2025高考数学专项复习：平面向量痛点问题之三角形“四心”问题（含答案）

2025高考数学专项复习平面向量痛点问题之

三角形“四心”问题

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

【题型归纳目录】

题型一:重心定理

题型二：内心定理

题型三:外心定理

题型四:垂心定理

【知识点梳理】

一、四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、三角形四心与推论：

（1）0是△ABC的重心：S^BOC；S&COA：S/XMB=1:1:1<=>OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的内心：SABOC:SACOA:S^AOB=a:b:COaOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

--->---►---►—>

SABO。：S4cOA:S丛AOB—sin2A:sin2B:sin2cQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S^BOC:S^coA:S^AOB—tanA:tanB:tanGQtanAOA+tanBOB+tanGOG=0.

【方法技巧与总结】

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.

朋|AC|

|近|•尼+|初卜配+|淳|•而=6oP为4ABC的内心.

（2）外心:\PA\=\PB\=|FC|aP为△ABC的外心.

（3）垂心：两♦屈=屈•用=刀•两oP为△ABC的垂心.

（4）重心：司+厢+Qd=（5oP为的重心.

题型一:重心定理

例1.（2023春•山东聊城•高一山东聊城一中校孝阶&练习）已知点G是三角形A6C所在平面内一点，满

足/+,+/=6,则G点是三角形46。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

例2.（2023春•山东-方一阶段练习）已知G是△ABC的重心，点D满足舒=比，若前=xAB+

则力+9为（）

119

A.—B.—C.wD.1

例3.（2023春•上海金山•高一上海市金山中学校考期末）记A4BC内角4BC的对边分别为a,b,c,点

G是△4BC的重心，若8G_!CG,5b=6c贝Ucos/的取值是（）

题型二:内心定理

例4.（2023春•江苏宿迁•高一沐国县修远中学校考期末）已知点P为AABC的内心，/氏4。=^,AB

O

=1,AC=2,若AP=AAB+〃4。，则1+〃=.

例5.（2023春•陕西西安•高一陕西海大附中校考期中）已知。是平面上的一个定点，4、B、。是平面上

不共线的三点，动点P满足加=。N+4+则点P的轨迹一定经过△ABC的

（）

A.重心B.外心C.内心D,垂心

^16.（2023-全国•高一假期作业）已知/为△4BC所在平面上的一点，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA

+6语+0记=6,则/是448。的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

例7.（2023春•四川成都•南一树稳中学校考竞春）在4ABC中，cos/=,，。为△人及7的内心，若年

=/AB+%4C（x,yCA）,则/+4的最大值为（）

题型三:外心定理

例8.（2023春•湖北武汉•南一校联考期末）在△4BC中，AB=2,AC=3,N是边上的点，且加=

而,O为△4BC的外心，则俞）

A.3B.与C.D.4

424

例9.（2023春•河南许曷•方一统考期末）已知P在/VLSC所在平面内，满足\PA\=|屈|=|团|,则户是

△4口。的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

例10.（2023春•四川自贡•高一统考期末）直角4ABC中，/C=90。,=4,0为△ABC的外心，OA-

OB+OB-OC+OC-OA=（）

A.4B.-4C.2D.-2

例11.（2023春•辽宁丹东•高一风城市第一中学校考阶盘练习）已知。为4ABC的外心，若4B=1,则

AB-AO=｛）

A.—B.C.-1D.

题型四:垂心定理

例12.（2023春•河南南用•南一统考期中）若以为△ABC所在平面内一点，且\HA[+\BC\2=\HB\2+

定前『则点〃是△人反7的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

例13.（多选题）（2023春•湖南长沙•高一长沙市明檐中学校考期申）已知O,N,F,/在△4B。所在的平

面内，则下列说法正确的是（）

A.若|。刃=\OB\=，则O是△ABC的外心

B.若两•两=屈•配=运•巨4则P是△ABC的垂心

C.若怠+屉+而=0,则N是△ABC的重心

D.若屈=•房=巨？•记=0,则/是△ABC的垂心

例14.（2023春•河南商丘•高一声丘市第一商级中学校考阶段练习）设玄是△4BC的垂心，且4面+

5HB+6HC=6,则cosZAHB=.

