考研数学二（微分方程）模拟试卷1（共111题）

考研数学二（微分方程）模拟试卷1（共4套）（共111题）考研数学二（微分方程）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设y(x)是微分方程y"+(x-1)y’+x2=ex，满足初始条件y(0)=0,y’(0)=1的解，则().A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y"+(x-1)y’+x2y=ex,令x=0,则y"(0)=2,于是,选A。2、设Φ1(x),Φ2(x),Φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为（）。A、C1[Φ1(x)+Φ2(x)]+C2Φ3(x)B、C1[Φ1(x)-Φ2(x)]+C2Φ3(x)C、C1[Φ1(x)+Φ2(x)]+C2[Φ1(x)-Φ3(x)]D、C1Φ1(x)+C2Φ2(x)+C3Φ3(x),其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为Φ1(x),Φ2(x),Φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以Φ1(x)-Φ3(x)，Φ2(x)-Φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x）的通解为C1[Φ1(x)-Φ3(x)]+C2[Φ2(x)-Φ3(x)]+Φ3(x),即C1Φ1(x)+C2Φ2(x)+C3Φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D.二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)3、设y=y(x)满足,且有y(1)=1,则=________.标准答案：π/2知识点解析：[*]4、微分方程yy"-2y(y’)2=0的通解为________.标准答案：知识点解析：5、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分方程为________.标准答案：y"’-3y"+4y’-2y=0知识点解析：特征值为λ1=1,λ2,3=1±i,特征方程为（λ-1）（λ-1+i）（λ-1-i）=0，即λ3-3λ2+4λ-2=0，所求方程为y"’-3y"+4y’-2y=0。三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)6、设有微分方程y’-2y=Φ(x),其中,求在（-∞，+∞）内连续的函数y(x)，使其在（-∞，1）及（1，+∞）内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0.标准答案：当x＜1时，y’-2y=2的通解为y=C1e2x-1,由y(0)=0得C1=1,y=e2x-1；当x＞1时，y’-2y=0的通解为y=C2e2x,根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1,解得C1=1-e-2,y=(1-e-2)e2x,补充定义y(1)=e2-1,则得在（-∞,+∞)内连续且满足微分方程的函数为知识点解析：暂无解析7、设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-=-3x+2,求f（x).标准答案：则有f’(x)+2f(x)-3=-3x+2,因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0,带入上式得f(0)=1.将f’(x)+2f(x)-3=-3x+2两边对x求导得f"(x)+2f’(x)-3f(x)=-3,其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1,将初始条件带入得f(x)=1.知识点解析：暂无解析8、设且二阶连续可导，又,求f(x).标准答案：知识点解析：暂无解析设y=y(x)二阶可导，且y'≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。9、将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程。标准答案：代入原方程得y"-y=sinx.知识点解析：暂无解析10、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解。标准答案：特征方程为r2-1=0,特征根为r1,2=±1,因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx,代入方程得a=0,b=-1/2,故y*=,于是方程的通解为,由初始条件得，C1=1,C1=-1,满足初始条件的特解为.知识点解析：暂无解析设函数f(x)（x≥0)可微，且f(x)﹥0,将曲线y=f(x),x=1,x=a(a﹥1)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为.若f(1)=.11、求f(x).标准答案：知识点解析：暂无解析12、求f(x)的极值。标准答案：知识点解析：暂无解析13、位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点（0,2）,在该点处的切线水平，曲线上任一点（x,y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为,求y=y(x).标准答案：因为p(0)=0,所以C1=0,故y’=p=,进一步解得,因为y(0)=2,所以C2=0,故曲线方程为.知识点解析：暂无解析14、设曲线L1、L2皆过点（1,1），曲线L1在点（x,y）处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点（x,y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积。标准答案：对曲线L1,由题意得,解得y=x(2x+C1),因为L1过点（1,1），所以C1=-1，故L1：y=2x2-x.对曲线L2，由题意得,因为曲线L2过点（1,1）,所以C2=-1，故L2：y=2-,知识点解析：暂无解析15、用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解。标准答案：知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上点（x0,0)处发射一枚导弹向飞机飞去（x0﹥0），若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v.16、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件。