2024年人教版八年级上册数学同步训练：分式（解析版）

第01讲分式

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握分式的概念并能够根据概念熟练解题。

①分式的概念2.掌握分式有意义的条件，并能够熟练解决相应的题

②分式有意义的条件目。

③分式的性质3.掌握分式的性质，能够熟练的应用分式性质进行约

分和通分。

思维导图

知识清单

知识点01分式的概念

i.分式的概念:

A

一般地，若/与3均是整式且B中含有字母，那么式子一叫做分式。其中A叫做分子,

B

B叫做分母。

2.分式满足的三个条件：

A

①式子一定是一的形式；

B

②/与8一定是整式；

③3中一定含有字母。

简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。

题型考点：①分式分判断。

【即学即练1】

1.下列各式冽2-2,2,乙，2士L,工，空工，属于分式的有（）

3冗2px+12

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：包,，工是分式，共2个.

px+1

故选：C.

【即学即练2】

2.代数式2x,上，1,空L工中，属于分式的有（)

5H3x

X2+4x+2x-1

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：分式有：一一，工，工乌x?-l

x，4xx+2x-1

整式有:2

3

分式有4个,

故选：C.

知识点02分式有意义的条件

1.分式有意义的条件:

A

即要求分式的分母不能为o。即一中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进

B

行因式分解，让每一个因式都不为0。

题型考点：①根据分式有意义的条件求值。

【即学即练。

3.当x取什么值时，式子在有意义（)

x+5

A.x=—B.x=-5C.x^—D.xW-5

22

【解答】解：由题意可得x+5W0,

则xW-5,

故选：D.

【即学即练2】

4.若分式丝S有意义，则实数x的取值范围是x#-7

x+7

【解答】解：•.,分式丝且有意义，

x+7

，x+7W0,

解得xW-7.

故答案为：x#-7.

【即学即练3】

5.当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（）

【解答】解：A.当x=-l时，该分式没有意义，故本选项不合题意；

B."NO,

.\x2+l>0,

.•.当x为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；

C.当x=-l时，该分式没有意义，故本选项不合题意；

D.当苫=±1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；

故选：B.

知识点03分式的值

1.分式的值为o的条件：

分式的值为0的条件为要求分子必须为0,同时要求分母不为0o

/

即一中，4=0,5W0。

B

对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0,让分母里面所有因式的

值不等于0o

题型考点：①分式值为。的条件。

【即学即练1】

2

6.若分式三二的值为0,则x的值是（）

x2-11

A.0B.1C.1或0D.0或-1

【解答】解：根据题意得，-x=0且x2-1W0,,

解得x=0.

故选：A.

【即学即练2】

7.分式（x+2;（x+3）的值为0,则x的值为（）

x-4

A.2或-2B.2C.-2D.-3

【解答】解：:分式互吗织包的值为0,

・•・（x+2）（x+3）=0且N-4W0,

解得：x=-3,

经检验，x=-3是方程的解，

故选：D.

【即学即练3】

8.若分式」止3的值为0,则X的值为（）

x+3

A.±3B.0C.-3D.3

【解答】解：由题意得［鼠卜3=0,

lx+3卉0

解得x=3.

故选：D.

2.分式的值：

AA

若分式一的值是正的，则2-8>0,即/与8同号；若分式一的值是负的，则Z-8V0,即/与2

BB

异号。

题型考点：①根据分式的值求取值范围。②根据式子的值求分式的值

【即学即练1】

9.若使分式的值为负数，则X可以取的值为（）

2x-5

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：・・・/+i>o,

二当分式立!的值为负数时，

2x-5

2x-5<0,

解得x<S,

2

故选：A.

【即学即练2】

10.若分式6：+12的值为整数,则正整数X的个数为（）

x-x-6

A.4B.6C.7D.8

【解答】解：6/12

x-x-6

_6（x+2）

（x-3）（x+2）

=6

x-3

:分式6/12的值为整数,

x-x-6

-3=±1或±2或±3或±6,且x+2W0,

，正整数x=4或2或5或1或6或9,共6个，

故选：B.

【即学即练3】

22

11.已知x+y=5,xy=2,则立在f的值为（）

x2y+xy2

27

A.2B.2C.3D.

4To

【解答】解：原式=（X切产+xy,

xy（x+y）

把x+y=5,盯=2代入得：

故选：D.

【即学即练4】

12

12.已知乂二二2，则----J—的值是（）

xX4+2X2+1

A—B.ACD.1

679

【解答］解：..•上逐士L=/+2+上

2„2

=（X--1）2+2+2

=4+2+2

=8,

2

x的值为工,

X4+2X2+18

故选：c.