MM331

一、单选题

1.（2023•四川泸州•泸县五中校考二模）已知的重心为。，则向量回=（）

A.-^-AB-\B.^rAB+~ACC.—^-AB+-^rACD.—^AB+^-AC

oooooooo

2.（2023-全■国•高三专题练习）对于给定的△A8C,其外心为O,重心为G,垂心为打，则下列结论不正

确的是（）

A.AO-AB=^-AB1

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C.过点G的直线/交48、ZC于E、尸，若赤=4屈，*正，则：+：=3

D.毋与—+尸架一共线

\AB\cosB|AC|COSC

3.（2023-四川•校联考模拟覆测）在平行四边形ABCD中，G为4BCD的重心，AG=xAB+9初,则

3x+y=（）

A.yB.2C.yD.3

4.（2023秋•河南信阳•方三校考除段练习）过△ABC的重心任作一直线分别交AB、47于点。、E,若

AD=xAB,AE=yAC,且砂¥0,则工+工=（）

2y

A.4B.3C.2D.1

5.（2023秋•上海•高二专题练习）0是平面上一定点，A、B、。是该平面上不共线的3个点,一动点P满

足：）=++丞》,4>0,则直线AP一定通过△48。的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

6.（2023秋■•湖北•高二校联考期中）0是AABC的外心，AB=6,AC=10,AO=xAB+yAC,2x+lOy

=5,则cosZ.BAC=（）

1口1「3「I前3

AA.-B.-5-C.-p-D.-5-或后-

23535

7.（2023•湖南•高考真题）P是△ABC所在平面上一点，若PI•丽=丽•刃=正•前，则P是

△46。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

8.（2023•全•图•南一专题练习）已知点O,P在△ABC所在平面内，满方+反5=6,|巨1|=|两|

=|同|,则点0声依次是4人口0的（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

9.（2023•全国•高一专题练习）已知0,48,。是平面上的4个定点，ABC不共线，若点P满足前=

。1+4（通+丞力，其中/16/?,则点。的轨迹一定经过44日7的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

10.（2023春•安徽安庆•高一安庆一中校考阶段练习）在AABC中，设。是/XABC的外心，且彩=

4卷+4/，则za4c等于（）

OO

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.（2023-全•国•南三专题练习）在AABC中，NACB=45°,。是ZVLBC的外心，则月方•或+

元•厢的最大值为（）

37

A.1B.高C.3D.&

12.（2023•全国•高三专题练习）在△48。中，48=3,AC=4,BC=5,O为△4BC的内心，若用=

AAB+nBC,^\A+fi=（）

A.B.D.

4344c.645

13.（2023秋•四川绵相•高二四川看绵相南山中学校考开学考•试）若O,M,N在4ABe所在平面内,满

足=|加I=|Od|,苏•砺=砺・觉=前•必，且殖+福+而=6,则点O,M,N依次

为△4及7的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

14.（2023春•淅江绍兴•高二校考学业考武）已知点。，P在△ABC所在平面内，且|。困=\OB\=

|五且丁屈=丽•用=刃•户N,则点O,P依次是△4口。的（）

A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心

二、多选题

15.（2023春•河南•高一校联考期中）已知4ABC的重心为O,边C4的中点分别为DE,F,则

下列说法不正确的是（）

A.OA+OB=2Ol5

B.若△ABC为正三角形，则52•方+加•灰？+。^・51=0

C.若乃•（乐—记）=0,则O/LBC

D.OI5+OE+OF=O

16.（2023-全国•方三专题练习）如图，”是△43。所在平面内任意一点,O是A4BC的重心，则（）

A

A.AD+BE=CFB.MA+MB+MC=3MO

c.MA+MB+MC=MI5+ME+MFD.BC-AD+CA-BE+AB-CF=O

17.（2023秋•直庆渝北•高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）设。为△4BC的外心,且满足2dl

