2024届河北省石家庄市八校联考中考数学四模试卷含解析

2024学年河北省石家庄市八校联考中考数学四模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外

一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的顶点。在y轴上，且4-3,0）,8（2力），则正方形的面

积是（）

C.25D.34

A.-2B.-C.--

23

4.若a+|a|=0,则—等于()

A.2-2aB.2a-2C.-2D.2

5.下列计算正确的是（）

x

A.(78)2=±8B.豳+病=60C.(-°=0D.(x-2y)~3——

6.有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（)

A.5个B.4个C.3个D.2个

7.某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元,

且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的

是（）

200350200350200350200350

A.B.——C.-------D.-------=——

%x-3Xx+3x+3Xx-3x

8.下列计算正确的是（）

A.〃3.〃2=。6B.(a3)2=a5C.Cab2)3=456D.a+2a=3a

9.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示:

射击次数（n）102050100200500.......

击中靶心次数（m）8194492178451......

击中靶心频率（”）0.800.950.880.920.890.90

n.......

由此表推断这个射手射击1次，击中靶心的概率是（）

A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9

10.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好，书伴我成长”读书活动.为了解5月份八年级300名学生读书情况,

随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：

册数01234

人数41216171

关于这组数据，下列说法正确的是（）

A.中位数是2B.众数是17C.平均数是2D.方差是2

11.下列基本几何体中，三视图都是相同图形的是（）

12.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE,且D点落在对角线D，处.若AB=3,

AD=4,则ED的长为

4

C.1D.-

3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把AABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰

三角形，则这个等腰三角形的面积是.

14.已知一个多边形的每一个内角都等于108。，则这个多边形的边数是.

15.某学校要购买电脑，A型电脑每台5000元，B型电脑每台3000元，购买10台电脑共花费34000元•设购买A型

电脑x台，购买B型电脑y台，则根据题意可列方程组为.

16.如图，AOAB与AOCD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为3:4,ZOCD=90，ZAOB=60，若点

B的坐标是（6,0）,则点C的坐标是.

17.直线y=-x+1分别交x轴，y轴于A、3两点，则AAOB的面积等于_.

18.已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于__厘米.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图（1）,AB=CD,AD=BC,O为AC中点，过。点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么N1

与N2有什么关系？请说明理由；

若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余，条件不变，那么图（1）中的N1与N2的关系成立吗？请说明理

20.（6分）为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，某班一课外活动小组成员在全校范围内随机抽取了若干名学生,

针对“你每天是否会节约粮食”这个问题进行了调查，并将调查结果分成三组（A.会;B.不会；C.有时会），绘制了

两幅不完整的统计图（如图）

（1）这次被抽查的学生共有_____人，扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为

（2）补全两个统计图；

（3）如果该校学生共有2000人，请估计“每天都会节约粮食”的学生人数;

（4）若不节约零食造成的浪费，按平均每人每天浪费5角钱计算，小江认为，该校学生一年（365天）共将浪费:

2000x20%x0.5x365=73000（元），你认为这种说法正确吗？并说明理由.

21.（6分）如图，矩形Q4BC摆放在平面直角坐标系X0Y中，点A在x轴上，点C在y轴上,。4=8,OC=6.

⑴求直线AC的表达式；

⑵若直线丁=%+人与矩形Q43C有公共点，求b的取值范围;

垂足为点。；过点3作6CJ.y轴，垂足为点C,且6。=2,连接CD.

求加，k,b的值；求四边形ABC。的面积.

23.（8分）求抛物线y=x?+x-2与x轴的交点坐标.

24.（10分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随

机取出一个小球，记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y,这样确定了点M的坐

标(x,y)

（1）画树状图列表，写出点M所有可能的坐标;

⑵求点M（x,y）在函数y=x+1的图象上的概率.

25.（10分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、

D：油条.超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个.

（1）按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；

（2）请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率.

