利用导数研究恒（能）成立问题-2025年高考数学备考复习

第三章一元函数的导数及其应用

突破2利用导数研究恒(能)成立问题

口学生用书P061

命题点1分离参数求参数范围

例1[2023湖南衡阳5月三模]已知函数/(x)=|+lnx+a.

(1)当Q=0时，求/(X)的极值；

(2)若对于任意的x£[l,e2],/(x)W0恒成立，求实数a的取值范围.

解析(1)当。=0时，/(x)=-+\nx,则/(x)=—彳+[==^，

xxLX

当0<x<2时，f(x)<0,当x>2时，f'3>0,列表如下.

X(0,2)2(2,+°°)

f(x)一0+

/(x)\极小值/

所以/(x)的极小值为/(2)=l+ln2,无极大值.

(2)f(x)=-+lnx+a^O,即—--Inx.

XX

2

令g(x)Inx,[1,e2],则aWg(x)min.

求导得3(x)=|一§=爰，当14V2时，gf(x)>0,当2VxQ2时，gf(x)<0,

所以gG)在[1,2)上单调递增，在(2,e2]上单调递减.

因为g(1)=-2,g(e2)=—^―Ine2=—2,所以g(1)>g(e2),所以g(x)min

=g(e2)=—^—2.

所以“Wg(X)min=­2,

即实数。的取值范围为(-8,-4-2].

方法技巧

步骤：(1)利用不等式的性质，将参数分离出来，转化为/(X)>。或/(X)〈。的形

式；

(2)通过研究函数的性质求出/(x)的最值；

(3)得出参数。的取值范围.

技巧：(1)/(X)>。恒成立=/(X)min>a；

f(X)<4恒成立=/(X)max<4.

(2)f(X)有解=/(X)max>〃；

f(x)Va有解(x)minVq.

训练1[2024辽宁省联考]已知函数/(x)=ln(x+1)~ax+2.

(1)若a=2,求/(x)在x=0处的切线方程；

(2)当xNO时，f(x)+2x+xln(x+1)20恒成立，求整数a的最大值.

解析(1)若。=2,则/(x)=ln(x+1)-2x+2,f(0)=2,则切点坐标为(0,

2),

f(x)=5工一2,则切线斜率为/(0)=—1,

所以切线方程为>一2=一(%—0),即x+y—2=0.

(2)由/(x)+2x+xln(x+1)20,得axW(x+1),[In(x+1)+2],

当x=0时，QX0W2,Q£R;

当x>0时，aW5+1，+2],

X

、儿/、(x+l)rin(x+1)+21,z、%—2—In(x+1)

设g(x)=---------------------g(X)=--------------------

设〃(x)=x—2_In(x+1),h'(x)=^->0,

x+l

则h(x)在(0,+8)单调递增，

因为〃(3)=l-ln4<0,h(4)=2-ln5>0,

所以存在x()£(3,4)使得〃(xo)=0,

即xo—2=In(xo+1).

当(0,xo)时，h(x)<0,即g'(x)<0;当(xo,+°°)时，h(x)>0,即

gr(x)>0.

则g(%)在(0,X0)单调递减，在(X0,+°°)单调递增，g(%)min=g(%0),

所以aWg(xo)=5。+1).(沏+1)+2]=<沏+1)[(沏-2)+2]=XO+L

XoXQ

因为xoG(3,4),所以xo+lG(4,5),所以整数。的最大值为4.

命题点2等价转化求参数范围

例2[2023全国卷甲]已知函数/(x)=ax—悬，xd(0,".

(1)当a=8时，讨论/(x)的单调性；

(2)若/'(x)<sinlx,求a的取值范围.

解析⑴当。=8时，/(x)=8x—华，xe(0,三)，

cos°x2

422

n(\_Qcosx+3sinxcosx_।23

J\X)—O—Z=Xo十2~-4~•

COS。％COSXCOSX

令3~=t,则/£(1,+0°),

cos"

令〃(z)=­3»+2/+8=—(3Z+4)(t—2),

当/e(1,2)时，h(t)>0;当£(2,+8)时，h⑺<0.