+3加+4（5]=6,|5•=1,则下列结论中正确的是（）

A.OB-OC=-^-B.\AB\=^-C.ZA=2ZCD.sin//=4

81124

18.（2023春•安微淮北•高一淮北师范大学酹属实酷中学校考阶段练习）生于瑞士的数学巨星欧拉在

1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线

上.”这就是著名的欧拉线定理.在△4BC中，G分别是外心、垂心和重心，。为BC边的中

点，下列四个选项中正确的是（）

A.GH=2OGB.GA+GB+GC^O

C.AH=2ODD.SAABG=SABCG=SA^CG

19.（2023-全国•模拟覆测）在4ABC中，点。，E分别是BC,/C的中点，点。为ZVIBC内的一点，则下

列结论正确的是（）

A,若初=彷,则赤+两

B.若国5=2团，则两=2加

C.若/5=3函5,则方=■!■通+春而

OO

D.若点O为AABC的外心，BC=4,则加•宓=—4

20.（2023春•河北石室庄•高一统考期末）著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依

次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，

该定理被称为欧拉线定理.已知△48。的外心为O,垂心为重心为G,且48=3,AC=4,下列

说法正确的是（）

A.AH-BC=0B.AG•BC=C.AO-BC=-^D.OH=OA+OB+OC

o/

三、填空题

21.（2023狄.上海长宁•高二上海市建安中学校考期中）已知△ABC的顶点坐标4（—6,2）、8（6,4）,设

G（2,0）是△ABC的重心，则顶点C的坐标为.

22.（2023我•山西昌果•高三统考阶段练习）设。为AABC的外心，且满足+3OB+4OC=0,

刃=1,下列结论中正确的序号为.

①瓦•/=-］；②网=2；③/A=2NC.

23.（2023-河北•模拟预测）已知。为△ARC的外心，AC=3,=4,则/•无百=

24.（2023款•上海，定二上海市嘉定区第一中学校考•期中）已知4、B、C为△ABC的三个内角，有

如下命题：

①若丛ABC是钝角三角形,则tanA+tanB+tan。＜0；

②若ZVIB。是锐角三角形，则cos＞!+cosB＜sinA+sinB；

③若G、〃分别为AABC的外心和垂心，且AB=1,AC=3,则而•初=4；

④在△4BC中,若sinB=/tanC=4，则A＞。＞B,

54

其中正确命题的序号是.

25.（2023秋•天泳南开•高三南开大学附舄中学校考开学考武）在AABC中，=3,AC=5,点N满足

BN=2NC,点。为ZVIBC的外心，则俞•N3的值为.

26.（2023-全■国•高三专题练习）已知G为△ABC的内心，且cosA-GA+cosB-GB+cosC-熬=6,则

ZA=.

27.（2023*全■国•高三十•题练习）在△ABC中，cosABAC=4,若。为内心，且满足AO=xAB+yAC,

O

则①+y的最大值为.

28.（2023•全•国•高三寿题练习）设/为△ABC的内心，若48=2,口。=23，47=4,则N7•反？=

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题

【nun..]

题型一:重心定理

题型二:内心定理

题型三:外心定理

题型四:垂心定理

【知识点植理】

一、四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二、三角形四心与推论：

（1）0是的重心：S^BOC；S&COA：S/XMB=1:1:1<=>OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的内心：SABOC:SACOA:S^AOB=a:b:COaOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

--->---►---►—>

SABO。：S4cOA:S丛AOB—sin2A:sin2B:sin2cQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S^BOC:S^coA:S^AOB—tanA:tanB:tanGQtanAOA+tanBOB+tanGOG=0.

【方法技巧与总结】

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.

朋|AC|

|近|•尼+|初卜配+|淳|•而=6oP为4ABC的内心.

⑵外心：|巨田=\PB\=|户讨oP为△ABC的外心.

（3）垂心：两♦屈=屈•用=刀•两oP为△ABC的垂心.

（4）重心：户N+两+Qd=6oP为△46。的重心.

题型一:重心定理

例1.（2023春•山东聊城•高一山东聊城一中校孝阶&练习）已知点G是三角形A6C所在平面内一点，满

足/+屈+/=6,则G点是三角形46。的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【答案】D

【解析】因为直+诟+文=6,所以/+加=一元=团.

以GA.GB为邻边作平行四边形GADB,连接GD交AB于点O.如图所示

则方=益,所以反5=4■刃，8是AB边上的中线，所以G点是△ABC

O

的重心.

故选:D

例2.（2023春•山东-高一阶段练习）已知G是△4BC的重心，点D满足配=玩,若元=xAB+

，则2+g为（）

A.Bc1D.1

o-1。3

【答案】A

【解析】因为晶=氏,

所以。为BC中点，

又因为G是△ABC的重心，

所以GD—卷40,

又因为。为BC中点，

所以#=+•|-而，

所以GD=9AB+-^-ACj+-^-AC,

所以c=y=卷，

所以/+g=-1-.

