2024年中考数学复习：抛物线的平移培优讲义

抛物线的平移培优讲义

解题要点剖析

在平面直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移变换才脑物线在平移变换中，开口大小和开口方向未变，

只是位置发生改变.解与此相关问题的关键是：确定平移变换前后的顶点坐标.

考题解析

例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线q:y=x2+bx+c经过点A(2,-3),且与x轴的一个交点为B(3,0).

⑴求抛物线J的表达式.

(2)D是抛物线ci与x轴的另一个交点，点E的坐标为(m,0),其中：m>0,AADE的面积为学

①求m的值；

②将抛物线J向上平移n个单位长度，得到抛物线c2,若当0<x<m时，抛物线c?与x轴只有一个公共

点，结合函数的图象，求n的取值范围.

思路分析⑴抛物线(q：y=x2+bx+c表达式中有两个系数需要确定取值，同时又明确指出了抛物线经

过的两个点的坐标，代入坐标，两个未知数和两个方程，联立方程组即可求解.

(2)①根据已知条件求得线段长，并结合线段长通过面积公式建立等量关系式，求解参数取值.

②当抛物线J向上平移n个单位长度后，得到抛物线C2,需要注意的是，题目明确指出：“若当0<x<m

时，抛物线C2与x轴只有一个公共点”，因此，只需要分析抛物线C2与线段OE的交点情况即可.为此，需要分

析临界情况或者极端情况.本题的临界情况是C2过线段0E的两个端点，以及C2与线段0E相切，如图17-2所

示.因此，分别代入点E、点O的坐标，可得n的取值范围.需要注意的是，当c2经过点E时，与线段OE只

有一个公共点，而当C2经过点0时，与线段0E有两个公共点.当抛物线C2与线段0E相切时，此时顶点坐标

为(1,0),根据顶点式可求得n的值.

规范解答(1)因为抛物线J：yx2+bx+c经过点A(2,—3),且与x轴的一个交点B(3,0),所以

W2”c二13,解方程组得?=”所以抛物线J的表达式为y=尤2一2x—3.

I32+3b+c=0.(c=-3.

⑵①如图17-1所示，过点A作x轴的垂线，垂足为点F.

因为y=“2一2x-3=(%-一生所以抛物线Ci的对称轴为直线x=l.由对称性

得点D的坐标为(-1,0).

因为点E的坐标为(m,0),且m>0,

所以S=・2尸=♦3=?解得DE=

ADEZZ4L

所以m=OE=DE-0D=^.

②根据题意，设抛物线C2的表达式为y=(X-1尸-4+九

2

情况一：如图17-2所示，当抛物线C2经过点E(|，0)时，得(|一1)—4+n=0,

解得n=：.

4

当抛物线C2经过原点。时，得(―1)2—4+n=0,解得n=3.

因为当0WxW用寸，抛物线C2与X轴只有一个公共点，

所以结合图象知，当:Wn<3时，符合题意.

情况二：如图17-2所示,当n=4时，抛物线C2的表达式为y=(x-l)z,它与x轴只有一个公共点(1,0),符

合题意.

综上所述，n的取值范围;W几<3或n=4.

4

解后反思解抛物线的局部交点问题时，要注意通过分析图形端点的特殊情形获取解题思路.本题中，抛物

线经过线段OE的左、右端点以及与线段OE相切是三种不同的临界状态，分析这三种临界状态即可求得n满

足的取值条件.

例2已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+l)x+3=0.

(1)求证：该方程有两个实数根；

(2)如果抛物线y^mx2+(3m+l)x+3与x轴交于A,B两个整数点(点A在点B左侧)，且m为正整数,

求此抛物线的表达式；

(3)在(2)的条件下,抛物线y^mx2+(3m+l)x+3与y轴交于点C,点B关于y轴的对称点为D,设此

抛物线在-3WxW-2之间的部分为图象G,如果图象G向右平移n(n>0)个单位长度后与直线CD有公共点，

求n的取值范围.

思路分析⑴判别方程根的情况,只需计算△=/—4ac以此判别

⑵抛物线与x轴交于A,B两个整数点，且m为正整数，则令y=0,通过解一元二次方程求出/=

-3,X2=-根据m的取值进行分析，可得m=l.

(3)如图17-3,17-4所示，分别作出平移过程中的两个临界位置，并将临界位置的点的坐标代入即可求得

n的取值范围.

规范解题(1)证明:因为4=(3m+1)2-4X771X3=(3m-I)2>0,所以原方程有两个实数根.

2

⑵令y=0,那么mx+(3m+l)x+3=0.解得xr——3,x2~

因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，所以m=l.

所以抛物线的表达式为y=/+4%+3.

⑶因为当x=0时,y=3,所以点C的坐标为(0,3).

当y=0时,x，=-3,X2=—1,因为点A在点B左侧，所以点A的坐标为((-3,0),点B的坐标为(-1,0).因为

点D与点B关于y轴对称.所以点D的坐标为(1,0).

设直线CD的表达式为y=kx+b,则『：g：仇解得｛1：；，

所以直线CD的表达式为y=-3x+3.

又因为当X=-用寸,y=(_+4X(_m+3=*

所以设点E的坐标为

平移后点A和点E的对应点分别为A'(-3+n,0)和£,^―|+n'~^-

当直线y=-3x+3过点4(-3+w0)时,-3(-3+n)+3=0,解得n=4.

当直线y=-3x+3过点E'(-义+n-1)时，一3(-《+律)+3=.解得n=||.

所以n的取值范围是||wnW4.

解后反思抛物线局部左右平移之后与一次函数的交点问题是代数综合题考查的重要类型.要注意抛物线左

右平移和上下平移在具体分析时的区别与联系.

例3如图17-5所示,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2±.