故当xe(0,7)时，f(x)>0,f(x)单调递增；

4

当xG(%?时，f(X)<0,/(X)单调递减.

综上，f(x)在区间(0,：)上单调递增，在区间(5])上单调递减.

(2)令g(x)—f(x)—sinsinlx,

oJCOS^X

mi，/、cos4x+3sin2xcos2xcos2x+3sin2x.01c/-2cos2x+3,

如Jg\x)=。-------7---------2cos2x=a--------T-----4cos'x十2=。一(-----7十

cosxcos”cos”

4cos2x-2),

令〃=cos2%,则uG(0,1),令左(〃)=—绊3+4M—2,

则k'(M)=审+4=%学].

UU

当(0,1)时，k'(«)<0,：.k(〃)在(0,1)上单调递减，

,:k(1)=3,.*.当we(0,1)时，k①)>3,

:・k(u)的值域为(3,+8).

①当qW3时，gr(x)<0,：.g(x)在(0,胃)上单调递减，

:•当(0,])时，g(x)<0,.*./(x)<sin2x.

②当43时，3xo^(0,会使得夕(血)=0,

・・・g(%)在(0,xo)上单调递增，在(xo,会上单调递减，

.*.g(xo)>0,.*./(x)Vsin2r不成立.

综上所述，4的取值范围为(-8,3].

方法技巧

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看成常数，通过分析，变形，合理构造函数

(常用的有作差构造，同构化构造等)，转化成求函数的最值问题.

训练2[全国卷I]已知函数/(%)=e,c+ax2—x.

(1)当4=1时，讨论了(%)的单调性；

(2)当xNO时，/(x)2#+1，求0的取值范围.

解析(1)当a=l时，f(x)=ex+x2—x,f(x)1.易知f(0)=0,且

ff(x)在R上单调递增，故当工£(―°°,0)时，/(x)<0;当(0,+°°)时，

fr(x)>0.

所以/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+°°)上单调递增.

(2)f(x)2mx3+1等价于&3—。+%+1)e-VI.

设函数g(x)=(孑-QN+X+I)e~x(%20),则

gr(x)=—(才一办2+1+]—产2+2办—1)©r

=--|x[x2-(2Q+3)x+4a+2]e%

=--x(x—2a~1)(x—2)e”.

2

(i)若2a+lW0,即aW—g,则当xd(0,2)时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上单调递增，故g(x)>1,不合题意.

-1-1

(ii)若0<2a+l<2,即一;则当xG(0,2a+l)U(2,+°°)时，gr(x)<

0;当xd(2a+l,2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+l),(2,+°°)上单调

递减，在(2a+l,2)上单调递增.

因为g(0)=1W1,要使g(x)W1,则g(2)=(7-4fl)e^Wl,即

所以当乙矣-Wavg时，g(x)Wl.

(iii)若2Q+122,即则g(、)W(#+x+l)ex.

由于0£[W,i),故由(ii)可得(*+x+l)eYl.

故当qN,时，g(%)Wl.

综上，a的取值范围是[芋，+8).

命题点3双变量的恒(能)成立问题

例3[2024广东七校联考]设a为实数，函数/(x)=x3—3x2+a,g(x)=xlnx.

(1)求/(x)的极值；

(2)若Vxid[l,3],Vx2e[A,e],都有/(xi)》g(&),求实数a的取值范围.

解析(1)函数/(x)=x3—3—十。的定义域为R,f'(%)=3x2—6x=3x(x—2),

令/(x)=0,可得x=0或x=2,

当x变化时，/G),fG)的变化情况如下表：

X(—0O,0)0(0,2)2(2,+°°)

/'(X)+0一0+

/(X)/极大值\极小值/

故函数/(%)的极大值为/(0)=a,极小值为/(2)=。一4.

(2)若Vxi£［l,3］,e］,都有/On)2g(X2),则/(xDmin》g(%2)max.