26.（12分）如图，矩形ABC。中，点E为上一点，OFLAE于点尸，求证：ZAEB^ZCDF.

27.（12分）某翻译团为成为2022年冬奥会志愿者做准备，该翻译团一共有五名翻译，其中一名只会翻译西班牙语，

三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译.求从这五名翻译中随机挑选一名会翻译英语的概率；若从这五名翻

译中随机挑选两名组成一组，请用树状图或列表的方法求该纽能够翻译上述两种语言的概率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解题分析】

根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解.

【题目详解】

解:在同一平面内，

①过两点有且只有一条直线，故①正确；

②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；

③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，

综上所述，正确的有①③④共3个，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键.

2、D

【解题分析】

作于点E.贝!|AE=2-(-3)=5,△AOD^ABEA(AAS),

：.OD=AE=5,

：.AD=A/A02+0D2=V32+52=，

正方形ABC。的面积是:取x取=34，故选D.

3、D

【解题分析】

分析：-sin60。=-无，根据乘积为1的两个数互为倒数，求出它的倒数即可.

详解：-sin60°=-乌

2

(B、

12.X=1,

7\

一B的倒数是-空.

23

故选D.

点睛：考查特殊角的三角函数和倒数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

4、A

【解题分析】

直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【题目详解】

Va+|a|=0,

/.|a|=-a,

则a<0,

故原式=2-a-a=2-2a.

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

5、D

【解题分析】

各项中每项计算得到结果，即可作出判断.

【题目详解】

解：A.原式=8,错误；

B.原式=2+4立，错误；

C.原」式=1,错误；

D.原式=x6y-3=),正确.

y

故选D.

【题目点拨】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6、C

【解题分析】

矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

共3个既是轴对称图形又是中心对称图形.

故选C.

7、B

【解题分析】

试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量

关系列出方程即可.

考点：由实际问题抽象出分式方程

8、D

【解题分析】

根据同底数塞的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并同类项的运算法则进行计算即可得出正确答案.

【题目详解】

解：A.X%x4=x4+4=x¥xl6,故该选项错误；

B.(a3)2=a3x2=a6翔5,故该选项错误；

C.(ab2)3=a3bVab6,故该选项错误；

D.a+2a=(1+2)a=3a,故该选项正确；

故选D.

考点：L同底数塞的乘法；2.积的乘方与暴的乘方；3.合并同类项.

9、D

【解题分析】

观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解.

【题目详解】

依题意得击中靶心频率为0.90,

估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为0.90.

故选：D.

【题目点拨】

此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题.

10、A

【解题分析】

试题解析：察表格，可知这组样本数据的平均数为：

99

(0x4+1x12+2x16+3x17+4x1)+50=…；

50

•.•这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，

•••这组数据的众数是3；

•.•将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2,

,这组数据的中位数为2,

故选A.

考点：1.方差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数.

11、C

【解题分析】

根据主视图、左视图、俯视图的定义，可得答案.

【题目详解】

球的三视图都是圆，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了简单几何体的三视图，熟记特殊几何体的三视图是解题关键.

12、A

【解题分析】

首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得ADEC/Z\»EC,设ED=x,则D，E=x,ADr=AC-CD'=2,AE=4

-x,再根据勾股定理可得方程2?+x2=(4-x)2,再解方程即可

【题目详解】

VAB=3,AD=4,/.DC=3

...根据勾股定理得AC=5

根据折叠可得：△DECg

/.D,C=DC=3,DE=DrE

设ED=x,贝!|D'E=x,AD=AC-CD=2,AE=4-x,

在RtAAED，中：(ADO2+(EDO2=AE2,BP22+x2=(4-x)2,

3

解得：x=—

2

故选A.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、3.1或4.32或4.2

【解题分析】

【分析】在R3ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、SAABC=1,找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰

三角形的面积即可.

