奔驰定理与四心问题（五大题型）（原卷版）-2025数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

重难点突破01奔驰定理与四心问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：奔驰定理...............................................................3

题型二：重心定理...............................................................5

题型三：内心定理...............................................................6

题型四：外心定理...............................................................6

题型五：垂心定理...............................................................7

03过关测试.....................................................................8

1/12

技巧一.四心的概念介绍：

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等.

(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理一解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点/(西，乂)，B®，y2)，C(x3,y3),贝！IAABC的重心坐标为

+工2+%%%%.

3'3

注意：(1)在八＜8。中，若。为重心，贝D+历+*=0.

(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+SBOB+SCOC=0,则△/(»、zuoc、A8OC的面积之比等于

%-A

奔驰定理证明：如图，令45=两，4砺=函，^pc=ocx,即满足Ci+砺i+。匕=o

技巧三.三角形四心与推论：

(1)。是A4BC的重心：S^BOC:S^COA:S^0B=1-A:1^OA+OB+OC=6.

(2)。是AA8C的内心：S.„„.S.=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=6.

Z-AxJt/cVrnA

(3)。是△/BC的外心：

：SCCA：S/\ACR-sin2A:sin2B:sin2C=sin2/CM+sin+sin2coe=0.

SAAUMC2、_XCCZ4LSAUD

(4)。是的垂心:

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SA50C:SACOA:=tan4:tanB:tan。«tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见结论

ABAC

(1)内心：三角形的内心在向量同网所在的直线上.

|Z8|.PC+|5c|-PC+|c3|-PS=bP为A43c的内心.

(2)外心：|莎卜|而卜P为zMBC的外心.

(3)垂心：沙•丽=丽・定=京・莎o尸为ZUBC的垂心.

(4)重心：⑸+而+元=0o尸为△/3C的重心.

题型一：奔驰定理

【典例1-1】已知。为“BC内一点，且满足力+力幅+(/-1)双=6,若ACUB的面积与ACMC的面积的比值

为!，则X的值为()

4

341

A.—B.—C.-D.2

432

【典例1-2】点。在的内部，且满足：7o=1z§+|^c,则的面积与“05的面积之比是

()

75

A.—B.3C.-D.2

22

【变式1-1】设〃是内一点，且乐•就=2百，/氏40=30°,定义/(河)=(加，%p),其中私凡夕分

若/(M)=t，x,3，则工+±的最小值是()

别是AMBCQMC4AM43的面积，

A.9（百+1）B.18C.16D.9

3/12

【变式1-2］设/=；（次+衣），过G作直线/分别交/5,/C（不与端点重合）于尸,0,若衣=彳刀,

ULlUrLILIU7

AQ=)AAC,若A/"G与AQ/G的面积之比为则〃=

【变式1-3］（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结

论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是

A八四

内一点，ABMC,"MC,/的面积分别为SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命题正确的有（）

A.若SJSB：SC=1：1：1,则河为A4WC的重心

B.若“为AASC的内心，则8C・7+/C・施+48•沅=0

C.若/S/C=45。，ZABC=60°,M为“3C的外心，则,：&：S。=6:2:1

D.若〃■为AABC的垂心，3忘+4筱+5就=6，贝！Jcos/4WS=-逅

【变式1-4］（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是内的一点，BOC,AAOC,

“08的面积分别为邑,邑,则有邑.力+,•历+品•灰=0.设。是锐角。3C内的一点，NBAC,

ZABC,N/C3分别是段I8C的三个内角，以下命题正确的有（）

B.若方+切+3无=6，则臬：邑：7=上2：3

uuiLium571__►__»__.9

c.若IGUHO8H2,ZAOB=—,2OA+3OB+4OC=0^贝！|5“g=二

62

4/12

D.若O为AASC的垂心，贝Utan/8/C-E+tanN/8C^+tan//C8&=(T

题型二：重心定理

【典例2-1】已知。是“8C所在平面内一定点，动点尸满足

__,_.4RAC

OP=OA+A曰——+=——，2e[0,+s),则动点尸的轨迹一定过“BC的____.(选填：外心、内

\AB\smBLlCsinC

心、垂心、重心）

【典例2-2］（2024・高三•陕西渭南•期末）如图所示，AASC中G为重心，尸。过G点，AP=mAB，

__-.11

AQ=nAC,则一+—=—.

~mn

【变式2-1］（2024・陕西西安・模拟预测）在平行四边形4BCD中，G为△BCD的重心，AG=xAB+yAD,

贝l]3x+尸

【变式2-2］（2024・高三•上海普陀・期中）在A/18c中，过重心G的直线交边AB于点P,交边ZC于点。

U.UULUUUI---------►---------►

（P、。为不同两点），且=AQ=juAC,则2+〃的取值范围为___.