标准答案：设t时刻导弹的位置为M（x,y)，根据题意得知识点解析：暂无解析17、导弹运行方程。标准答案：知识点解析：暂无解析18、某湖泊水量为V,每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为,流入湖泊内不含A的水量为,流出湖的水量为.设1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过,问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内（设湖中A的浓度是均匀的）？标准答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m,则浓度为,任取时间元素[t,t+dt],排入湖中污染物A的含量为,流出湖的污染物A的含量为,则在此时间元素内污染物A的改变量为,令m=m0,得t=6ln3,即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0.知识点解析：暂无解析19、某人的食量是2500卡/天（1卡=4.1868焦），其中1200卡/天用于基本的新陈代谢，在健身运动中，他所消耗的为16卡/千克/天乘以他的体重。假设以脂肪形式存储的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎么随时间变化。标准答案：输入率为2500卡/天，输出率为（1200+16w)，其中w为体重，根据题意得,w(0)=w0,知识点解析：暂无解析20、质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s,外力为39.2cm/s2,问运动开始1min后的速度是多少？标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数f（x)二阶连续可导，f(0)=1,且有,求f(x).标准答案：两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x,由λ2+3λ+2=0得到λ1=-1,λ2=-2,则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x.令f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x,代入得a=1,则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x.由f(0)=1,f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x.知识点解析：暂无解析22、设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从（x0,0)出发（x0<0),以始终指向A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程。标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则y(χ)dχ为()．A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln｜χ2－1｜＋lny－lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝故，因此选D．2、微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e－2χ的特解形式为()．A、(aχ＋b)e－2χB、aχ2e－2χC、(aχ2＋bχ)e－2χD、χ2(aχ＋b)e－2χ标准答案：C知识点解析：因为原方程的特征方程的两根分别为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e－2χ，选C．3、微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为()．A、(C1＋C2χ)e2χ－B、(C1＋C2)e－2χ－C、C1e－2χ＋C2e2χ－χD、C1e－2χ＋C2e2χ－标准答案：D知识点解析：微分方程y〞－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则方程y〞－4y＝0的通解为C1e－2χ＋C2e2χ，显然方程y〞－4y＝χ＋2有特解，选D．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)4、设连续函数f(χ)满足f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ，则f(χ)＝_______．标准答案：2e2χ－eχ知识点解析：∫02χf()dt＝2∫0χf(t)dt，则f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ可化为f(χ)＝2∫0χf(t)dt＋eχ，两边求导得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e∫－2dχdχ＋C]e－∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝Ce2χ－eχ，因为f(0)＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(χ)＝2e2χ－eχ．5、微分方程(2＋3)y〞－4y′的通解为_______．标准答案：y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2(C1，C2为任意常数)知识点解析：令y′－p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3)2＋lnC1，或y′＝C1(2χ＋3)2，于是y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2(C1，C2为任意常数)．6、微分方程yy〞＝1＋y′2化满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为_______．标准答案：ln｜y＋｜＝±χ知识点解析：令y′＝p，则yp＝1＋p2，即，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，则1＋p2＝C1y2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝±，ln｜y＋｜＋C2＝±χ，由y(0)＝1得C2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ．7、微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解为_______．标准答案：y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2知识点解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2．8、设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y＝e3χ，则y(χ)＝_______．标准答案：2χe3χ＋χ2e3χ知识点解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2，y〞－6y′＋9y＝e3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞－6y′＋9y＝e3χ的特解为y0(χ)＝aχ2e3χ，代入得a＝，故通解为y＝(C1＋C2χ)e3χ＋χ2e3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝0，C2＝2，则y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ．9、微分方程2y〞＝3y2满足初始条件y(－2)＝1，y′(－2)＝1的特解为_______．标准答案：χ＝－知识点解析：令y〞＝p，则y〞＝p，则原方程化为2p＝3y2，解得p2＝y3＋C1，由y(－2)＝1，y′(－2)＝1，得C1＝0，所以y′＝，从而有－2＝χ＋C2，再由y(－2)＝1，得C2＝0，所求特解为χ＝－．10、微分方程χy′＝＋y(χ＞>0)的通解为_______．标准答案：arcsin＝lnχ＋C(C为任意常数)知识点解析：由χy′＝＋y，得y′＝，令＝u，则u＋，解得arcsinu＝lnχ＋C，则原方程通解为arcsin＝lnχ＋C(C为任意常数)．11、设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e－4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．标准答案：－12χ2－34χ－19；y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2为任意常数)知识点解析：显然λ＝－4是特征方程λ2＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，即特征方程为λ2＋λ－12＝0，特征值为λ1＝－4，λ2＝3．因为χ2＋3χ＋2为特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一个特解，所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ2＋3χ＋2)＝12χ2－34χ－19，且通解为y＝C1e－4χ＋C2e3χ＋χ2＋3χ＋2(其中C1，C2为任意常数)．12、以y＝C1e－2χ＋C2eχ＋cosχ为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．标准答案：y〞＋y′－2y＝sinχ－3cosχ知识点解析：特征值为λ1＝－2，λ2＝1，特征方程为λ2＋λ－2＝0，设所求的微分方程为y〞＋y′－2y＝Q(χ)，把y－cosχ代入原方程，得Q(χ)＝－sinχ－3cosχ，所求微分方程为y〞＋y′－2y＝sinχ－3cosχ．13、设微分方程y〞－3y′＋ay＝－5e－χ的特解形式为Aχe－χ，则其通解为_______．标准答案：y＝C1e－χ＋C2e4χ＋χe－χ(C1，C2为任意常数)知识点解析：因为方程有特解Aχe－χ，所以－1为特征值，即(－1)2－3×(－1)＋a＝0a＝－4，所以特征方程为λ2－3λ－4＝0λ1＝－1，λ2＝4，齐次方程y〞－3y′＋ay＝0的通解为y＝C1e－χ＋C2e4χ，再把Aχe－χ代入原方程得A＝1，原方程的通解为y＝C1e－χ＋C2e4χ＋χe－χ(C1，C2为任意常数)．14、设f(χ)可导，且∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1，则f(χ)＝_______．标准答案：e－χ知识点解析：由∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt＝1得∫01f(χ)dt＋∫01f(χt)d(χt)＝1，整理得f(χ)＋∫0χf(u)du＝1，两边对χ求导得f′(χ)＋f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce－χ，因为f(0)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝e－χ．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)15、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝0的通解．标准答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ(C1，C2为任意常数)．知识点解析：暂无解析16、求微分方程y〞－y′＋2y＝0的通解．标准答案：特征方程为λ2－λ＋2＝0，特征值为λ1,2＝，则原方程的通解为y＝(C1，C2为任意常数)．知识点解析：暂无解析17、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1＝e2χ，y2＝2e－χ一3e2χ为特解，所以e2χ，e－χ也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1＝－1，λ2＝2，特征方程为(λ＋1)(λ－2)＝即λ2－λ－2＝0，所求的微分方程为y〞－y′－2y＝0．知识点解析：暂无解析18、求微分方程y〞＋2y′－3y＝(2χ＋1)eχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋2λ－3＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－3，则y〞＋2y′－3y＝0的通解为y＝C1eχ＋C2e－3χ．令原方程的特解为y0＝χ(aχ＋b)eχ，代入原方程得a＝，b＝，所以原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－3χ＋(2χ2＋χ)eχ(C1，C2为任意常数)．