由(1)可知，函数/(x)在［1,2)上单调递减，在(2,3］上单调递增，

故当工£［1,3］时，/(x)min=/⑵=Q—4.

因为g(x)=x1nx,当g,e］时，gr(x)=l+lnx20且g，(x)不恒为零，所以函数

g(X)在耳，e］上单调递增，故g(x)max=g(e)=e,

由题意可得Q—42e,故〃2e+4,即实数〃的取值范围是［e+4,+°°).

方法技巧

解决双变量“存在性或任意性”问题的关键就是将含有全称量词或存在量词的条件“等价

转化”为两个函数最值之间的关系(或两个函数值域之间的关系).

训练3[2023浙江杭州二中4月阶段测试]/G)=£+xlnx,g(x)=x3-x2-3.

(1)如果存在Xl,X2^[0,2],使得g(X1)—g(X2)2M成立，求满足上述条件的最大

整数跖

(2)如果对于任意的s,/6号，2],f(5)2g(?)成立，求实数。的取值范围.

解析(1)存在Xl,X2e[0,2],使得g(xi)—g(X2)三〃成立，即存在Xl,X2e[0,

2],使得[g(%1)—Q(%2)]max》M,即g(X)max-g(%)Ge[0,2]).

由g(x)=x3—x2—3,得g'(x)=3x2—2x=3x(x—|),

当/x<2时，g，(x)>0,当0<x<；时,g'(x)<0,列表如下.

(0.|)2(|,2)

3

g'(X)一0+

g(x)\极小值/

又g(O)=-3,g(2)=1,所以当xd[O,2]时，g(x)rnax=g(2)=1,g(x)min=

z2x_85

g(/=F

所以g(x)max-g(x)min=^W,所以满足条件的最大整数M为4.

(2)对于任意的S,tG2],f(.s')2g⑺成立，则f(S)min》g⑺max.

由(1)易得当XG®,2]时，g(X)max=g(2)=1,

所以对于任意的2],巴+xlnx》l成立，即x21nx成立.

2x

令〃(%)=X_x2lnx(gWxW2),则。三力(x)max.

求导得〃'(x)=1—2xlnx—%,令冽(x)=1—2xlnx—xGWXW2),则“(x)=-3—

21nx<0,

所以8(x)在42]上单调递减，又/(1)=0,故列表如下.

X0,1)1(1,2)

hf(x)+0一

h(x)/极大值\

所以(x)max=h(1)=1,故实数。的取值范围是［1,+°°).

现思维帮•提升思维快速解题

洛必达法则

例4已知函数/(x)=*+(，若/G)＞詈+勺亘成立，则"的取值范围为(一8,

叽.

解析解法一（分离参数+洛必达法则）由题意知Q0且>詈+：恒成立

等价于左〈吧+1—吧=7+1.（分离参数）

x+lX—11—xz

f/x2x\nxI!«।\2(x2+l)lnx+2(1—x2)2(x2+l).1一/、

记g(%)=——y+h则g(x)=------------2-----=-------2(lnx+^—).

6—/&(1-x2)(1-x2)J

72

l-x2ml7,/、14%(I-XZ)、八

记〃(％)=lnx4则h'(x)=-------?=-------

x(1+x2)X(1+x2)

所以〃（x）在（0,+°°）上单调递增，且〃（1）=0,

因此，当、£（0,1）时，h（%）<0,当工£（1,+8）时，h（x）>0,

即当（0,1）时，gr（x）<0,当工£（1,+8）时，g，（％）>0,

所以g（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+°°）上单调递增.

由洛必达法则得limg（x）=lim^5+l=lim^U+l=@/+l=0,（构造出乌型，利

X^l%一11一%2%一1-2x-2X10

用洛必达法则求解）

即当工—>1时，g（x）-0.所以当x>0且xW1时，g（x）>0,所以左W0.

故上的取值范围是（一8,0].

解法二/（X）-（3+七）=3⑵nx+"i）（x2T>].