知识点04分式的性质

1.分式的性质的基本内容:

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于o的整式,分式的值一不变

2.式子表达：

卡后

AA'CAA.-i-Cp,lx

——------,——--------(4、B、C均TH整式且CW0)

BBCBB+C

3.分式的符号改变法则：

分式的分子，分母以及分式本身均有符号,改变其中任意两个符号分式不会发生改变。

A-A-AA

即nn：一=---=------=------

B-BB-B

题型考点：①分式基本性质的应用。

【即学即练1】

13.下列等式从左到右的变形一定正确的是（)

CakaD.—=

bb-4nbbe.bk-bb

【解答】解：/、曳W空也（加W0）,所以/选项不正确;

bb+m

B、若c=0,则巨中或，所以8选项不正确;

bbe

C、包二=至，所以C选项正确；

bkb

D、A=所以。选项不正确.

bb2

故选：C.

【即学即练2】

14.根据分式的基本性质，分式可变形为（）

a-2b

A.i-B.」c•渴

a-b-2b

【解答】解：A.・・2a2aa

2a-2b2(a-b)a-b

_^L_w」一,故本选项不符合题意;

a-2ba-b

B.3-/」一,故本选项不符合题意;

a-2b~2b

Q2a-一2a于-2a故本选项不符合题意；

a~2b~a+2ba+2b

D2a_2aX2_国—，故本选项符合题意;

-a-2b(a-2b)X22a-4b

故选：D.

【即学即练3】

15.若把分式迎中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值()

x+y

A.不变B.扩大3倍C.扩大9倍D.不确定

【解答】解：3X3X.=9x所以分式的值不变.故选/.

3x+3y3(x+y)x+y

【即学即练4】

16.把分式2二上中的x,y都变为原来的5倍，则分式的值()

x+y

A.变为原来的5倍B.不变

C.缩小到原来工D.变为原来的25倍

5

【解答】解：红红学义工匚

5x+5y5(x+y)x+y

・,•分式的值不变，

故选：B.

题型精讲

题型01分式的判定

【典例1】

2

下列各式：3a+b212C1

x方y>5,工,分式有（)

a~7~X-1,8冗X

A.1个B.2个C.3个D.4个

12

【解答】解：1」一，三-是分式,

aX-1X

故选：C.

【典例2】

下列各式：3a+b21251

x方y，5,工中，分式有（

a~7~x-l8m

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：下列各式：3,色也x2」y2,5,_1_,其中，分式有：3,_1_,工，共有3

a72yx-l8max-18m

个.

故选：C.

【典例3】

2qo

下列各式：尤2+5工，三+1，2L-12L,£,其中分式有（）

2x打

A.1个B.2个C.3个D.4个

2工

【解答】解：三二区是分式，共1个，

X

故选：A.

【典例4】

2

在式子1;2?；*5uw9x3；三-中，分式的个数是（

a兀46+x78yx

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：在式子上;2xy.3abe59x*4

a兀，~4~6+x

2

分式有：工；一工；9x%x

a6+xx

即分式有4个.

故选：B.

题型02分式有意义的条件

【典例1】

要使分式一L有意义，则X应满足（）

1-x

A.x>lB.x<lC.xWlD.x=l

【解答】解：•.♦分式上有意义，

1-x

1-xWO,

解得Xw1.

故选：C.

【典例2】

要使分式互1有意义，则X应满足的条件是（）

x-2

A.%W2B.xWOC.xW-1D.xW-2

【解答】解：依题意得：X-2W0,

解得xW2.

故选：A.

【典例3】

要使式子辿也有意义，则m的取值范围是（）

m-1

A.加2-1且冽B.冽W1C.m>\D.m>-1

要使式子强L有意义,

【解答】解:贝I］加-1WO,

m-l

解得加W1,

故选：B.

【典例4】

下列分式中，有意义的条件为xW2的是（）

A.—B.C.-^―

2x-4x+2x+2

【解答】解：4、有意义，.•.2x-4/0,解得xW2,符合题意;

2x-4

8、：」一有意义，；.x+2W0,解得xW-2,不符合题意;

x+2

C、有意义，.•.x+2W0,解得xW-2,不符合题意;

x+2

。、•••/2有意义，1WO,解得xWl,不符合题意.

X-1

故选：A.

题型03分式值为0的条件

【典例1】

2_o

当x时，分式^~~~的值为0.()

--------(x-1)(x-3)

A.x=3B.x=\C.x=±3D.x=-3

f2

【解答】解：由题意得：X-9=0,

L(x-1)(x-3)-0

解得x=-3.