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y〞－2y′－e2χ＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．标准答案：原方程化为y〞－2y′＝e2χ．特征方程为λ2－2λ＝0，特征值为λ1＝0，λ2＝2，y〞－2y′＝0的通解为y＝C1＋C2e2χ．设方程y〞－2y′＝e2χ的特解为y0＝Aχe2χ，代入原方程得A＝，原方程的通解为y＝C1＋C2e2χ＋χe2χ．由y(0)＝1，y′(0)＝1得解得C1＝，C2＝，故所求的特解为y＝．知识点解析：暂无解析20、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ．(1)当a≠－2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(χ)＝Aeaχ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋e－2χ(C1，C2为任意常数)；(2)当a＝－2时，因为a＝－2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(χ)＝Aχ2e－2χ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋χ2e－2χ．知识点解析：暂无解析21、求微分方程y〞＋y＝χ2＋3＋cosχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1＝－i，λ2＝i，方程y〞＋y＝0的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ．对方程Y〞＋y＝χ2＋3，特解为y＝χ2＋1；对方程y〞＋y－cosχ，特解为χsinχ，原方程的特解为χ2＋1＋χsinχ，则原方程的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χ2＋1＋χsinχ(C1，C2为任意常数)．知识点解析：暂无解析22、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F＝ma＝，则有解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝得t＝ln3，从开始到t－ln3的时间内质点所经过的路程为S＝∫0ln3v0e－tdt＝v0．知识点解析：暂无解析23、设f(χ)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)与f(χ)的几何平均数，求f(χ)．标准答案：根据题意得，令a＝，则有∫0χf(t)dt＝aχ，两边求导得f(χ)＝，即f′(χ)＋，令z＝，则有，解得f(χ)＝(C≥0)．知识点解析：暂无解析24、设曲线L位于χOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点()，求L的方程．标准答案：设点M的坐标为(χ，y)，则切线MA：Y－y＝y′(X－χ)．令X＝0，则Y＝y－χy′，故A点的坐标为(0，y－χy′)．由｜MA｜＝｜OA｜，得｜y－χy′｜＝即2yy′－y2＝－χ，或者＝－χ，则y2＝＝χ(－χ＋C)，因为曲线经过点()，所以C＝3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为y＝(0＜χ＜3)．知识点解析：暂无解析25、在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(z，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．标准答案：设所求曲线为y＝y(χ)，该曲线在点P(χ，y)的法线方程为Y－y＝－(X－χ)(y′≠0)，令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为，由题意得，即yy〞＝1＋y′2．令y′＝p，则y＝p，则有yp＝1＋p2，或者，两边积分得y＝C1，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，所以y′＝±，变量分离得＝±dχ，两边积分得ln(y＋)＝±χ＋C1，由y(1)＝1得C2＝1，所以ln(y＋)＝±(χ－1)，即y＋，又y＋，所以y－两式相加得y＝＝ch(χ－1)．知识点解析：暂无解析26、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，则，于是有－kr＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小时雪堆可以全部融化．知识点解析：暂无解析27、设f(χ)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y＝0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(χ)．标准答案：由f′(χ)＝f(χ)＝a(χ－1)得f(χ)＝[a∫(χ－1)e∫－1dχdχ＋C]e－∫－dχ＝Ceχaχ，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝eχ－aχ．V(a)＝π∫01f2(χ)dχ＝，由V′(a)＝π(－2＋)＝0得a＝3，因为V〞(a)＝＞0，所以当a＝3时，旋转体的体积最小，故f(χ)＝eχ－3χ．知识点解析：暂无解析28、设f(χ)在(－1，＋∞)内连续且f(χ)－tf(t)dt＝1(χ＞－1)，求f(χ)．标准答案：由f(χ)＝－∫0χtf(t)dt＝1得(χ＋1)f(χ)－∫0χtf(t)dt＝χ＋1，两边求导得f(χ)＋(χ＋1)f′(χ)－χf(χ)＝1，整理得f′(χ)＋，解得f(χ)＝，由f(0)＝1得C＝3，故f(χ)＝．知识点解析：暂无解析29、求微分方程y′－2χy＝。的满足初始条件y(0)＝1的特解．标准答案：由一阶非齐线性微分通解公式得y＝，由Y(0)＝1得C＝1，故y＝(χ＋1)．知识点解析：暂无解析30、设位于第一象限的曲线y＝f(χ)上任一点P(χ，y)的切线在χ轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．标准答案：切线为Y－y＝y′(X－χ)，令Y＝0得X＝χ－；法线为Y－y＝－(X－χ)，令X＝0得Y＝y＋，由题意得，解得令u＝，代入得u＋，变量分离得，即积分得ln(u2＋1)＋arctanu－lnχ＋C，初始条件代入得C＝0，所求曲线为知识点解析：暂无解析31、求微分方程y〞＋y′2＝1满足y(0)＝y′(0)＝0的特解．