人教版八年级数学下册《勾股定理的逆定理（第3课时）》示范教学设计

勾股定理的逆定理（第3课时）教学目标1．进一步巩固勾股定理及其逆定理的相关知识，并能解决综合应用问题．2．培养“数形结合”“方程”等数学思想方法和数学建模能力．教学重点运用勾股定理及其逆定理解决相关问题．教学难点运用勾股定理及其逆定理解决相关问题．教学准备直尺，三角板．教学过程知识回顾1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．新知探究一、探究学习【问题】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为_________三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为________三角形；（2）猜想，当a2＋b2和c2满足什么关系时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2和c2满足什么关系时，△ABC为钝角三角形；（3）判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．【师生活动】学生代表作答，教师补充并讲解知识点．【答案】解：（1）直角三角形两直角边分别为6，8时，斜边＝＝10，∴△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形．（2）当a2＋b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．（3）∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c＜6．∴16≤c2＜36．∵a2＋b2＝22＋42＝20，①a2＋b2＞c2，即c2＜20，∴当16≤c2＜20时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，即c2＝20，∴当c2＝20时，这个三角形是直角三角形；③a2＋b2＜c2，即c2＞20，∴当20＜c2＜36时，这个三角形是钝角三角形．【新知】勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化．【设计意图】检查学生对勾股定理及其逆定理的掌握情况，让学生进一步认识勾股定理及其逆定理的关系．二、典例精讲【例1】一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA方向返回A港所需的时间；（2）C岛在A港的什么方向？【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求得BD的长度，则CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AC的长度，最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间；（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可．【答案】解：（1）由题意AD＝60km，在Rt△ABD中，由AD2＋BD2＝AB2得602＋BD2＝1002．∴BD＝80（km）．∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．∴（km）．75÷25＝3（h）．答：从C岛沿CA方向返回A港所需的时间为3h．（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15625，BC2＝1252＝15625，∴AB2＋AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°．∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．∴C岛在A港的北偏西42°方向上．【设计意图】锻炼学生综合运用勾股定理及其逆定理的知识解决有关方向角的问题．【例2】拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为50m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【答案】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB．∴150×200＝250×CD．∴CD＝＝120（m）．∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）如图，取EC＝130m，FC＝130m，当拖拉机在EF上时学校会受噪声影响．∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，∴ED＝50（m）．∴EF＝100（m）．∵拖拉机的行驶速度为50m/min，∴100÷50＝2（min）．即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2min．【设计意图】检验学生熟练运用勾股定理及其逆定理解决生活问题的能力．【例3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四边形ABCD的面积；（2）求对角线BD的长．【分析】（1）连接AC，然后根据勾股定理可以求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD的形状，从而可以求得四边形ABCD的面积；（2）作DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线BD的长．【答案】解：（1）连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴．∵CD＝10，AD＝10，∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝＝200．∴CD2＋AC2＝AD2．∴△ACD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积是＝24＋50＝74．（2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE＋∠ACB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＋∠ACB＝90°．∴∠DCE＝∠CAB．在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（AAS）．∴AB＝CE，BC＝ED．∵AB＝