浙江2024高考数学二轮复习：函数的概念与性质

课时跟踪检测(十八)小题考法一一函数的概念与性质

A组—10+7提速练

一、选择题

log1x,x>0,

1.(2025届高三•杭州四校联考)已知函数F(x)={2则f(f(4))的值

3，xWO,

为

1

A---9

9B.

D.

9

log!x,x>0,

解析：选C因为F(x)={2所以广(f(4))=_f(-2)=&

3，后o,

［/+Lx>0,

2.已知函数F(x)=,i则下列结论正确的是()

［cos6m+x,xWO,

A.函数/'(x)是偶函数

B.函数f(x)是减函数

C.函数f(x)是周期函数

D.函数/'(x)的值域为［—1,+°°)

解析:选D由函数f(x)的解析式，知f⑴=2,f(-1)=cos(―1)=cos1,Al)我f(一

1),则/'(x)不是偶函数.当x〉0时，『5)=/+1,则F(x)在区间(0,+8)上是增函数，

且函数值F(x)>l;当xWO时，f(x)=cosx,则/'(x)在区间(一8,0］上不是单调函数，且

函数值f(x)所以函数/1(*)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为［―1,

+°°).故选D.

3.(2024•全国卷m)函数尸一x4+V+2的图象大致为()

解析：选D法一：令/'(x)=—X4+X°+2,

则f(x)=—4/+2x,

令f(x)=0,得x=Q或

则F(工)>0的解集为一8

/'(x)单调递增；f(x)〈0的解集为［—罗，Oju［手，+8>f(x)单调递减，结合图

象知选D.

法二：当x=l时，y=2,所以解除A、B选项.当x=0时，y=2,而当x=(时，y=

113

——+~+2=2—>2,所以解除C选项.故选D.

16416

4.已知函数/'(x—1)是定义在R上的奇函数，且在［0,+8)上是增函数，则函数/l(x)

的图象可能是()

解析：选B函数f(x—1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象.因为

函数f(x—1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x—1)的图象关于原点对称，所以函数/<x)

的图象关于点(一1,0)对称，解除A、C、D,故选B.

5.(2025届高三•镇海中学测试)设/1(*)为定义在R上的奇函数，当时，/1(*)=

log2(x+2)—3x+a(aGR),则/'(—2)=()

A.-1B.-5

C.1D.5

解析：选D因为/'(x)为定义在R上的奇函数，

所以/'(0)=l+a=0,即a=-1.

故/'(x)=log2(x+2)—3x—1(x20),

所以f(—2)=-f(2)=5.故选D.

6.(2024•诸暨高三期末)已知/'(x),g(x)都是定义在R上的函数，且F(x)为奇函数,

g(x)的图象关于直线x=l对称，则下列四个命题中错误的是()

A.y=g(f(x)+1)为偶函数

B.y=g(f(x))为奇函数

C.函数尸f(g(x))的图象关于直线x=l对称

D.y=f(g(x+l))为偶函数

f—X=­fX

解析：选B由题可知

［g-X=g2+x

选项A,g(F(—x)+1)=g(—f(x)+1)=g(l+f(x)),

所以P=g(F(x)+1)为偶函数，正确；

选项B,g(f(—x))=g(—广(=)=g(2+f(x)),

所以P=g(F(x))不肯定为奇函数，错误；

选项C,F(g(—x))=_f(g(2+x)),所以p=f(g(x))的图象关于直线x=l对称，正确;

选项DF(g(—x+1))=f(g(x+l)),所以尸f(g(x+l))为偶函数,正确.

综上，故选B.

7.函数尸卫『十:在［-2,2］上的图象大致为()

解析：选B当xe(0,2］时，函数尸肛少LL4」,f>0恒成立，令g(x)=ln

XX

x+1,则g(x)在(0,2］上单调递增，当x=，时，y=0,则当3时，尸］。［十％,

2时，尸”于>0,・・・函数y=坨3在(0,2］上只有一个零点L解除A、C、D,

」xxe

只有选项B符合题意.

