江苏省江阴市二中要塞中学等四校2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，每道题仅有一个正确选项）1.直线必过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解方程组即可.【详解】由，得，所以直线必过定点.故选：A【点睛】本题考查直线恒过定点的问题，考查学生的基本计算实力，是一道简洁题.2.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：直线的斜率，其倾斜角为．考点：直线的倾斜角．3.已知直线与直线相互垂直，则（）A.-3 B.-1 C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为即可得到答案.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，，解得.故选：D【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算实力，是一道简洁题.4.在中，若，则角A为（）A.30°或60° B.45°或60°C.120°或60° D.30°或150°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，求得，进而求得角的值，得到答案.【详解】在中，因，由正弦定理可得，又由，则，所以，又因为，所以或.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特别角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解实力.5.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度h为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出，再求出h得解.【详解】∵,∴.由已知及正弦定理,得,∴.∴.故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.6.如图，正方体中，异面直线与所成的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将平移至，易知为异面直线与所成的角，再结合为等边三角形即可得到答案.【详解】平移至，易知为异面直线与所成的角，又为等边三角形，所以.故选：C【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查学生数形结合的思想，转化与化归的思想，是一道简洁题.7.直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是()A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，（1）的斜率为，当直线时，的方程是，即；(2)当直线经过线段的中点时，的斜率为，的方程是，即，故所求直线的方程为或，故选C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类探讨思想的应用，意在考查综合应用所学学问解决问题的实力.8.如图，已知，，，，，一束光线从点动身射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案.【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，又，直线的方程为，设，则，解得，所以，同理可得关于直线对称的点，所以直线：，又直线方程为：，所以，所以直线方程为：，即，由，得，所以，又易得方程为：，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算实力，是一道有肯定难度的题.二、多选题（本大题共4小题，共20分，每道题有两个或两个以上正确选项）9.若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.【详解】由题意，，，所以，所以：，即，由两平行直线间的距离公式得，解得或，所以或.故选：AB【点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算实力，是一道简洁题.10.在中，，，，则角的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】分析】由余弦定理得，解得或，分别探讨即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类探讨思想，数学运算实力，是一道简洁题.11.已知直线，则下列结论正确是（）A.直线的倾斜角是 B.若直线则C.点到直线的距离是 D.过与直线平行的直线方程是【答案】CD【解析】【分析】对于A．求得直线的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可推断A的正误；对于B．求得直线的斜率k′，计算kk′是否为﹣1，即可推断B的正误；对于C．利用点到直线的距离公式，求得点到直线l的距离d，即可推断C的正误；对于D．利用直线的点斜式可求得过与直线l平行的直线方程，即可推断D的正误．【详解】对于A．直线的斜率k＝tanθ，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B．因为直线的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C．点到直线l的距离d2，故C正确；对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正确．综上所述，正确的选项为CD．故选：CD．【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题．12.（多选题）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（）A.的内角 B.的内角C.四边形面积的最大值为 D.四边形面积无最大值【答案】ABC【解析】【分析】先依据正弦定理化简条件得，再结合得，最终依据三角形面积公式表示四边形面积，利用余弦定理以及协助角公式化为基本三角函数形式，依据三角函数性质求最值.【详解】,因此A,B正确；四边形面积等于因此C正确，D错误，故选：ABC【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、协助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解实力，属中档题.三、填空题（本大题共4小题，共20分，将答案填在答题卡相应位置）13.的内角，，所对的边分别为，，，已知，则的形态是________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】由结合正弦定理可得，即，结合A、B范围即可得到答案.【详解】因为，由正弦定理，得，即，又，，所以，所以，即，所以是等腰三角形.故答案为：等腰【点睛】本题考查正弦定理推断三角形形态，涉及到两角差的正弦公式，考查学生的逻辑推理实力，数学运算实力，是一道简洁题.14.已知球的表面积为,则球的体积为________.【答案】【解析】【分析】由已知结合球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式得答案．【详解】设球O的半径为r，则4πr2=16π，得r2=4，即r=2．∴球O的体积为．故答案为.【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，是基础题．15.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为____【答案】或【解析】【分析】探讨截距为零和不为零两种状况，为零时依据斜率干脆得到直线；不为零时，假设直线的截距式方程，代入点求得结果.【详解】若在坐标轴的截距均为，即过原点，满意题意此时方程为：，即当在坐标轴截距不为时，设其在轴截距为则方程为：，代入，解得：方程为：综上，直线方程为：或本题正确结果：或【点睛】本题考查直线方程的求解问题，主要考察直线截距式方程的应用，易错点是忽视了截距为零的状况.16.的内角，，所对的边分别为，，，已知，．为上一点，，，则的面积为_________．【答案】【解析】【分析】由已知，可得，进一步可得，设，则，由余弦定理可得，，代入x的值即可.【详解】由及正弦定理，得，因为，，所以，即，所以，设，则，由余弦定理，得，即，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形的面积公式，考查学生的数学运算求解实力，是一道中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题卡的指定区域内）17.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）依据中点坐标公式求出中点的坐标，依据斜率公式可求得的斜率，利用点斜式可求边上的中线所在直线的方程；（2）先依据斜率公式求出的斜率，从而求出边上的高所在直线的斜率为，利用点斜式可求边上的高所在直线的方程.试题解析：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D坐标为（6，0），所以AD的斜率为k＝8，所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝1，所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．18.已知直线与.（1）当时，求直线与的交点坐标；（2）若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，直线与联马上可．（2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可．【详解】（1）当时，直线与，联立，解得，故直线与的交点坐标为.（2）因为，所以，即解得.【点睛】此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（假如斜率和截距都相同则是同一条直线），属于基础简洁题目．19.在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而依据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，依据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于中档题．20.如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理推导出，依据线面平行的判定定理可证明平面；（2）由已知条件推导出，可得平面，由此能证明平面平面.试题解析：证明：⑴在中，因为分别是的中点，所以∥又⊂平面，平面，所以∥平面；⑵因为，且点是的中点，所以⊥；又，∥，所以，因为⊂平面，⊂平面，，⊂平面，所以平面⊥平面.21.如图，已知射线，两边夹角为，点，在，上，，．（1）求线段的长度；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理即可得到；（2）设，由正弦定理，得，所以，，，再利用三角恒等变换运算即可.【详解】在中，由余弦定理得，，所以．设，因为，所以，在中，由正弦定理得，因为，所以，，因此因为，所以．所以当，即时，取到最大值.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数学运算、数学建模的实力，是一道中档题.22.燕山公园安排改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内须要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．（1）若，求排水沟的长；（2）当改变时，求条人行道总长度的最大值．【答案】（1）百米；（2）百米．【解析】【分析】（1）由已知易得，则，在，中分别由余弦定理可得，，解方程组即可；（2）设，设，，则，在中，由正弦定理得，，，由余弦定理，同理，令，则，求出函数的最值即可.【详解】（1）因，，所以，所以，