标准答案：令y′＝p，则y〞＝p，代入得p＋p2＝1，整理得＝－2dy，积分得ln｜p2－1｜＝－2y＋lnC1，即p2－1＝Ce－2y，由初始条件得C＝－1，即，变量分离得＝±dχ，＝±dχ，积分得ln(ey＋)＝±χ＋C2，由初始条件得C2＝0，从而ey＋＝e±χ，解得y＝ln．知识点解析：暂无解析32、求微分方程y〞＋y′－2y＝(2χ＋1)eχ－2的通解．标准答案：特征方程为λ2＋λ－2＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－2，令y〞＋y′－2y＝(2χ＋1)eχ(1)y〞＋y′－2y＝－2(2)令(1)的特解为y1＝(aχ2＋bχ)eχ，代入(1)得a＝，b＝；显然(2)的一个特解为y2＝1，故原方程通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ＋()eχ＋1(C1，C2为任意常数)．知识点解析：暂无解析33、设f(χ)二阶连续可导，且f(χ)－4∫0χtf(χ－t)dt＝eχ，求f(χ)．标准答案：∫0χtf(χ－t)dtχ∫0χf(u)du－∫0χf(u)du，原方程两边求导得f′(χ)－4∫0χf(u)du＝eχ，再求导得f〞(χ)－4f(χ)＝eχ，解方程得f(χ)＝C1e－2χ＋C2e2χ－eχ，由f(0)＝1，f′(0)＝1得C1＝，C2＝1，故f(χ)＝e－2χ＋e2χ－eχ．知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为（）。A、（ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x标准答案：D知识点解析：方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0,特征值为λ1=-1,λ2=3,故方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x,选D。二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)2、微分方程y’-xe-y+=0的通解为________.标准答案：知识点解析：3、微分方程的通解为__________.标准答案：lnx+C(C为任意常数）知识点解析：4、设y(x)为微分方程y"-4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1,y’(0)=2的特解，则=_________.标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)设f(x)是连续函数。5、求初值问题的解，其中a>0.标准答案：y’+ay=f(x)的通解为,由y(0)=0得C=0，所以.知识点解析：暂无解析6、若|f(x)|≤k,证明：当x﹥0时，有|y(x)|≤.标准答案：当x≥0时，知识点解析：暂无解析7、利用变换x=arctant将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解。标准答案：知识点解析：暂无解析8、设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex,确定常数a,b,c，并求该方程的通解。标准答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得（4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex,则有原方程为y"-3y’+2y=-ex.原方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,特征值为λ1=1,λ2=2,则y"-3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x,于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x(1+x)ex(C1,C1为任意常数）。知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0,+∞)内可导，f(0)=1,且f'(x)+f(x)-=0.9、求f’(x).标准答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-=0,两边求导数，得（x+1)f"(x)=-(x+2)f’(x)得出,再由f(0)=1,f’(0)+f(0)=0,得f’(0)=-1,所以C=-1，于是.知识点解析：暂无解析10、证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.标准答案：当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1,令g(x)=f(x)-e-x,g(0)=0,g’(0)=f’(x)+e-x=,由.知识点解析：暂无解析11、设函数f(x,y)可微，,求f(x,y).标准答案：知识点解析：暂无解析设函数f(x)满足xf'（x)-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴（x≥0)所围成的平面图形为D。若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：12、曲线y=f(x).标准答案：知识点解析：暂无解析13、曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积。标准答案：知识点解析：暂无解析14、一条曲线经过点（2,0）,且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线方程。标准答案：曲线在点（x,y)处的切线方程为Y-y=y’(X-x),令X=0，则Y=y-xy’,切线与y轴的交点为（0，y-xy’),由题意得x2+x2y’2=4,解得,变量分离得,积分得,因为经过点（2,0）,所以C=0，故曲线方程为知识点解析：暂无解析15、用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解。标准答案：知识点解析：暂无解析16、设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x,y)处的曲率为,又此曲线上的点（0,1）处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程，并求出函数y(x)的极值。标准答案：因为曲线是上凸的，所以y"＜0,由题意得知识点解析：暂无解析17、细菌的增长率与总数成正比，如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数。