2025年高考数学总复习专项训练：直线与圆、圆与圆的位置关系

专练44直线与圆、圆与圆的位置关系

［基础强化］

一、选择题

1.圆(X—1>+。+2)2=6与直线2x+y—5=0的位置关系是()

A.相切B.相交但不过圆心

C.相交过圆心D.相离

答案：B

解析：圆心(1,一2)到直线2x+y—5=0的距离d==小〈加，

.•.两圆相交但不过圆心.

2.已知圆G：x2+y2=4,圆C2：x2+y2+6.r-8j；+16=0,则圆G与圆C2的位置关系是()

A.相离B.外切C.相交D.内切

答案：B

解析：的圆心C1(O,0),半径厂1=2,

又f+y2+6x—8y+i6=0可化为。+3)2+&-4)2=9,其圆心。2(—3,4),半径力=3,又圆心距|CiC?|

=7(0+3)2+(0—4)2=5=n+〃2,两圆相外切.

3.圆：f+y2—2x—2y+l=0上的点到直线x—y=2距离的最大值是()

A.1+也B.2

C.1+坐D.2+25

答案：A

解析：/+尸一2尤一2y+1=0可化为。-1)2+。-1)2=1,其圆心C(l,1),半径为1,圆心C到直线x

一厂2=0的距离公业二:Vp=也，，圆上的点到直线距离的最大值为1+厂=也+1.

4.两圆Ci：/+丁一4x+2y+l=0与C2：/+产+4X-4y—1=0的公切线有()

A.4条B.3条C.2条D.1条

答案：B

解析：圆G：(x—2)2+(y+l)2=4,圆C2：(x+2)2+7—2)2=9,.•.圆心Ci(2,-1),C2(-2,2),半径

n=2,冷=3,圆心距|CiC2|=］(—2—2)?+(2+1)工=5,

n十力=5,

...|CiC2|=n+r2,，两圆G与C2外切，

它们有3条公切线.

5.已知直线/：y=k(x+yl3)和圆C：f+Q—1>=1,若直线/与圆C相切，则％=()

A.0B.小

C.雪或0D.小或0

答案：D

解析：由题意得圆心(0,1)到直线区一y+仍％=0的距离为1,即:=1得左=0或%=小.

弋m+1

6.已知直线/经过点(0,1)且与圆(x—1产+产=4相交于A、B两点,若|明=2娘，则直线/的斜率左

的值为()

A.1B.—1或1

C.0或1D.1

答案：D

解析：由题意得圆心(1,0)到直线I：y=fcv+l的距离d为1=隼用=74—(巾)2,得(左+1>=

7卜+1

2(^+1),得上=1.

7.已知圆炉+尸+法-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数。的值是()

A.12B.14C.16D.—8

答案：B

解析：x^~\~y2~\~2x—2y-\-a=0可化为（x+lp+G—1）2=2—a,

则圆心（一1,1）到直线x+y+2=0的距离d=l走昔Z=小,

由题意得2+22=2—a,.,.a——4.

8.已知。M：/+y2—2x—2y—2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点.过点P作。/的切线抬,

PB,切点为A,B,当IPMM8I最小时，直线A8的方程为（）

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+l=0D.2x+y+l=0

答案：D

解析：如图，由题可知，ABLPM,

=-

\PM\-\AB\2Sssit用APBM=2(SAB4M+S/^PBM)~2(|B4|H|PB|),

'：\PA\=\PB\,

：.\PM\-\AB\=^\PA\=^\PM^—\AM^=4y/\PM\2~4,

当|PM最小时，FMHABI最小，易知|PMmin=*^=y[5,此时陷|=1,AB//1,设直线AB的方程为

74+1

y=-2x+b(b^~2'),

圆心M到直线A3的距离为1=巨7萼，

41^414,,AB\2,

=|MA|

|AB|=iw=忑'•,•"+T|)

即一5一=4,解得》=—1或人=7(舍).

综上，直线A3的方程为>=—2x—1,即2x+y+1=0.故选D.

9.若直线/与曲线y=5和圆好+>2=点都相切，贝心的方程为()

A.y=2x+lB.y=2x+；

C.y=2x+1D.y=2%+T

答案：D

解析：方法一（直接计算法）由题可知直线/的斜率存在且不为0,设直线/为丁=丘+相，直线/与曲

线y=5的切点为A（xo,yo）.由导数的几何意义可知工a=k,即，点A既在直线/上，又在曲

.(yo=kxo+m9即+机=（,化简可得，又：直线/与

线y=y/x上，••]।—・•kxo+m=yjX。

lyo=\xo.