X—1X1—xzX

设〃(x)=21nx+(x>0),

X

则h'(x)=(D(x：+1)+2x.

①当后WO时，由〃(x)=i+l)[X-1)知,当xWi时，〃(x)<0,h(x)单调递减.

-1

而h(1)=0,故当xd(0,1)时，h(x)>0,可得；Tz(x)>0;

当Xd(1,+8)时，h(x)<0,可得」v/z(x)>0.

1—xz

从而当x>0,且XTM时，y(x)-(―+-)>0.

X—1X

即/(x)

X—1X

22

②当0<左VI时，y=(左一1)(x+l)+2x=(^-1)x+2x+k~l9其图象开口向下，

且八=4一4(左一1)2>0,对称轴为直线'=」一，」一〉1,

l-kl-k

所以当XG(1,—)时，(左一1)(x2+l)+2x>0,故〃(x)>0,而h(1)=0,故

l-k

当xe(1,--)时，h(%)>0,

1~K

可得(X)<0,与题设矛盾.

③当左21时，此时/(X)>0,而h(1)=0,

故当工£(1,+°°)时，h(x)>0,可得一二，h(x)<0,与题设矛盾.

1—

综上所述，左的取值范围为(-8,0].

方法技巧

洛必达法则

法则1若函数/(%)和g(x)满足下列条件：

(1)limf(x)=0及limg(x)=0；

%—x—>a

(2)在点4的附近，f(x)与g(x)可导且g'(x)WO；

(3)lim△笄=/(/可为实数，也可为无穷大).

那么lim'(')=lim'尸)=I.

(x)%—ag'(%)

法则2若函数/(%)和g(x)满足下列条件：

(1)limf(x)=8及]加g(x)=8；

%—a%-a

(2)在点Q的附近，f(X)与g(X)可导且g，(X)WO；

(3)3可为实数，也可为无穷大).

%—ag(x)

那么limy—limf,(x)

x—ag(%)%—ag’(%)

训练4已知函数/(x)=x(ex—1)一办2(Q£R).

(l)若/(x)在I=一1处有极值，求Q的值；

(2)当x>0时，/(X)20,求实数Q的取值范围.

解析(1)ff(x)=^—1+xex~2ax=(x+1)^—2ax—\,

依题意知/(-1)=2«—1=0,

(2)解法一当x>0时，f(x)NO,即x(ex—1)—QN2O,即旷一1一

令9(x)=^—1~ax(x>0),则夕(x)minNO,夕'(x)=ox—a.

①当时，(p'3>0,

:・(p(x)在(0,+°°)上单调递增，:・(p(x)>e°—1—0=0,

・・・〃W1满足条件.

②当。>1时，若OVxVlna,则9y%)<0,

若x>lna,则夕'(％)>0.

：.(p(x)在(0,Ina)上单调递减，在(Ina,+°°)上单调递增，

：・(p(x)min=9(Ina)=a-1—6zlna^O.

令g(q)—a—1—alna(q>l),则g，(a)=1—(1+lna)=—lna<0,.*.g(a)在

(1,+°°)上单调递减.

：.gQ)Vl—l—lnl=0与gQ)NO矛盾,

故Q>1不满足条件.

综上，实数Q的取值范围是(一8,1],

解法二当x>0时，f(x)20,即x(e^—1)一〃二22()，即旷一1一办20,

X_-1

即。二或廿一1,即-p---恒成立，

X

令人(X)=3(x>0),则〃(X)=e，"+l,

X产

令人(x)=6^(x—1)+1(x>0),则后'(x)=er-x>0,

：.k(x)在(0,+8)上单调递增，

：.k(x)>e°X(0-1)+1=0,：.h'(x)>0,

：.h(x)在(0,+8)上单调递增.

,,pX_1

由洛必达法则知，limh(x)=lim-----=limex=l,

%—0x—>0x%—>0

.♦.aWL故实数。的取值范围是(一8,1].