o

故选:A

例3.（2023春•上海金山•高一上海市金山中学校考期末）记4ABC内角4BC的对边分别为a,b,c,点

G是△4BC的重心，若3G_LCG,5b=6c则cosA的取值是（）

R57

A59BD婚

75-75。15

【答案】D

【解析】依题意，作出图形，

因为点G是△ABC的重心，所以河是BC的中点，故宿=*（须+芯），

由已知得\BC\^a,\AC\^b,\AB\^c,

因为BG，CG,所以GM=如0=^a,

11Q

又因为点G是△48。的重心，所以GN=*G_A,则AAG与Q+Q=£Q,

又因为|AM|2=+_AC）[所以-1-a2=^（c2+fe2+2bccosA）,则9a2=

62+2bccosA,

又由余弦定理得浸二/—2bccosZ,所以9(c2+b2-2feccosA)=c2+b2+2bccosA,整理得2c?+2b2—

5bccosA=0,

因为5b=6c,令b=6k(k>0),则c=5k,

所以2x(5fc)2+2x(6fc)2—5x(6k)x(5fc)cosA=0,

_122_61

则nlcosA4=访万=而.

故选：D

题型二:内心定理

例4.（2023春•江苏宿迁•高一泳用县修途中学校考期末）已知点P为AABC的内心，ZBAC=^-K,AB

O

=1,4。=2,若不=义荏+〃正,则4+〃=.

【答案】Q-那

【解析】在△ABC,由余弦定理得BC=VAC2+AB2-2AC-ABcosABAC=V7,

设。,Q,N分别是边AB,_BC,AC上的切点，设力N=8。=力，则NC—QC—2—x,BO—BQ=1—力，所以

BC=BQ+QC=l—x+2—x=V7^>x=3a,

由亦=；!通+〃正得，*•荏=(/l通+〃彩)•初，即\AO\-\

[1AC•AB=>AO=久一〃，①

同理由屈・*=(/]通+〃正)・/o24N=—/^+4z/,②

3—V7

联立①②以及AN=AO=/即可解得：/1+〃=3/=3x

2

故答案为：9一："

例5.（2023春•陕西西安•高一陕西舜大附中校考期中）已知。是平面上的一个定点，若、B、。是平面上

不共线的三点，动点P满足加=。N+l晋^+晋^]ueJR）,则点p的轨迹一定经过△/BC的

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

【答案】C

为乐方向上的单位向量，为前方向上的单位向量,

【解析】因为141r

期中

AB!AC

则的方向与/BAC的角平分线一致,

\AB\\AC\

(AB

AB，可得力一五才二

由OP^OA+AH+l4H+l

fAB

即Z?=/l网十肃〉

所以点P的轨迹为/BAO的角平分线所在直线,

故点P的轨迹一定经过△ABC的内心.

故选：C.

例6.（2023・全国•高一假期作业）已知/为△4BC所在平面上的一点，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA

+5语+0后=/,则/是^?18。的（）

A.重心B.内心C.外心D.垂心

【答案】B

【解析】因为用=玄+屈,/=玄+彩，所以

alA+bIB+cIC=aIA+b(IA+AB)+c(IA+AC]=(a+b+c)IA+bAB+cAC=Q,

所以(a+b+c)IA=—(b•AB+c,AC),所以

u=-(b-AB+c-AC)=-AB+—f—AC)

a+b+c'a+b+cQ+O+C)

------—(b•AB+c-AC)

Q十b十c\)

=_be[AB.AC]

a+b+c\cb/

be（ABAC］

a+b+c［网］福「

所以双在角A的平分线上，故点/在/BAC的平分线上，

同理可得，点/在/.BCA的平分线上，故点/在△ABC的内心,

故选：B.

例7.（2023春•四川成都•南一村德中学校考克春）在AABC中，cosA=：,O为4ABC的内心，若才5

=xAB+yAC（x,gGR）,贝1J/+g的最大值为（）

7-V78—2y/2

A.B.

35

【答案】D

【解析】如图：圆。在边AB,BC上的切点分别为E,F,连接OE,OF,

延长49交BC于点。

设AOAB=仇则cosA=cos2。=1-2sin2(9=菖，则sin6»=?

设AD=AAO=AxAB+AyAC

•JBQ,。三点共线，则/kc+/lg=1,即/+g

A

1=AO=40vA。=1=1=

T一~AD~力0+0。、FOF~,OE~

~AOV6~1+,AO*近

1=1=8—2四

1+sin。,V27

1+工

日口_i_v8—2V2

即力+。&---q---

故选:D.

