),即f’(x)为偶函数，f"（x)为奇函数，故由x＜0时有f"(x)＞0,f’(x)＜0,得当x＞0时有f"(x)＜0,f’(x)＜0,选A。4、f(x)=则f(x)在x=0处（）.A、不连续B、连续不可导C、可导但f’(x)在x=0处不连续D、可导且f’(x)在x=0处连续标准答案：D知识点解析：5、下列说法中正确的是（）.A、若f’(x)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少B、若f(x)在x0取极大值，则当x∈(0,-δ,δ)时，f(x)单调增加，当x∈(0,0+δ)时，f(x)单调减少C、f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D、f(x)为偶函数，f"(0)≠0,则f(x)在x=0处一定取到极值标准答案：D知识点解析：不对，由f"(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f’(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选D.6、设函数f(x)二阶连续可导且满足关系f"(x）+f’2(x)=x,且f’（0）=0,则（）。A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、（0，f(0))是y=f(x)的拐点D、（0，f(0))不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0得f"(0)=0,f"’(x)=1-2f’(x)f"(x），f"’(0)=1>0,由极限保号性存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，f"’(x)＞0,再由f"(0)=0得故（0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C.7、曲线的渐近线的条数为（）。A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设f(x)=,则f’(x)=________.标准答案：2x(1+4x)e8x知识点解析：得到f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x.9、设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f’(1)=-2,则=_______.标准答案：1知识点解析：10、设f(x)在x=a的邻域内二阶可导且f’(a)≠0,则=_________.标准答案：知识点解析：11、设y=y(x)由yexy+xcosx-1=0确定，则dy|x=0=________.标准答案：-2dx知识点解析：当x=0时，y=1,将yexy+xcosx-1=0两边对x求导得12、设F（x)=,其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2,则f’(0)=________.标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)13、x=Φ(y)是y=f(x)的反函数，f(x)可导，且f’(x)=,f(0)=3,求Φ"(3).标准答案：知识点解析：暂无解析14、设y=.标准答案：当|x|＜1时，y’=；当x＞1时，y’=1；当x＜-1时，y’=-1；得y在x=-1处不连续，故y’(-1)不存在；知识点解析：暂无解析15、设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且,证明：存在ε∈（0,1）,使得f"(ε)≥8.标准答案：因为f（x)在[0,1]上二阶可导，所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,,由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在（0,1）内达到，即存在c∈(0,1)，使得f(c)=-1,再由费马定理知f’(c)=0.根据泰勒公式，知识点解析：在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点展开。16、设f(x)在[a,b]上连续，在（a,,b)内二阶连续可导，证明：存在∈（a,b),使得.标准答案：因为f(x)在（a,b)内二阶可导，所以有知识点解析：暂无解析设f(x)在[-a,a]（a﹥0)上有四阶连续的导数，存在。17、写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。标准答案：由存在，得f(0)=0,f’(0)=0,f"(0)=0,则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为,其中ε介于0与x之间。知识点解