1.［命题点1］已知函数/(x)=笑"+十与一x,若存在实数机使得不等式/(〃?)

W2层一〃成立，则实数〃的取值范围为(A)

A.(—8,—i]U[1,+8)

B.(—8,—1]U+00)

C.(―8,0]U+8)

D.(—8,-U[0,+00)

解析对函数/(X)求导可得，/(X)=笑&+/(0)%一1,・••4(1)=ff(1)+

x2r

f(0)—1,得/(0)=1.又/(0)=£:),/./'(1)=e.故/(x)=e+^)c—xff(x)

=ex+x—1,易得导函数/'(X)单调递增，f(0)=0,故/(X)min=/(0)=1.由存在

性的条件可得关于实数〃的不等式2层一〃三1,解得几£(—8,+8).

2.［命题点2/2023山东潍坊4月模拟改编］已知函数/G)=i%3-x2sina+x+1,证明：存

在a£［―g争，使得不等式/(x)有解.

OL

解析要证存在ad［一£,白，使得y(x)>e■，有解，只需证存在ad［—巳勺，使得

6262

(；%3—Nsina+x+1)e~x>1有解.

因为a£［—2，口，所以一1W—sin所以一口由。〈安，

6222

当a=一f寸，等号成立.

O

所以03—Rina+%+1)e~x^(^x3+|x2+x+1)e".所以只需证［(jr3+|x2+x+l)•

e-x］max>l.

设函数g(x)=(^x3+|x2+x+1)ex,则g，(x)=一¥(x—1)e

当Xd(—8,1)时，g'(x)》o,g(x)单调递增，当Xd(1,+8)时，g，(x)<

0,g(X)单调递减，所以g(X)max=g(1),

因为g(1)=^+1+1=—>1,

ee

所以存在。£［—右,使得不等式/(x)>e^有解.

3.［命题点3］已知函数/(x)=x+a\nx(〃£R),g(x)=e"—1(e为自然对数的底数).

(1)若直线y=0与函数y=/(x)的图象相切，求。的值；

(2)设q>0,Vxi，X2^［3,+°°)(%1W%2)，都有"(XI)一于(%2)I<Ig(X1)一

g(X2)I，求实数。的取值范围.

解析(1)易知aWO,f(x)=1+-,设切点坐标为Go,0),则1+巴=0,解得xo=

XXQ

—a,所以一a+aln(—a)=0,所以q=—e.

(2)因为。>0,所以［3,+°°)时，,(%)>0,所以/(%)在［3,+°°)上为增函

数；因为g'(x)=^>0,所以g(x)在［3,+°°)上为增函数.

不妨设则f(xi)</(%2),g(xi)<g(X2),

所以1/(XI)—f(X2)I<Ig(XI)-g(X2)I可转化为f(X2)~f(XI)<g(X2)一

g(XI),

即f(xi)—g(xi)>f(X2)~g(X2).

设〃(x)=f(x)—g(x)=x+dnx—e^+l,则〃(x)在［3,+°°)上为减函数，

h'(x)=1+2一廿〈。在［3,+°°)上恒成立，即Vx£［3,+°°),xe^—恒成立.

X

xxx

设/(x)=xe~xfx£［3,+°°),则/(x)=e+xe—1>0,所以，(x)=%廿一x在

[3,+°°)上为增函数，所以，(x)mm=3e3—3,所以aW3e3-3.

故4的取值范围为(0,3e3-3].

(------------------------------(练习帮)练透好题精准分层-----------------------------

6学生用书•练习帮P283

1.[2024贵阳市模拟节选]已知函数/(x)=」+(a-2)x+a,aGR.若/(X)一」+

x2lnx^0,求°的取值范围.