8.(2024•全国卷H)已知F(x)是定义域为(一8,+8)的奇函数，满意"1—x)=*l

+x).若Hl)=2,则/U)+F(2)+F(3)+…+F(50)=()

A.-50B.0

C.2D.50

解析：选C法一：是奇函数，.•・/*(—x)=—_f(x),

/.=-_f(x-1).

由_f(l—x)=_f(l+x),得一_f(x—1)=_f(x+l),

・・・f(x+2)=—F(x),

/(jr+4)=—_f(x+2)=F(x),

・・・函数fU是周期为4的周期函数.

由/tx)为奇函数得F(0)=0.

又:/1(1—x)=_f(l+x),

・・.Ax)的图象关于直线X=1对称，

・・・广(2)=广(0)=0,・•・/•(—2)=0.

又f⑴=2,.."(-1)=-2,

⑴+f⑵+A3)+A4)=r(l)+F⑵+r(-l)+A0)=2+0-2+0=0,

+f(2)+F(3)+f⑷+…+f(49)+r(50)

=0X12+f(49)+f(50)

=f(l)+f(2)=2+0=2.

法二：由题意可设f(x)=2sin仔，，作出/<x)的部分图象如图所y*

示.由图可知，f(x)的一个周期为4,所以Al)+A2)+A3)+-+A50)_,

=12"⑴+r(2)+H3)+r(4)]+A49)+r(50)=12X0+f(l)+广(2)=-2卜…3

2.

9.设函数f(x)=dV+=+c(刘>Z?>c)的图象经过点2(加,_f(0))和点8(如广(加),A1)

=0.若/+"(加+/*(㈤]a+广(加•广(加=。则()

A.620B,仅0

C.3a+cW0D.3a.—c<0

解析：选A,函数_f(x)=苏+8匠+0(8>力0),

满意/(I)=0,.\a+b+c=0.

若aWO,Va>b>c,Z?<0,c<0,

则有a+A+c<0,这与a+6+c=0冲突，・・・a>0成立.

若。20,则有6>0,a>0,

此时a+6+c>0,这与a+b+c=0冲突，

/.c<0成立.

Va+[f(nii)+f(.nk)],a+f(向.f(曲=0,

[a+/(i®)]•[a+f(nh)]=0,

:・nh,应是方程F(x)=一d的两根，

A=Z?2—4a(a+c)=8(方+4a)=8(3a—c)20,

而a>0,c<0,

：.3a~c>0,・・・620.故选A.

a—]x-|-4—2ax<]

、，’‘若f(x)的值域为R,则实数a的取

{1十log2X,

值范围是()

A.(1,2]B.(—8,2]

C.(0,2]D.[2,+8)

解析：选A依题意，当x'l时，/'(x)=l+log2X单调递增，/'(x)=l+log2X在区间

[1,+8)上的值域是[1,+8).因此，要使函数f(x)的值域是R,则需函数f(x)在(一8,

1)上的值域以(一8,1).①当3—1<0,即水1时，函数F(x)在(-8,1)上单调递减，

函数/'(才)在(一8,1)上的值域/=(—a+3,+°°),明显此时不能满意心(—8,1),因

此水1不满意题意；②当a—1=0,即2=1时，函数/'(x)在(一8,1)上的值域4{2},

此时不能满意心(一8,1),因此a=l不满意题意；③当a—1〉0,即3>1时，函数F(x)

在(一8,1)上单调递增，函数/1(«)在(一8,1)上的值域"=(一8,一石+3),由心(一

P1,

8,1)得解得1<石42.综上所述，满意题意的实数》的取值范围是(1,2],

【一a十331,

故选A.

二、填空题

11.已知函数F(x)的定义域为R.当水0时，广(才)=/一1；当一IWxWl时，f(~x)=

一F(x)；当时，f(x+3=r(x—0，则F(0)=，F(6)=.

解析：函数Ax)在[—1,1]上为奇函数，故/'(0)=0,

又由题意知当时，f卜+1]=fQ—，

则广(x+1)=f(x).

又当一IWxWl时，f{-x)=—f{x),

・・・#6)=H1)=—A—1).

又当T<0时，f{x)=/—1,

・•・『(一1)=—2,AZ(6)=2.

答案：02

2

12.(2024•台州第一次调考)若函数F(x)=a—是奇函数，则a=________，

z—1

函数f(x)的值域为.