题型三:外心定理

例8.(2023春•湖北武汉•高一校联考期末)在△ABC中，4B=2,AC=3,N是边上的点，且丽=

而Q为△4BC的外心，则福•而5=()

A.3B.竽C.3D.9

【答案】B

【解析】因为丽=而,则N是BC的中点，所以前=杂石+]■前，

设外接圆的半径为r,

所以而5•由7=市5•(十/+

=-1-AO-AC+-1-AO-AB=-1-rx3xcosAOAC+-1-rx2xcosAOAB

=y1X3X^-Q+y1X2Xl=^1-3.

故选：B.

例9.（2023春•河南许曷•高一统考期末）已知P在△力BC所在平面内，满足|户司=|屈|=|京|,则P是

△4反7的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【答案】A

【解析】I户司=声剧=\PC\表示P到AB,C三点距离相等，P为外心.

故选：A.

例10.（2023春•四川育贡•高一统考期末）直角4ABC中，/C=90。,=4,。为△ABC的外心，OA-

OB+OB-OC+OC-OA=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】；直角AAB解中，90°,AB=4,。为△ABC的外心,

/.O为AB的中点，即04=OB=2,

...51+丽=6且•砺=\OA\■\OB\-cosl80o=-4,

：.OA-OB+OB-OC+OC-OA^-4+OC-（OA+OB）^-4+0^-4：,

故选：B.

例11.（2023春•辽宁丹东•南一凤城市第一中学校考阶段练习）已知。为4ABC的外心，若AB=1,则

AB-AO=（）

112

A.—B.C.—1D,§

【答案】B

C

【解析】因为点。为△ABC的外心，设AB的中点为。，连接O。,则OOJL4B,如图

所以乐.1^=宿•（布+㈤）=也•初+油•皮=■说2+0=4"X12=]\

故选：B\

ADH

题型四:垂心定理

例12.（2023春•河南南用.高一统考期中）若H为A4BC所在平面内一点，且\HA[+|BC|2=\HB\2+

|由而旗『则点笈是△4瓦7的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】D

【解析】\HA[+|BC|2=\HB\2+\CA\2^\HA\2+（BH+HCy^\HB\2+（CH+HA）'2,

得丽•配=而・前=就•演=0,即团工也；

2222

\HAF+\BC[=\HC\+|AB|2^\HA\+（BH+HC）=\HC[+（AH+HB）,

得丽.舵=存.而n丽.*=0,即血工前;

|HB|2+|cl|2=师2+网2n网2+（曲+豆叶=府2+国+屈）2,

而•月N=N百•屈n庇•避=0,即/_L3,所以H为△48。的垂心.

故选：D.

例13.（多选题）（2023春•湖南长沙•商一长沙市明檐中学校考期中）已知O,N,P/在△ABC所在的平

面内，则下列说法正确的是（）

A.若\OA\=\OB\=|（54，则O是AABC的外心

B.若巨才•苑=屈•户方=无•声讨，则P是△ABC的垂心

C.若怠+福+标=0,则N是△ABC的重心

D.若闻•a=元•用=直•记=0,则/是△ABC的垂心

【答案】ABCD

【解析】对4根据外心的定义，易知A正确；

对B,PB-（PA-PC）=屈•可=0nPB_LGA,同理可得：P4_LCB,PC_LAB,所以P是垂心，故B

正确；

对C,记CA的中点为D、E、F,由题意瓦？+循=2诟=一雨?，则|M7|=2|ND|,同理可得：

|M4|=2\NE\,\NB\^2\NF\,则N是重心，故。正确；

对，由题意，CB_LAC_L7B,BA_L/。，则I是垂心，故。正确

故选：ABCD.

例14.（2023春•河南育R•方一商丘市第一高级中学校考阶段练习）设H是ZVIBC的垂心，且4月N+

5HB+6HC=。,则cosZ-AHB=.

【答案】一等

[解析卜・♦H是4ABe的垂心，

：.HA±BC,HA-BC=HA-（HC-HB）=Q,

：.HA-HB=HC-HA,同理可得，屈•正=能•屈，

故威•屈=屈/•朗

-.■4HA+5HB+6HC^Q,

：.4H^+5HA-HB+6HA-HC^0,

cos/AHB=

\HB\\HA\，8S-蔺西-|说11丽'

：.cos2ZAHB=TQ-,即cosZAHB=—

11

故答案为：一方言.