解析解法一由x>0,得/'(x)—x3+x21nx20olnx+土二+320,

X

设g(x)=\nx+^—^+-^2,

Xx£

2

用］rz\_1a-22ax+(2—a)x~2a(x+2)(x—a)(m、

①当oWO时，g'(X)>0,g(%)单调递增，X-0时，g(X)T—8,不合题意;

②当Q>0时，(0,a),gr(x)<0,g(x)单调递减，(a,+°°),gr(x)>

0,g(x)单调递增，

.*.g(x)2g(a)=lna-\----+-^-=lna-\-1-

。。aara

•*.g(x)20QlnQ+1一工20,

a

易知y=lnQ+1—3单调递增，且lnl+l—；=0,故g(x)20Og(a)

综上，q的取值范围为［1,+8).

解法二令g(x)=f(x)—x3+x2lnx=6z(x+1)—2x+x2lnx,

则g(X)20恒成立，即Vx>0,心(2xr?nx)

x+1

令h(X)=三也，

x+l

则〃(X)=一"+2)(Liymx),

(x+1)

令9(x)=x—1+xlnx,

则"(x)=lnx+2,

当(0,e-2)时，cp'(x)<0,cp(x)单调递减，

当(e-2,+°°)时，0(X)>0,(p(%)单调递增，

：・(p(x)min=3(e2)=——l——e2.

又9(1)=0,当x-0时，(p(x)一■—1,当x-'+8时，q(%)―+8,

：・(p(x)的大致图象如图所示.

一「，—

.«r,I

当工£(0,1)时，hf(x)>0,h(x)单调递增，

当工£(1,+8)时，hf(x)<0,h(x)单调递减，

••h(X)maxh(1)19••CL》1.

2.[2023湖南长沙一中5月三模]已知函数f(x)=xsinx+cosx.

(1)当工£(0,兀)时，求函数/G)的单调区间；

(2)设函数g(%)=~x2+2ax,若对任意的内£[—兀，兀],存在刈金[。，1],使得

(xi)Wg(X2)成立，求实数Q的取值范围.

角星析(1)f(x)=xsinx+cosx,

贝(x)=sinx+xcosx—sinx=xcosx.

当(0,7i)时，令/(x)>0,得0Vx<*

令/(x)<0,得]<%<兀，

所以当(0,兀)时，函数/(%)的单调递增区间为(0,]),单调递减区间为(全

71).

(2)对任意的—兀，7l］,存在X2£［0,1］,使得(xDWg(X2)成立，

-1

即［丁/(X1)］maxW［g(X2)］max.

Zn

当7T,扪时，f(—x')=f(x),所以函数/(x)为偶函数.

由(1)得/(X)在［0,扪上的最大值为=*

所以/(%)在［―兀，扪上的最大值为今

所以对修£［—71,7l］,［；/(xD］max=；X：="

2TT2TT24

故原问题转化为［g(X2)ImaxN,

易知函数g(X)=—N+2QX为二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线x=q.

①当oWO时，函数g(x)在区间［0,1］上的最大值为g(0)=0,不合题意.

②当OVqVl时，函数g(x)在区间［0,1］上的最大值为g(q)=a2,

令层若，得或1(舍去)，

所以,WQVI.

③当时，函数g(x)在区间［0,1］上的最大值为g(1)=2q—1,

令2Q—1三"得所以Q21.

48

综上，a的取值范围是4+8).

3.［2022新高考卷n节选］已知函数/(x)=xeax-e\

(1)当a=l时，讨论/'(x)的单调性；

(2)当x>0时，/(x)<-1,求a的取值范围.

解析(1)当a=1时，f(x)—xex—ex,f'(x)=xe*,

当x>0时，f(x)=xev>0,函数/(x)在(0,+8)上单调递增；当x<0时，f'

=xex<Q,函数/'(x)在(-8,o)上单调递减.

(2)f(x)=(1+ax)eax—^(x>0),

①当时，f(x)=(1+ax)eax-ex>eOT-ex^et-ex=O,

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，所以/(x)>-1,与题意矛盾.

②当aWO时，f(x)We。"一dWl-dCO.

所以/(x)在(0,+8)上单调递减，所以/(x)<—1,满足题意.

③当0<aW1时，f'(x)W(1+j)