标准答案：知识点解析：暂无解析18、在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g/L,用管子以2L/min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L/min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L/min的速度输出，求在任意时刻t>0,从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程。标准答案：设在任意时刻t＞0,第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t),m2(t),在时间[t,t+dt]内有,且满足初始条件m1(0)=150,解得,在时间[t,t+dt]内有,且满足初始条件m2(0)=150.知识点解析：暂无解析19、一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m,运动开始时链条一遍下垂8m，另外一遍下垂10m,问整个链条滑过钉子需要多长时间？标准答案：设链条的密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m,则下垂那段的长度为（10+x)m,另一段长度为（8-x)m,此时链条受到的重力为（10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg.链条的总重量为18ρ,由牛顿第二定律F=ma,得到知识点解析：暂无解析20、设非负函数f（x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1，由y=f(x)，x轴，y轴，及过点（x,0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0,x]上弧的长度相等，求f（x).标准答案：知识点解析：暂无解析21、早晨开始下雪整天不停，中午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km,到下午4点又扫雪1km,问降雪是什么时候开始的？标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a,路宽为b,扫雪速度为c,路面上雪层厚度为H(t),扫雪车前进路程为S(t),降雪开始时间为T，则知识点解析：暂无解析22、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已是去垂直速度，水平速度为v0(m/s)，飞机与地面摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg·s2/m2),在垂直方向的比例系数ky(kg·s2/m2).设飞机的质量为m(kg),求飞机从着陆到停止所需要的时间。标准答案：水平方向空气阻力Rx=kxv2,垂直方向的空气阻力Ry=kyv2,摩擦力为W=μ(mg-Ry),由牛顿第二定律，由,知识点解析：暂无解析考研数学二（微分方程）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式为()．A、ae2χ＋bχ＋cB、aχ2e2χ＋bχ＋cC、aχe2χ＋bχ2＋cχD、aχe2χ＋bχ＋b标准答案：D知识点解析：y〞－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式为y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式为y2＝bχ＋c，故原方程特解形式为aχe2χ＋bχ＋c，选D．2、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e－χ，则该微分方程为()．A、y″′－y〞－y′＋y＝0B、y″′＋y〞－y′－y＝0C、y″′＋2y〞－y′－2y＝0D、y″′－2y〞－y′＋2y＝0标准答案：A知识点解析：由y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e－χ为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程为(λ－1)2(λ＋1)＝0，即λ3－λ2＋1＝0，所求的微分方程为y″′－y〞－y′＋y＝0，选A．3、设φ1(χ)，φ2(χ)为一阶非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(χ)＋φ2(χ)]B、C[φ1(χ)－φ2(χ)]C、C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)D、[φ1(χ)－φ2(χ)]＋Cφ2(χ)标准答案：C知识点解析：因为φ1(χ)，φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关解，所以φ1(χ)－φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝0的一个解，于是方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的通解为C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)，故选C．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)4、设y＝y(χ)满足△y＝y△χ＋o(△χ)且y(0)＝1，则y(χ)＝_______．标准答案：eχ知识点解析：由△y＝y△χ＋o(△χ)得＝y或－y＝0，解得y＝Ce－∫(－1)dχ＝Ceχ，再由y(0)＝1得C＝1，故y(χ)＝eχ．5、设y1(χ)，y2(χ)为y′＋P(χ)y＝Q(χ)的特解，又py1(χ)＋2qy2(χ)为y′＋P(χ)y＝0的解，py1(χ)－qy2(χ)为y′＋P(χ)y＝Q(χ)的解，则p＝_______，q＝_______．标准答案：知识点解析：由一阶线性微分方程解的结构性质得解得p＝，q＝－．6、设y＝y(χ)满足(1＋χ2)y′＝χy且y(0)＝1，则y(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：将原方程变量分离得，积分得ln｜y｜＝ln＋lnC1，即y＝C，再由y(0)＝1得y＝．7、设y＝2e－χ＋eχsinχ为y″′＋py〞＋qy′＋ry＝0的特解，则该方程为_______．