解析：函数f(x)的定义域为(一8,o)U(0,+8),

•••f(x)是奇函数，

f{—x)=—r(x)恒成立，

••a-]--(a-2*])恒成AL,

1।112,1-2'

1—2"=2'T1.

2

当xe(0,+8)时，2A>1,

N—1

.\2%-1>0,：.^—7>0,・・・F(x)〈一1；

2—1

当x£(—8,0)时，0〈2'<1,

■X1

・・-1<2-1<0,..不~?<-1,

z—1

2,、

k7>2,；"(王)>1,

z-1

故函数『(x)的值域为(一8,-1)U(1,+8).

答案：一1(—8,—1)U(1,+°O)

13.(2024•绍兴柯桥区模拟)已知偶函数/'(x)在［0,+8)上单调递减，/(2)=0,若

A^-2)>0,则x的取值范围是.

解析：：偶函数f(x)在［0,+8)上单调递减，

且『(2)=0,

■⑵=『(一2)=0,

则不等式f(x—2)>0,等价为f(|x—21)"⑵,

|^-2|<2,

即一2〈x—2<2,即0<矛〈4,

••.x的取值范围是94).

答案：(0,4)

,,［ex,启4,

14.已知函数函数「4对随意的技工…者B有

F(x—2)Wg(x),则勿的取值范围是

解析：作出函数p=和9=4(入)的图象，如图所示，由图可

知当x=l时，%=g(l),又当x=4时，%=e2cg(4)=4e,当x>4时，

7

由e^2^4e5"\得e2k,W4,即2x—7Wln4,解得xW'+ln2,又

ni>l,

7

二•l<勿W]+ln2.

答案：［1，j+ln2

15.在实数集R上定义一种运算“★”，对于随意给定的a,6GR,为唯一确定的

实数，且具有下列三条性质：

(1)Nb=trka：(2)a*0=a；(3)+c=(?★(aS)++(<?★/?)—2c.

关于函数/U)=V，有如下说法:

①函数F(x)在(0,+8)上的最小值为3；

②函数『5)为偶函数；

③函数『5)为奇函数；

④函数/<x)的单调递增区间为(-8,-1),(1,+8)；

⑤函数广(X)不是周期函数.

其中正确说法的序号为.

解析：对于新运算“★”的性质(3),令。=0,则(a*6)★€)=()★(仍)+%★())+(()★

Z?)=ab+a+b,即airb=ab~\-a+b.f^x)—jck~=1+x+~,当x>0时，F(x)=l+x+，21

xxx

+2当且仅当x=：,即x=l时取等号，.••函数F(x)在(0,+8)上的最小值

为3,故①正确；函数Hx)的定义域为(一8,o)u(o,+8),・・・#i)=i+i+i=3,r(-

1)=1—1—1=—1,・・・/•(—1)W—广(1)且六一l)Wf(l),・••函数广(x)为非奇非偶函数，故

②③错误；依据函数的单调性，知函数Hx)=l+x+1的单调递增区间为(—8,-1),(1,

X

+8),故④正确；由④知,函数F(x)=l+x+土不是周期函数,故⑤正确.综上所述,全

部正确说法的序号为①④⑤.

答案：①④⑤

16.(2024•镇海中学阶段性测试)已知函数f(x)=lnQ+g—2,g(x)和f(x)的图象

关于原点对称，将函数g(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，再向下平移灰力0)个单位

长度，若对于随意实数a,平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点，则6的最小值为

解析：由_f(x)=ln(x+：j—2,知x>0,_f(x)21ne—2=-1,/.f^x)

min=—1,此时X

e

=]•

在同始终角坐标系中，作出/"(x),g(x)的图象(图略)，若对于随意的a,平移后g(x)

和f(x)的图象最多只有一个交点，则平移后g(x)的图象的最高点不能在f(x)图象的最低点

的上方，则1—6W—1,则6的最小值为2.

答案：2

17.(2024-山东高考)若函数e'f(x)(e=2.71828i是自然对数的底数)在,(分的定义

域上单调递增，则称函数f(x)具有〃性质.下列函数中全部具有〃性质的函数的序号为

①f(x)=27②/0)=3%③f(x)=£；

®f{x)=x+2.