【题目详解】在RSABC中，NACB=90。，AB=3,BC=4,

22=5

,,.AB=A/AB+BC»SAABC=|AB«BC=1.

沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：

①当AB=AP=3时，如图1所示，

AP3

S等底AABP=——,SAABC=—xl=3.1；

②当AB=BP=3,且P在AC上时，如图2所示，

..eABBC3x4“

作4ABC的iWjBD,则BD=----------=-------=2.4,

AC5

:.AD=DP=732-2.42=L2,

；.AP=2AD=3.1,

AP3.6

S等腰AABP=-----,SAABC=------xl=4.32；

AC5

③当CB=CP=4时，如图3所示，

CP4

x

S等腰△BCP=*SAABC=_1=4.2；

综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2,

故答案为：3.1或4.32或4.2.

【题目点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的

等腰三角形的面积是解题的关键.

14、1

【解题分析】

试题分析：•••多边形的每一个内角都等于108。，.•.每一个外角为72。.

•.•多边形的外角和为360。，.•.这个多边形的边数是：360X72=1.

x+y=10

15、\

[5000x+3000y=34000

【解题分析】

x+y=10

试题解析：根据题意得:<5000%+3000^=34000.

x+y=10

故答案为4

[5000%+3000^=34000.

16、（2,2百）

【解题分析】

分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形钻与AOC。是以点。为位似中

心的位似图形，相似比是怎AQ46上一点的坐标是（左»）,则在AOC。中，它的对应点的坐标是（质,。）或

(-kx,-ky),进而求出即可.

详解：。"与AOC£＞是以点。为位似中心的位似图形，ZOCD=90，

.•.ZO4B=90°.

NAO5=60，若点3的坐标是（6,0）,

OA=OB-cos60°=6x—=3.

2

过点A作AELOD交8于点E.

22

点A的坐标为:

AOAB与AOCD的相似比为3:4,

点C的坐标为：，即点C的坐标为：(2,26).

(2323J

故答案为：(2,2石).

点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

【解题分析】

先求得直线y=-x+1与x轴，y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求得AAOB的面积即可.

【题目详解】

•.•直线y=-x+1分另U交x轴、y轴于A、B两点,

.，.&、5点的坐标分别为(1,0),(0,1),

111

SAAOB=—OA*OB=—xlxl=—,

222

故答案为L.

2

【题目点拨】

本题考查了直线与坐标轴的交点坐标及三角形的面积公式，正确求得直线y=-x+1与x轴、y轴的交点坐标是解决

问题的关键.

18、1

【解题分析】

由两圆的半径分别为2和5,根据两，圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得

圆心距即可.

【题目详解】

解：•••两圆的半径分别为2和5,两圆内切，

：・d=R-r=5-2=lcm,

故答案为1.

【题目点拨】

此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径衣，r的数量关系间的联系.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、详见解析.

【解题分析】

(1)根据全等三角形判定中的“SSS”可得出△AOC也△CBA,由全等的性质得NZMON5C4,可证根据

平行线的性质得出N1=N1；

(1)(3)和(1)的证法完全一样.先证△得到NZMON8C4,则。从而N1=NL

【题目详解】

证明：N1与N1相等.

在^ADC^ACBA中，

AD=BC

<CD=AB,

AC=CA

.,.△ADC^ACBA.(SSS)

...ZDAC=ZBCA.

；.DA〃BC.

.\Z1=Z1.

②③图形同理可证，△ADC义z\CBA得到NDAC=NBCA,贝!|DA〃BC,N1=NL

20、(1)50,108°(2)见解析；(3)600人；(4)不正确，见解析.

【解题分析】

(1)由C组人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以A组人数所占比例可得；

(2)根据百分比之和为1求得A组百分比补全图1,总人数乘以B的百分比求得其人数即可补全图2；

(3)总人数乘以样本中A所占百分比可得；

(4)由样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%即可作出判断.