【变式2-3］在AABC中，角48,C所对的边分别为a,b,c,已知”=1,A=60°,设。，G分别是

的外心和重心，则酢.前的最大值是（）

【变式2-4］（2024•全国•二模）点QP是“BC所在平面内两个不同的点，满足而=厉+砺心，则直

线。尸经过“的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

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题型三：内心定理

【典例3-1】已知。为A48C的内心，cos/48c=：,且满足的=》函+y瓦"则》+了的最大值为.

【典例3-2】在△Z8C中，cosZ5^C=1,若。为内心，且满足而=x^+y工，则x+y的最大值为一

【变式3-1】已知点O是边长为旗的等边A43C的内心，贝可灰+/）・（刀+砺）=_.

【变式3-2］（2024•高三•山东聊城•期中）已知。是“BC的内心，AB=9,SC=14,CA=13,贝U

AO-AB^•

【变式3-3】已知RM/BC中，AB=3,/C=4,BC=5,/是的内心，尸是“SC内部（不含边界）

的动点.若办=%易+〃於（A,〃eR）,则2+〃的取值范围是—.

题型四：外心定理

【典例4-1】已知点O在“BC所在平面内，满足|5|=|砺卜|反|,则点O是“3C的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【典例4-2］。为“3C所在平面内一点，且满足（夕+砺）.诙=（砺+反）.赤=（反+刃）.就，则。是

^ABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【变式4-1］（2024・天津北辰•三模）在"8C中，|在|=2后，。为外心，且前.％=1，则

/ABC的最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【变式4-2］在AABC中，AC=2近,。是“3C的外心，M为3C的中点，ABAO=8>N是直线ON

.一―，，，4,I,LILlUlLLLU

上异于M、。的任思一点，则4N4C=（）

A.3B.6C.7D.9

6/12

।ULU］

【变式4-3】已知。为“8C的外心，回=4,则而.荏=()

A.8B.10C.12D.1

【变式4-4］在“BC中，AB=4i,NACB=45°,。是“BC的外心，则就.前+玩•费的最大值为

【变式4-5］已知内一点。是其外心，sin/二孚

0<A<^S.AO=mAB+n'AC^则加+，?的最

大值为.

【变式4-6］在AA8C中，N/=60。，BC=6。为“3C的外心，D,E,歹分别为NB,BC,。的

.»2*2►23_____►►

中点，且m+w+。厂="则以砺+砺反+%次=

题型五：垂心定理

—.1—»1—.

【典例5-1】已知》8c的垂心为点。，面积为15,且N4BC=45。，则丽.前=；茗BD=—BA+—BC,

一23

则|阿

【典例5-2】若石是的垂心，且2直+2市+3阮=6，则tanC的值为—.

【变式5-1］在“BC中，三个内角分别为1,B,C,48=4,AC=3,BC=2,〃为“BC的垂心.若

----,---，----►,v

AH=xAB+yAC,则二=—.

X

___1—►2—►

【变式5-2］已知H为“的垂心(三角形的三条高线的交点)，^AH=-AB^-AC,则

sinZBAC=—.

【变式5-3】已知在中，48=4C,BC=6,点〃为的垂心，则丽.就=.

7/12

㈤3

i寸苦涮试

1.已知。是"BC内部的一点，OA+OB+3OC=0^则AO/3的面积与AABC的面积之比是()

A.-B.1C.-D.-

2353

__„4dAD___„DA

2.(2024・四川南充•三模)已知点尸在“BC所在平面内，若莎丽<^-^)=0,

\AC\\AB\|SC|\BA\

则点P是AABC的()

A.外心B.垂心C.重心D.内心

3.已知G,O,77在"BC所在平面内，满足田+豉+灰|力|=|砺|=|反

AHBH=BHCH=CHAH>则点G,O,X依次为A48c的()

A.重心，外心，内心B.重心、内心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

4.。是平面上一定点，/、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：

OP=OA+A(AB+^4C),A>0,则直线/P一定通过AA8C的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.已知点/、B、C是平面上不共线的三点，点。为“3C的外心，动点尸满足条件：

OP=1[(1-2)04+(1-2)OB+(1+22)OC](2eR,A^O),则点P的轨迹一定通过"8。的().

A.内心B.垂心C.重心D.边的中点

6.(2024・全国•模拟预测)已知点。是“3C的重心，过点。的直线与边43,NC分别交于M,N两点，D

UUUlLILIL1LUUU.