圆f+y2=g相切，=害,将根=/代入化简得16k4+163一5=0,解得3=（或F=-1（舍

去）「：y=5的图象在第一象限，.•・%＞（）,.,・%=3，，m=3，，/的方程为y=T.故选D.

方法二（选项分析法）由选项知直线/的斜率为2或3,不妨假设为2,设直线/与曲线）=/的切点

为尸(Xo,yo),则3=2.解得Xo=表,则yo=(,即2玲，4)，显然点?在圆『十产二士内，不符合

题意，所以直线/的斜率为3，又直线/与圆f+y2=g相切，所以只有D项符合题意，故选D.

二、填空题

10.若圆d+y2—4x—4y=0上至少有3个不同的点到直线/：y=履的距离为娘,则直线/的斜率左

的取值范围是.

答案：[2一小,2+3]

解析：/+9一4左一4伊=0可化为。-2)2+。-2)2=8,.•.圆心为(2,2),半径为2巾.当圆心到直线I

的距离为6时，圆上恰好存在3个点到直线I的距离为也，，圆心到直线I的距离应小于或等于也，

.^21<./2

•,肝彳，

**.2—y[3WkW2+\[^.

11.[2023•新课标II卷]已知直线x—切+1=0与。C：(x—1>+产=4交于A,8两点，写出满足“△ABC

面积为卷”的m的一个值________.

答案:2(答案不唯一，可以是4，±2中任意一个)

解析：设直线x—my+l=0为直线/,由条件知。C的圆心C(l,0),半径R=2,C到直线/的距离d

=在\，四尸2病二7=2正(号)2=4,由％BC4，得3义谭，*号

Q1

=5,整理得2苏一5卜川+2=0,解得相=±2或机=±],故答案可以为2.

12.过点尸(1,-3)作圆C：(x-4)2+3-2)2=9的两条切线，切点分别为A,B,则切线方程为

答案：x=l或8x—15y—53=0

解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x=l,

当切线的斜率存在时，设切线方程为y+3=k(x—1),

即：kx—y—k—3=0,由题意得

阳一2一左一3|一比，8

严1=3,,Qu'

二切线方程为8x—15y—53=0.

[能力提升]

13.[2024•全国甲卷(理)]已知。是a,c的等差中项，直线办+by+c=O与圆/+9+4>-1=0交于A,

8两点，则|A8|的最小值为()

A.1B.2C.4D.2小

答案：C

解析：因为a,b,c成等差数列，所以a—26+c=0,所以直线ax+6y+c=0怛过点尸(1,-2).x2-ky2

+4y—1=0化为标准方程得f+Q+2)2=5,则圆心C为(0,—2),半径r=^,则|PC|=1,当PCLAB

时，|AB|取得最小值，此时|AB|=2d5—|Pq2=4.故选C.

14"2023•新课标I卷]过点(0,—2)与圆x2+y2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.雪C.乎D.小

答案：B

解析：

如图，f+y?—4x—1=0得(%—2)2+丁=5,所以圆心坐标为(2,0),半径r=小，所以圆心到点(0,一

2)的距离为勺(2—0)2+(0+2)2=2^2,由于圆心与点(0,—2)的连线平分角a,所以sin5=击=

=:一，所以cos=5-,所以sina=2sm]cos]=2X*—Xq-=^~•故选B.

15.[2022・新高考I卷，14]写出与圆x1+y2=l和(x—3/+。-4月=16都相切的一条直线的方程

答案：3x+4y—5=0或7x—24丁一25=0或x+1=0(答对其中之一即可)

解析:

由题意知两圆的圆心和半径分别为01(0,0),。2(3,4),n=l,々=4.因为|01。2|=%+井2,所以两圆外

i344

切.由两圆外切，画出示意图，如图.设切点为A(x,y).由5A=m0。2,得，弓).因为%。。2=］，

.3433

所以切线/1的斜率左1=一4,所以/1：y—5=一4)，即3x+4y—5=0.由图象易得两圆均与直线/2：

_4^x=­l,

X=—1相切，过两圆圆心的直线方程为/：y=SX.联立W解得|4故直线/与/2的交点为

U-i,