(1)求a的值及点B关于x轴对称的点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短.求出点Q的坐标.

(2)平移抛物线y=a/,,记平移后点A的对应点为点B的对应点为B：点C(一2,0)和点D(-1,0)是x

轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，4c+。夕最短，求此时抛物线的表达式.

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短?若存在，求出此时抛

物线的表达式；若不存在，请说明理由.

思路分析⑵①由⑴求得了x轴上的点Q，使得AQ+QB最短，抛物线y=aF平移后点A的对应点为A1,

点B的对应点为B',因为A'C+C"最短，所以点Q的对应点为点C,点Q与点C之间的距离即为平移距离，

这样就可以求出平移后的抛物线的表达式.

②左右平移抛物线y=a/,因为线段AE和CD的长是定值，所以要使四边形A'B'CD的周长最短，只要

使A'D+CB'最短.

规范解答⑴将点A(-4,8)的坐标代入y=a/,解得a=*

将点B(2,n)的坐标代入y=|/,求得点B的坐标为(2,2).

则点B关于x轴对称的点P的坐标为(2,—2).

所以直线AP的表达式是y=-|%+1.

令y=0,得x=押所求点Q的坐标是(

(2)circlelCQ=|-2?故将抛物线y=步向左平移苫个单位长度时，AA'C+CB最短，此时抛

物线的表达式为丫=弘光+£)：.

②如图17-6所示油CD=2,将点B向左平移2个单位长度,即得点用(0,2).A\--\A8/

点Bi关于x轴的对称点为Pi(O,一2),连接APi,交x轴于点Di.

延长BBi至点BU吏.BE=过点A作田球

.一

此时A'D+CB'=AD+DR：APi,四边形力®CD的周长最短.-8-6-4-2/O2468x

r工不

易得直线】的表达式为则点的坐标为

APy=-|x-2,Di-4

-6

—W=2+U

图17-6

即将抛物线向左平移当个单位长度，使四边形ABCD的周长最短.

故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短,此时抛物线的解析式为y=

l(x+f)■

解后反思“轴对称最值”模式备受中考命题者重视，往往融入压轴题中成为一个“把关点”.另外，“轴对称

最值”模式有着丰富的变式，透过现象看本质是很关键的.

例4已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交于点B.

⑴如图17-7所示，若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的表达式.

⑵在⑴的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SABM=3,,求点M的坐标.

(3)如图17-8所示，点P在第一象限，且PA=PO.若过点P作x轴的垂线，垂足为点D,将抛物线y=孑+

bx+c平移,平移后的抛物线经过点A、点D,该抛物线与x轴的另一个交点为C,请探究四边形OABC的

形状，并说明理由.

思路分析⑴由顶点横坐标与点B的坐标可求出抛物线的表达式.

(2)点A和点B的坐标求出之后可以求出直线AB的表达式，设点M的坐标为3x2-2x+3),根据

SAABM=3,可以构造关于x的方程，从而求出点M的坐标.

(3)利用PA=PO,过点P作x轴的垂线，垂足为点D,可得PD=泉利用抛物线顶点纵坐标为芋可以得到b

与c的关系式.平移前后的抛物线形状和开口方向都不发生改变，只是位置发生了改变，这样可以得到含有参

数b的平移后的抛物线表达式，以及含有参数b的直线AP的表达式.这样可以求出含有参数b的点A、点B、

点C的坐标，进而判断四边形OABC的形状.

规范解答⑴依题意，-念=L解得b=-2.

将b-----2及点B(3,6)的坐标代入y=x2+bx+a得

6——32—2x3+c.

解得c=3.

所以抛物线的表达式为y=必—2%+3.

⑵抛物线y=/-2%+3与y轴交于点A,

所以点A的坐标为(0,3).

又因为点B的坐标为(3,6),

可得直线AB的表达式为y=x+3.

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为3x2-2x+3).

如图17-9所示,过点M作y轴的平行线,交直线AB于点N,则点N的坐标为(x,x+3).

=

,'1^ABM=^AMN+SBMN~MN-\xB-XA\=3.

—[x+3-(久2—2x+3)]x3=3.

解得Xi-l,x2-2.

所以点M的坐标为(1,2)或(2,3).

⑶如图17-10所示由PA=PO,OA=c，可得PD=j.

：抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为

.4c-b2_c

,,——■

42

整理，得。=评.

所以抛物线的表达式为y=x2+bx+软2,各点坐标为4(0,炉),p(一软，加2)D(-沙0).

可得直线OP的表达式为y=-\bx.

点B是抛物线y=x2+bx+^^2与直线y-6%的交点，

令一[bx=/++软2,解得X1=一=-/

可得点B的坐标为D

2

由平移后的抛物线经过点A,可设平移后的抛物线的表达式为y=x^+mx+lb.

将点D(-沙0)的坐标代入y=x2+mx+.炉彳导m=|b.

所以平移后的抛物线的表达式为y=/+|法+产.

22

令y=0,即x++|/?=0.解得x1=—b,x2=-gb.

依题意，点C的坐标为(-b,0).

・,•BC=2

：.BC=OA.

又；BC〃OA,

四边形OABC是平行四边形.

又：/AOC=90。，

四边形OABC是矩形.

解后反思解答第(3)问的关键：一是利用已知条件求出b与c的关系式，从而将c用b表示；二是抓住平移

前后抛物线的形状和开口方向都不发生改变，只是位置发生了改变，这样可以得到含有参数b的平移后的抛物

线的表达式.

全真模拟训练

1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线=|/+6x+2的顶点为M,与y轴相交于点N,

先将抛物线J沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2.直线l:y=kx+b经过M,N两点.

⑴结合图象，直接写出不等式|/+6x+2＜依+6的解集:二

(2)若抛物线C2的顶点与点M