【题目详解】

(1)这次被抽查的学生共有25+50%=50人，

扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为360万—=108°,

50

故答案为50、108。；

(2)图1中A对应的百分比为1-20%-50%=30%,图2中B类别人数为50x20%=5,

补全图形如下：

(3)估计“每天都会节约粮食”的学生人数为2000x30%=600人；

(4)不正确，

因为在样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%,

所以这种说法不正确.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.同时本题还考查了

通过样本来估计总体.

21、(1)y=—%+6；(2)—8WZ?W6；(3)k>—

-42

【解题分析】

(1)由条件可求得A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；

(2)结合图形，当直线平移到过C、A时与矩形有一个公共点，则可求得b的取值范围；

(3)由题意可知直线1过(0,10),结合图象可知当直线过B点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k的取值范

围.

【题目详解】

解：

(1)QOA=8,OC=6

.-.A（8,0）,C（0,6）,

设直线AC表达式为>=日+6,

8k+b=0k=_3

解得一4

b=6

b=6

3

直线AC表达式为丫=—-x+6；

4

(2)直线y=x+b可以看到是由直线V=x平移得到,

,当直线丁=%+人过AC时，直线与矩形。RC有一个公共点，如图1,

当过点4时，代入可得0=8+6,解得/?=—8.

当过点C时,可得。=6

.,.直线丫=工+匕与矩形Q46c有公共点时，6的取值范围为—8W6W6;

(3)Qy=Ax+10,

..・直线/过。(0,10),且3(8,6),

如图2,直线/绕点。旋转，当直线过点3时，与矩形。RC有一个公共点，逆时针旋转到与V轴重合时与矩形Q钻。有

公共点，

当过点3时，代入可得6=8Z+10,解得左=-g

二直线/：y=丘+10与矩形OABC没有公共点时k的取值范围为

【题目点拨】

本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识.在(1)中利用待定系数法

是解题的关键，在(2)、(3)中确定出直线与矩形OABC有一个公共点的位置是解题的关键.本题考查知识点较多，

综合性较强，难度适中.

33

22、(1)m=3,k=—,b=—.(2)6

22

【解题分析】

(1)用代入法可求解，用待定系数法求解；(2)延长AD,5。交于点石，则/石=90。.根据8四边形筋8=3,防-3八8七

求解.

【题目详解】

3

解：(1)・・•点41,加)在、二X一上，

:・m=3,

3

・・,点6在y=—X上，且5。=2,

3

：•3(-2,-5).

Vy=kx+b^A,3两点,

k+b=3

：.\3，

—2k+b=—

I2

解得;，

b--

[2

33

:•m=3,k=—,b=—.

22

(2)如图，延长A。，BC交于点E,则N£=90°.

・・・3C，y轴，轴，

3

・・・D(1,O),C(0,--),

9

：.AE=-BE=3,

2f

••S四边形ABC。=^AABE-S\CDE

=-AEBE--CEDE

22

19cll3

2222

=6.

考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.

23、(1,0)、(-2,0)

【解题分析】

试题分析：抛物线与x轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可.

试题解析：解：令y=o,即无2+%—2=o.

解得：=1,——2.

•••该抛物线与X轴的交点坐标为（-2,0）,（1,0）.

24、。）见解析；（2）：.

【解题分析】

⑴首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）找出点（x,y）在函数y=x+l的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案.

【题目详解】

（1）画树状图得:

共有12种等可能的结果（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）；

（2）在所有12种等可能结果中，在函数y=x+l的图象上的有（1,2）、（2,3）、（3,4）这3种结果，

31

•••点M（x,y）在函数y=x+l的图象上的概率为—

【题目点拨】

本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况

数与总情况数之比.

25、（1）不可能；（2）—.

6

【解题分析】

（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据

概率公式计算.

【题目详解】

（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；

故答案为不可能；

（2）画树状图：

ABCD

ZK/T\/1\

BCDAcDABDABC

共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条