标准答案：y″′－y〞＋2y＝0知识点解析：三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为λ1＝－1，λ2,3＝1±i，特征方程为(λ＋1)(λ－1－i)(λ－1＋i)＝0，整理得λ3－λ2＋2＝0，所求方程为y″′－y〞＋2y＝0．8、设f(χ)连续，且f(χ)－2∫0χf(χ－t)dt＝eχ，则f(χ)＝_______．标准答案：2e2χ－eχ知识点解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)－2∫0χf(u)du＝eχ，求导得f′(χ)－2f(χ)＝eχ，解得f(χ)＝[∫eχ.e∫－2dχdχ＋C]e－∫－2dχ＝(－e－χ＋C)e2χ＝Ce2χ－eχ，由f(0)＝1得C＝2，故f(χ)＝2e2χ－eχ．9、微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解为_______．标准答案：y＝(χ＋C)cosχ知识点解析：通解为y＝(∫cosχe∫tanχdχdχ＋C)e－∫tanχdχ＝(χ＋C)cosχ10、设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．标准答案：2χ知识点解析：∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ3，则F2(χ)＝χ4＋C0．因为F(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2，故f(χ)＝2χ．11、连续函数f(χ)满足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，则f(χ)＝_______．标准答案：2e3χ知识点解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χfu(du)得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，两边对χ求导得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝ce－∫－3dχ＝Ce3χ，取χ＝0得f(0)＝2，则C＝2，故f(χ)＝2e3χ．12、设y＝y(χ)可导，y(0)＝2，令△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是当△χ→0时的高阶无穷小量，则y(χ)＝_______．标准答案：2知识点解析：由△y＝△χ＋α，得y′＝，或者y′－＝0，解得y＝，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝2．13、微分方程的通解为_______．标准答案：χ＝－＋Ce2y(C为任意常数)知识点解析：由得－2χ＝y2，则χ＝(∫y2.e∫－2dydy＋C)e－∫－2dy＝(∫y2.e－2ydy＋C)e2y＝－＋Ce2y(C为任意常数)．14、微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解为_______．标准答案：ln(χy)＝Cχ知识点解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分离变量得，积分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解为ln(χy)＝Cχ．15、微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解为_______．标准答案：y＝C(C为任意常数)知识点解析：令＝u，则，代入原方程得，两边积分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C(C为任意常数)．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)16、求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．标准答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分离变量得＝(1＋χ)dχ，两边积分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C(C为任意常数)．知识点解析：暂无解析17、求微分方程χy′＝yln的通解．标准答案：χy′＝yln可写为，令u＝，原方程化为u＋χ＝ulnu，变量分离得，积分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解为y＝χeCχ＋1(C为任意常数)．知识点解析：暂无解析18、求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．标准答案：令y′＝p，则原方程化为，解得p＝，故y＝＋C2(C1，C2为任意常数)．知识点解析：暂无解析19、设χ＞0时，f(χ)可导，且满足f(χ)＝1＋∫1χf(t)dt，求f(χ)．标准答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，两边对χ求导得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因为f(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．知识点解析：暂无解析20、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．标准答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得．令u＝，则原方程化为，积分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即u＋＝Cχ，将初始条件y(1)＝0代入得C＝1．由得u＝，即满足初始条件的特解为y＝．知识点解析：暂无解析21、求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．标准答案：由(y－χ3)dχ－2χdy＝0，得，则y＝即原方程的通解为y＝(其中C为任意常数)．知识点解析：暂无解析22、求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．标准答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得令u＝，则，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解为y2(y＋3χ)＝C(C为任意常数)．知识点解析：暂无解析23、求微分方程c