故选：D.

【典例2】

若分式x（xT）（x-2）的值为0,则％的值为（）

x-4

A.0或1或2B.0或-2或2C.0或1D.0或-2

【解答】解：x（x-l?（X-2）的值为0,

x-4

...X（X-1）（X-2）=0且X2-4#0,

解得：x=0或x=l.

故选：C.

【典例3】

如果分式।x12的值为零,那么x等于（）

x-2

A.2B.-2C.2或-2D.0

【解答】解：XI-2的值为零,

x-2

.•.|x|-2=0且x-2#0,

解得x=-2.

故选：B.

【典例4】

2

若分式王^生的值为0,则X的值为（）

x+8

A.8B.-8C.8或-8D.4

【解答】解：由题意得:

2

X-64=0；

、x+87to

解得x=8.

故选：A.

题型04式子的求值问题

【典例1】

若分式等£的值为负数，则》的取值范围是()

x2+l

A.x为任意数B.x<2C.x>-2D.xW2

【解答】解：・・・N+i>o,

要使分式写生的值为负数，

x2+l

即2x-4<0,

故选：B.

【典例2】

若分式等L的值为正，则x的取值范围是()

C.X>_A,且x#0D.X<-1

【解答】解：:工?〉。，且XWO,分式然■的值为正，

X

.*.2x+l>0,

..X〉」，

X2

/.K>」^xWO.

X2

故选：C.

【典例3】

若分式£'-12的值为正整数,则整数x的值为0,1.

x-2x-3

【解答】解：.fx-12丫,3)=乙值为正整数,且了会3,

X2_2X_3(X-3)(X+1)X+1

二整数X的值为0,1.

故答案为：0,1.

【典例4】

则2x-3xy-2y的值为(

若尸)

l-2xy+xy-x

A.—B.-1c.3D.」

333

.'•y-2xy=x,

••y-x=2xy,

・2x-3xy-2y2x-2y-3xy

y+xy-xy-x+xy

_-7xy

3xy

-—-一7,

3

故选：D.

【典例5】

已知x2-3x-m=0,则代数式T—的值是（）

x-x-m

A.3B.2C.1D.工

32

【解答】解：由N-3x-加=0得/-冽=3x,

故选：D.

题型05分式的性质

【典例1】

下列等式从左到右变形正确的是（）

X2+1

A.=xB.-；=]

X2

2

C.*=-lD.工=二

x-yxv2

【解答】解：A.工，故本选项不符合题意;

B.2L^L=i+-L,故本选项不符合题意；

x2x2

c.2^r=-(x-y)=7,故本选项符合题意；

x-yx-y

D.工二工二工，故本选项不符合题意.

Xx*x

故选：C.

【典例2】

根据分式的基本性质，把分式上(x#0,y。。)中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值

x+y

()

A.扩大2倍B.缩小2倍C.改变D.不改变

【解答】解：根据题意得：——在—=上，

2x+2y2(x+y)x+y

即分式的值不改变.

故选：D.

【典例3】

若分式三曲-中的x,＞都扩大原来的3倍，那么分式的值()

3x-2y

A.扩大为原来的9倍B.扩大为原来的3倍

C.不变D.缩小到原来的工

3

3x+2X3y_3(x+2y)_x+2y

【解答】解：分式的x,y都扩大原来的3倍变为：

3X3x-2X3y-3(3x-2y)-3x-2y

即x,y都扩大原来的3倍后分式的值不变，

故选：C.

【典例4】

下列分式从左到右的变形中正确的是()

x1

A.--7———=x_1B•一/

x(X-1)x(m+n)m+n

C.D.「

yy+1a-2a(a-2)

【解答】解：A.*=故/不符合题意；

X(x-l)X-l

B、J=',故3符合题意；

x(m+n)m+n

。、三故C不符合题意；

yy+1

D、1a(qWO),故。不符合题意;

a-2a(a-2)

故选：B.

【典例5】

分式变形=_=<_中的整式A=/-2x,变形的依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不

2

x+2X-4

等于0的整式，分式的值不变.

【解答】解：：/-4=（x+2）（X-2）,

分式变形一一—中的整式/=x（x-2）=x2-2x,

2

x+2X-4

依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

故答案为：X2-2X,分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

强化训练

1.下列式子中是分式的是（）

A.7B.亨c.mD.三

52a-b6

【解答】解：工，囱zL,三是整式；

526

WL是分式.

2a-b

故选：C.