[HM391

一、单选题

1.（2023•四川泸州•泸县五中校考二模）已知△4BC的重心为。，则向量反5=（）

A.—AB+—ACB.-^AB+-^ACC.——AB+—ACD.——AB+—AC

oooooooo

【答案】c

【解析】设E,F,。分别是AC,AB,BC的中点，

由于。是三角形AB。的重心，

所以BO—卷BE—1x（AE—48）=1x

故选：c.

2.（2023-全国•高三专题练习）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为打，则下列结论不正

确的是（）

A.AO-AB=^-AB2

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C-过点G的直线,交△反AC于夙斤，若宓=2用则:+5=3

D.京与产器一+产华一共线

\AB\cosB|AC|COSC

【答案】B

【解析】如图，设AB中点为M,则OM,AB,：.\AO\cosAOAM=\AM\,

/.AO-AB^\AO\\AB\cosAOAB^\AB\(\AO\COSAOAB^=\AB\-^—

)叫；故A正确；

。2・晶=。4/等价于。:不（砺一33）=0等价于54瓦=0,即。4_16。，

对于一般三角形而言，。是外心，04不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中,

若口为直角顶点，则。为斜边AC的中点，。力与B。不垂直，故B错误;

设BC的中点为。,

则怒=等超=9（后+同J什屈+十而＞专通+上在

,；E,F,G三点共线，.，・+-^―=1,即义+工=3,故C正确；

J/to/ZAfJL

■BC^

|AB|cosBlACjcosCJ|AB|cosB因cosC

扉||阿COS(LB)"福l即cosC—

\AB\cosB|AC|cosCIlli

与反？垂直，又反？,

|AB|cosBIACJCOSC

与N月共线，故。正确.

|AB|cosSlACjcosC1

故选：B.

3.（2023*四川•校联考模拟颈测）在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+夕#,则

3rc+y=（）

A.yB.2C.yD.3

【答案】C

【解析】如图，设AC与BD相交于点。，由G为△BCD的重心，可得。为BD的中

点，

CG=2GO,则/=初+/=而+4■初=春xJ（而+#）=4+~|■乐,

ooD/'o

可得力=g=■，故3c+g=~|~.

OO

故选：C.

4.（2023秋•河南信旭•高三校考阶段练习）过△ABC的重心任作一直线分别交4B、A2于点。、E,若

AD=xAB,AE=,且即#0,则上+工=（）

6y

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】设4ABC的重心为点G,延长AG—点则M为线段BC的中点,

因为。、G、E三点共线，设的=4宏，即回苕一#=4（4商一前），

所以，AG=（l-/l）AD+/iAE=（l-A）xAB+AyAC,

因为M为的中点，则N羽=4豆+询=4豆+方就=4卫+

■|~（人。—AB）=+-^-AC,

因为G为△ABC的重心，则AG^^AM^^-AB+^-AC,

OOO

所以，（1—A^x=Ay=],所以，—+—=3（1—/!）+34=3.

Jxy

故选:B.

5.（2023款♦上海•高二专题练习）0是平面上一定点,48、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满

足：赤=6才+/1（通+衣）”>0,则直线4P一定通过△48。的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】取线段8C的中点E,则说+左=2通.B

P

动点P满足：OP^OA+A（AB+AC）,A>Q,E

贝”OP-OA^2AAE

则费二24次

则直线AP一定通过△ABC的重心.

故选：C.

6.(2023秋•湖北・il5二校或考1期中)0是△4BC的外心，AB=6,AC=1Q,AO=xAB+yAC,2x+Wy

=5,贝Ucos/A4O=()

【答案】D

【解析】当。在4。上，则O为4。的中点，力=0,。=/满足26+10g=5,符合题意,

AB_LBC,则cosABAC紫=春；

当。不在AC上，取AB,AC的中点D,E,连接OD,OE,则OD±AB,OE±AC,

故选：D

7.（2023•湖南•方考真题）P是△ABC所在平面上一点，若可•屈=国・/=无・两,则P是

△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】因为巨才•屈=丽•同，则屈-（PC-PA）=屈・/=0,所以，「6_14。，

同理可得P4_L,PC_LAB,故P是4ABC的垂心.

故选：D.

8.（2023-全国•高一专题练习）已知点O,尸在A4BC所在平面内，满。N+加+=6,|巨田=|三词

=|m|,则点O,P依次是△入口。的（）

A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心

【答案】A

【解析】设AB中点为。，因为。4+OB+OC=0,

所以。2+屈+/=2赤+定=6,即一2团=文，C

因为赤，而有公共点O,

所以，。,。，。三点共线，即。在△ABC的中线CD,