为边8C的中点.若45=尤4W+y/N(x,yeR),则x+V=()

A.—B.-C.2D.1

232

7.已知O,A,B,C是平面上的4个定点，A,B,C不共线，若点尸满足赤=7+2项+就)，其

中；leR,则点P的轨迹一定经过AABC的()

A.重心B.外心C.内心D.垂心

8.已知AJBC的重心为O,则向量丽=()

2—.1_k2uur1uuw

A.-AB+-ACB.——AB+-AC

3333

C.--AB--ACD.-AB--AC

3333

8/12

9.已知“3C的重心为。，若向量50=x48+y/C,贝!|x+y=（）

2121

A.-B.-C.——D.——

3333

10.已知在“BC中，〃为AABC的垂心，。是AA8C所在平面内一点，^.OA+OB=CH则以下正确的

是（）

A.点。为“BC的内心B.点。为“3C的外心

C.ZACB=9QaD.为等边三角形

11.已知。是平面上一定点，4B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足丽=况+〃益+工），

Ae（0,+oo）,则P的轨迹一定通过“3C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

12.在中，动点尸满足02=而，2篇.屈，则尸点轨迹一定通过。BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

13.（多选题）（2024•高三•江西新余•期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中

一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内

容是：己知〃'是AABC内一点，ABMC,&AMC,A/Affi的面积分别为色，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC^0.以下命题正确的有（）

A.若邑：=则胡为"BC的重心

B.若M为AABC的内心，则8c.7+/C・施+48.荻=0

C.若M为AA8C的垂心，3MA+4MB+5MC=贝UtanZ8/C:tanZABC:tanZ8C4=3:4:5

D.若/A4c=45。，ZABC=60°,M为AABC的外心，则邑：邑：$c=#：2:1

14.（多选题）（2024・江苏南京•二模）已知"3C内角A,B,C的对边分别为。，b,c,。为“3C的

重心，cos/=g,/。=2,贝I］（）

―.1一1—___

A.AO=-AB+-ACB.AB-AC<3

C.“3C的面积的最大值为3如D.。的最小值为2店

15.（多选题）（2024•辽宁•二模）的重心为点G,点。，尸是所在平面内两个不同的点，满足

OP=OA+OB+OC^贝！I（）

A.尸,G三点共线B.OP=2OG

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C.2OP^AP+JP+CPD.点P在"8c的内部

16.（多选题）已知点。是23C所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）

A.^OA+OB+OC=0>则。为AA8C的重心

B.若|5|=|历卜|历|,则O为08C的内心

C.若O为“3C的重心，AD是3C边上的中线，贝!]370=75

D.若方+砺=而，则

17.（多选题）点。为。3C所在平面内一点，则（）

A.^OA+OB+OC=0^则点。为ABC的重心

/___,___k\

ACAB

B.右O/.|=|-|=T=OB-则点。为。8c的内心

C.若（由+砺）•荔=（赤+0?）•就=0,则点O为“BC的垂心

D.在“3C中，设就2一次2=2前.前，那么动点。的轨迹必通过“BC的外心

18.（多选题）已知"，N在“8c所在的平面内，且满足力/显=而7.。k=而乙]应，

CA^NB+2NA，则下列结论正确的是（）

A.M为08C的外心

B.M为“3c的垂心

C.N为“BC的内心

D.N为“3C的重心

TT

19.（多选题）在“3C中，角48,C的对边分别为a,6,c,a=3,/=§,O为AABC的外心，则（）

A.若“3C有两个解，贝i]3<c<2®

B..元的取值范围为[-36,3e]

C.而.希的最大值为9

D.若瓦C为平面上的定点，则/点的轨迹长度为|右兀

——>1—>1—.

20.设M为内一点，^AM=-AB+-AC,贝！J△AffiC与的面积之比为一.

24

21.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三

角形的四心（重心、内心、外心、垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若尸是内一点，

ABPCQAPC/APB的面积分别为邑,邑,Sc,则有邑•方+冬•丽+Sc=G.已知。为^ABC的内心，且

cosZBAC=^,若4万=机益+〃就，则机+〃的最大值为.

10/12

A

22.我校高一同学发现：若。是内的一点，R0C、“0C、”03的面积分别为S八SB、SC,则

存在结论+砺+Sc•双=6,这位同学利用这个结论开始研究：若。为“8C内的一点且为内心,

“BC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且cos8=』，若瓦5=x瓦i+y及"则x+了的最大值

6

为.

23.已知点尸为AABC内一点，2团+3砺+5无=6则“尸B，"PC,A"C的面积之比为_.

24.已知点尸在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是—.

①若尸为"8C的垂心，AB-AC=2.则9•刀=2

②若^ABC为边长为2的正三角形，则莎•(而+卮)的最小值为-1

(\/\

—►11—,11—,

③若/尸=+-AB+——+-AC,则动点尸的轨迹经“3C的外心

J画cosB2j["cosC2J

④若尸为AABC的重心，过点P的直线/分别与48、4c交于E、F两点，若通=彳益，万=〃就,

则卜卜

25.点。是平面a上一定点，A,B,C是平面c上的三个顶点，NB,NC分别是边NC,48的对

角.有以下四个命题:

①动点尸满足无=次+丽+元，则23C的外心一定在满足条件的P点集合中;

/____\

—►―・~AB14C

②动点尸满足。尸=。4+4=+=(A>0),则的内心一定在满足条件的P点集