高中数学 第52讲 曲线与方程配套试题（含解析）理 新人教B版

[第52讲曲线与方程](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上2．[·北京朝阳区一模]已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率e＝eq\f(\r(6),2)，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为()A.eq\f(x2,2)－y2＝1B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1D．x2－y2＝13．已知点O(0，0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝04．[·皖北协作区联考]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，AM＝eq\f(1,3)，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为eq\f(8,9)，则P点的轨迹是________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点PA.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝16．[·德州模拟]已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq\o(MN,\s\up6(→))|·|eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x7．已知两定点A(1，1)，B(－1，－1)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(x2,2)，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线8．[·南平适应性测试]已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x<－1)B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1)C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x>0)D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x>1)9．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－eq\f(x2,48)＝1(y≤－1)B．y2－eq\f(x2,48)＝1C．y2－eq\f(x2,48)＝－1D．x2－eq\f(y2,48)＝110．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(QP,\s\up6(→))，则点Q的轨迹方程是________．11．F1，F2为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左，右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．12．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是________．13．[·北京卷]曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于eq\f(1,2)a2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)[·安徽卷]如图K52－1，设λ>0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足eq\o(BQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QA,\s\up6(→))，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足eq\o(QM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))，求点P的轨迹方程．图K52－115．(13分)[·茂名二模]如图K52－2，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为eq\f(1,2)，椭圆上的动点P到直线l：x＝eq\f(a2,c)的最小距离为2，延长F2P至Q使得|eq\o(F2Q,\s\up6(→))|＝2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足eq\o(PT,\s\up6(→))·eq\o(TF1,\s\up6(→))＝0.(1)求椭圆的方程；(2)求点T的轨迹C的方程；(3)求证：过直线l：x＝eq\f(a2,c)上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．图K52－2eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2eq\r(2)＝0相切．(1)求圆的标准方程；(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足eq\o(OQ,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(ON,\s\up6(→))(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2；(3)在(2)的结论下，当m＝eq\f(\r(3),2)时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B，D两点，求△OBD面积的最大值．

课时作业(五十二)【基础热身】1．B[解析]圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．A[解析]设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线的焦距为2c，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.根据已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝1，解得b＝1，a＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，故所求的双曲线方程是eq\f(x2,2)－y2＝1.3．A[解析]设P点的坐标为(x，y)，则eq\r(（x－1）2＋（y＋2）2)＝3eq\r(x2＋y2)，整理，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.4．抛物线[解析]如图．以点A为坐标原点建立直角坐标系，设P(x，y)，则P到A1D1的距离为eq\r(1＋x2)，P到点M的距离为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))\s\up12(2)＋y2)，根据已知得1＋x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－y2＝eq\f(8,9)，化简即得y2＝eq\f(2,3)x，故点P的轨迹为抛物线．【能力提升】5．C[解析]由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|＋|PF2|＝4，故动点P的轨迹是以定点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，故其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.6．B[解析]根据|eq\o(MN,\s\up6(→))|·|eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0得4eq\r(（x＋2）2＋y2)＋4(x－2)＝0，即(x＋2)2＋y2＝(x－2)2，即y2＝－8x.7．B[解析]点P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－1－y)．所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝eq\f(x2,2)，即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以点P的轨迹为椭圆，故选B.8．B[解析]如图，由切线长定理知|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．9．A[解析]由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，所以|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－eq\f(x2,48)＝1(y≤－1)．10．2x＋4y＋1＝0[解析]设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(QP,\s\up6(→))得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3x，,y1＝3y.))∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x2＋y2＝4[解析]延长F1D与F2A交于B，连接DO，可知|DO|＝eq\f(1,2)|F2B|＝2，∴动点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.12．y2＝2(x－1)[解析]F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，后两式相减并将前两式代入得(y1－y2)y＝2(x1－x2)，当x1≠x2时，eq\f(y1－y2,x1－x2)×y＝2，又A，B，M，F四点共线，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y,x－1)，代入得y2＝2(x－1)，当x1＝x2时，M(1，0)，也适合这个方程，即y2＝2(x－1)是所求的轨迹方程．13．②③[解析]①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF2|＝a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|＝a2；③三角形的面积S△F1F2P2≤eq\f(a2,2)，很显然S△F1F2P＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝eq\f(a2,2).所以②③正确．14．解：由eq\o(QM,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，则y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由eq\o(BQ,\s\up6(→))＝λeq\o(QA,\s\up6(→))，即(x－x1.y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝（1＋λ）x－λ，,y1＝（1＋λ）y0－λ.))②将①式代入②式，消去y0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝（1＋λ）x－λ，,y1＝（1＋λ）2x2－λ（1＋λ）y－λ.))③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝xeq\o\al(2,1)，再将③式代入y1＝xeq\o\al(2,1)，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝((1＋λ)x－λ)2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.15．解：(1)依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,\f(a2,c)－a＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＝2，))∴b2＝a2－c2＝3，所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)方法一：设点T的坐标为(x，y)．当P，T重合时，点T坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P，T不重合时，由eq\o(PT,\s\up6(→))·eq\o(TF1,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PT,\s\up6(→))⊥eq\o(TF1,\s\up6(→)).由|eq\o(F2Q,\s\up6(→))|＝2a＝4及椭圆的定义，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\o(QF2,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2a－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|，所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点．在△QF1F2中，|eq\o(OT,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(F2Q,\s\up6(→))|＝a＝2，所以有x2＋y2＝4.综上所述，点T的轨迹C的方程是x2＋y2＝4.方法二：设点T的坐标为(x，y)．当P，T重合时，点T坐标为(2，0)和点(－2，0)，当P，T不重合时，由eq\o(PT,\s\up6(→))·eq\o(TF1,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PT,\s\up6(→))⊥eq\o(TF1,\s\up6(→)).由|eq\o(F2Q,\s\up6(→))|＝2a＝4及椭圆的定义，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\o(QF2,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2a－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|，所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点．设点Q的坐标为(x′，y′)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′－1,2)，,y＝\f(y′,2)，))因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2x＋1，,y′＝2y.))①由|eq\o(F2Q,\s\up6(→))|＝2a＝4，得(x′－1)2＋y′2＝16，②将①代入②，可得x2＋y2＝4.综上所述，点T的轨迹C的方程为x2＋y2＝4.③(3)直线l：x＝eq\f(a2,c)＝4与x2＋y2＝4相离，过直线上任意一点M(4，t)可作圆x2＋y2＝4的两条切线ME，MF，所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，其方程(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(t,2)))eq\s\up12(2)＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))eq\s\up12(2).④EF为两圆的公共弦，③－④得EF的方程为4x＋ty－4＝0，显然无论t为何值，直线EF经过定点(1，0)．【难点突破】16．解：(1)设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则d＝eq\f(|－2\r(2)|,\r(12＋12))＝2，圆C1的方程为x