解析：设g(x)=e*/(x),对于①，g(x)=e'・2T

则g'(x)=(e'・2-»=e'・2)(1—In2)〉0,

所以函数次x)在(一8,十8)上为增函数，故①符合要求;

对于②，g(x)=e'・3r,

则W(x)=(e'-3,=e*・3=(1—In3)<0,

所以函数g(x)在(一8,十8)上为减函数，故②不符合要求；

对于③，g(x)=e，•x',

则g'(x)=(e*•/)'=ev•(/+3/),

明显函数g(x)在(一8,+8)上不单调，故③不符合要求；

对于④，g(x)=e"*{x+2),

则g'(x)=[e*•(9+2)「=ex*(X+2JT+2)=eJr•[(jr+l)2+l]>0,

所以函数次x)在(一8,十8)上为增函数，故④符合要求.

综上，具有〃性质的函数的序号为①④.

答案：①④

B组一一实力小题保分练

1.(2025届高三•浙江新高考名校联考)函数F(x)=InIx|的大致图象是()

解析：选A因为f(-x)=ln1-x]+[(—x)2=ln1x|+[/=f(x),所以/1(x)是偶函

数，于是其图象关于y轴对称，解除D；当x>0时，f^x)=Inx+^x,f(x)='+x22,

所以函数『(x)在(0,+8)上单调递增，解除B；当XG(0,1)时，/(x)>2,且/(x)是减

函数，当x>l时，f(x)>2,且/(x)是增函数，因此，当x趋近于0或x趋近于+8时，

曲线较陡，因此解除C.故选A.

2.已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x—4)=—f(x),且在区间[0,2]上是增函数，

则()

A.A-25XA11XA80)

B.r(80)<^(ll)<f(-25)

C.r(ll)</(80)</，(-25)

D.f(—25)〈F(80)〈f(ll)

解析：选D因为『(x)满意/"(x—4)=—f(x),所以F(x—8)=F(x),所以函数f(x)是

以8为周期的周期函数，则f(—25)=f(—1),『(80)=f(0),All)=A3).

由/'(x)是定义在R上的奇函数，且满意f(x—4)=—f(x),得/'(11)=『(3)=—f(—1)

=f⑴.

因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，f(x)在R上是奇函数,

所以/<x)在区间［—2,2］上是增函数，

所以A-1XA0)</,(1),即f(-25)<f(80)<f(ll).

3.已知函数f(x)的图象如图所示，则/<x)的解析式可能是

)

A.f(x)=/—21n|x\

B.f(^x)—x—\n|x\

C.f(x)—|x\—21n|x|

D.f(x)=|x|-ln|x|

解析：选B由图象知，函数f(x)是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x>0

99/—1

时的图象即可.对于选项A,当x>0时，f{x)=/—21nx,所以f'(x)=2x—=----------,

xx

因此F(x)在x=l处取得微小值，故A错误；对于选项B,当x>0时，f(<x)=x—\x\x,所

以/(x)=2x-—=-----,因此**)在^=乎处取得微小值，故B正确；对于选项C,当

XXZ

9Y—9

x>0时，/<x)=x—21nx,所以/(x)=l——=——,因此f(x)在£=2处取得微小值，故

XX

1V—1

C错误；对于选项D,当x>0时，f(x)=x—lnx,所以/(x)=l—-=---,因此_f(x)在

X=1处取得微小值，故D错误.故选B.

4.定义：/(x)=max{_f(方)|—1W,C(x)=min{F(方)|一1WZWxWl},其中

max{m,〃}表示以，〃中的较大者，min{勿，〃}表示出〃中的较小者.已知函数广(x)=2^3

+则下列说法肯定正确的是()

A.若尸(-1)=尸⑴,则f(—l)>f⑴

B.若G(l)=6(一1),则尸(一1)〈尸⑴

C.若f(—l)=f⑴,则⑴

D.若C(—1)=G(1),则f(—1)>汽1)

解析：选B依据题意，由可得f(x)=2ax2+6x的图象的对称轴x=—［—

|a\4a

1,1］,由户(-1)=尸(1)知/1(—1)=5(1)