2.若分式——不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（）

x-2x-hm

A.加21B.m>lC.机D.mv£l

【解答】解：・・•不论x取任何数分式总有意义，

Ax2-2x+加W0,

方程-2x+m=0无解，

/.A=4-4m<0,

解得：1,

故选：B.

3.下列关于分式的判断，正确的是（）

A.当x=3时，空文的值为0

x-3

B.当xW3时，2二3有意义

C.无论x为何值，工不可能是整数

x+1

D.无论x为何值，的值总为正数

x2+l

【解答】解；A.当x=3时，空❷无意义，故/不符合题意.

x-3

B.当xWO时，2二3有意义，故8不符合题意.

X

C.当x=4、0、-2、-6时，__是整数,故C不符合题意.

x+1

D.根据偶次方的非负性，得/+1>0,即无论x为何值，的值总为正数，故。符合题意.

x2+l

故选：D.

2

4.下列结论：①无论。为何值，「一都有意义；②当。=-1时，分式用1-的值为o；③若工J包的

a2+la-1x-1

值为负，则X的取值范围是X<1;④若五L+2tL有意义，则X的取值范围是x#-2且xWO.其中正

x+2x

确的个数是（

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①••％220,

不论a为何值R有意义，故此结论正确；

②:当a=-1时，

•*.tz2-1=1-1=0,此时分式无意义，故此结论错误；

24

③•.•若的值为负，

X-1

.,.X-1<0,

.,.x<L故此结论正确；

④•.・包・三且有意义，

x+2x

'x+2户0

二，x卉0>

、x+l卉0

解得xW-2,xWO且xW-1,故此结论错误.

综上所述，其中正确的个数是2.

故选：B.

5.若包小，则空也的值为（）

b2a

A.$B.3C.ZD.」

3552

【解答】解：•.•曳=3,

b2

3

卜2a

则a+b="?=互

aa3

故答案为：A.

6.不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（）

A._a+bB.-x+1x-1

-a-ba-b-x-1x+l

c.11D.a+b

-x+yx+y_a_ba_b

【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以1,

4、

-a-ba+b

B-x+lx-l.

-x-lx+1

c、，一，

-x+yx-y

-a-ba+b

故选：B.

7.如果将分式丝迎中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）

xy

A.不变B.扩大到原来的9倍

C.缩小到原来的工D.扩大到原来的3倍

3

【解答】解：把X和y都扩大3倍后，原式=织型=型迎，

9xy3xy

约分后缩小到原来的工，

3

故选：C.

8.已知三个数a、b、c满足二U,上」，与-小，则―则—的值是（）

a+b5b+c6c+a7ab+bc+ca

A.AB.AC.2D.工

961520

【解答】解：•・•亚』，昆』，字-八，

a+b5b+c6c+a7

・a+b<b+cc+a

abbeca

.11_v1,1_,1,1,7

abbcac

A2U）=18,

abc

.11l_0

abc

•・•--a-b-c------—_,1

ab+bc+ca9

故选：A.

9.下列四个代数式1,it,x2-l,x+1,请从中任选两个整式，组成一个分式为二一（答案不唯一）

—x+1

（只需写出一个即可）.

【解答】解：分式为二

X+1

故答案为：_1_（答案不唯一）.

x+1

10.已知a,b互为相反数，c,4互为倒数，|刑=2,则曲-7n2+2,d的值是-2.

m

【解答】解：・・・〃，b互为相反数，c,d互为倒数，|加|=2，

/.a+b=Q,cd=\,加2=4，

.•.^iL_m2+2cd=o-4+2=-2.

m

故答案为：-2.

11.如果分式如1二W的值等于0,那么机=-4.

【解答】解：由题意得：m-4=0且-4|#0,

'.m—±4且xW4,

:・m的值为-4,

故答案为：-4.

222

12.已知工二的值为5,若分式中的小y均变为原来的2倍，则二一的值为10.

x+yx+yx+y

2

【解答】解：・・•工_=5,

x-^y

22

A（2X.）_4X=_2X£=2X5=10,

2x+2y2x+2yx+y

故答案为：10.

13.已知a,b,。均是非零有理数，请完成下面的探索：

（1）试求丁包丁的值；

（2）试求不1+1\的值；

lailb|

（3）请直接写出丁当_+丁»丁+丁£丁的值.

lai|bI|cI

【解答】解：（1）当。为正数时，1里丁=旦=1；

Ia|a

当a为负数时，1至丁=2=-1；

Ia|-a

(2)当。>0,b>0时，-4A-=A2=1+1=2：

lain|biIab…”

当。<0,6<0时，1abq上