高三数学一轮复习：椭圆大题计算 讲义

椭圆大题计算专练

1.基础运算

①./过尸(0,9)，设/：y=kx+m；②./过尸&0),设/：x=my+t；

一卜7i念》%+f>>i)

L^o)"/

联立p=丘+利(x=my+t

222222,222222,

[bX+ay-ab=O[bx+ay-ab=O

得(。2左2+〃2)尤2+2C^mkx+々2/—〃2。2_Q得(Z?2m2+a?)y+2b2tm-y+b2t2-02H=0

△x=4a2/?2(。2左2+人2_切2)△).=4a2>2仅2〃+4一产)

2

a2府—Q2b之—2amkb1^-02b2-2b2t•m

-

X,•X?—、、°JX,IX?—__、*%=以、/'X+)'2一行+〃

12a2k2+b212a2k2+b2

A=442b2(〃2左2+)2加2)A=4a2b2(b2k2+4_产)

AB7l+E_2ub7ak+?一加.L22ab♦]b'ITI+ci—I

AB=y/l+m---———7--

a2k2+b2bm+a

/过y轴上定点，适用此设法/过X轴上定点，适用此设法

【例2】/过定点交椭圆C于A、B,选取合适的直线设法，联立―韦达一判别式一弦长

⑴/过点尸（2,0）,C：£+%=1⑵/过点尸（°」）'C：y+^-=l

324。

（3）/过点P（3,0）,C：^+y=l⑷/过点尸（。，3）,C：蓝+标=1

练习2：

1./过定点交椭圆C于A、3两点，设/一联立―韦达一△一弦长

222

（1）/过点尸（2,0）,C:\+丁=1（2）/过点尸（0,1）,C:y+y=l

22

(3)/过点尸(4,0),C：d=l（2）/过点P（-2,0）,C：备去=1

3.算式整理

3.1单变量式处理

I.（%%+0］）（々2%+%）的快速打开：

以以+1.，21—3为例,该式打开后的形式为J欣4+从2+。,

贝UQ=3X2=6,b=—3x3+lx2=—7,c=-3xl=-3,

J3/+1.42甘-3=，6-4-742-3.

II.快速合并同类项，整理二次方程：

以（2左2+1）2+3左2_2=（4父+L_4）为例，该式展开式为成4+小+C=0.

逐项整理：

i./系数：左式中的系数为4,右式中的系数为12,左移右得8;

ii.父系数：左式中系数为4+3=7,右式中系数为—16+3=—13,左移右得-20;

iii.常数：左式中常数为1-2=-1,右式中常数为-4,左移右得-3.

（2k2+1）?+3左2-2=（4左2+1）（3左2-4）-8左4-20k2-3=0

III.根式和整式混合时，分离两式，平方消去根号再合项：

„4k2+1-“2+1-、3k°-53%.

以-----------：------------=一为例，

2公+12

i.整式、根式分离：原式-8%2+2-243/-24一5=6/+3

一2/-1=2d3k&-2/-5

ii.平方，合并同类项：8/-4左2-19=0

【例3】求解下列方程或不等式

2

（1）」（1+公）12H2m（2）1212（m+l）1272

22

3r+1,^^-亍2,71+,w,3m+4~T~

4俨+1)

(3)yjl+k2-2万J14k2+5

4k2+14k2+1

(4)2>Jl+k2-6a6ay,a>yf3

a*+3

3+a2-

练习3；

1.解下列方程或不等式

(1),2+1)2=^左2+49+20k2

(2)

12仔+1厂

2bk1+1y3

£（12-3疗）J__如

32V+142\―3/+2［厨—

一2（2-84，6k10左

?1+4F+1+4公,1+4公

22

-2kt18t2km

(8)9-+=m",t=m------求女的值

P+9k1+93

3.2通分整理

【例4】

22

1.点A、B、尸为椭圆C：土+匕=1的左、右顶点和右焦点，斜率为左的直线/经过A交

43

椭圆于另一点P.

（1）用上表示即6、kpc（2）点石（2,2左），用女表示E到尸尸的距离

2.点A为椭圆C：/+浮=1的右顶点，斜率为左的直线/经过a交椭圆于另一点点

。(-1,2%),用人表示心°,并表示P。与无轴的交点坐标.

2k2-k

3.已知点P

2证明：直线P。经过x轴上的定点.

2/2+1'2k+1

练习4：

1•点4斤为椭圆C：三+二=1的右顶点和右焦点，斜率为％的直线/经过A交椭圆于另

43

一点P.。为y轴上一点，若QF_LPF,用％表示点。的坐标.

2.点B、。分别为椭圆E：反+丁=1的右顶点和上顶点，斜率为左的直线/交椭圆于点尸,

4

交直线y=；x+l于点M,直线£)尸交x轴于点N.

(1)用G表示点M、尸的坐标;

(2)用上表示直线。尸的斜率勺;

(3)用上表示直线的斜率加

6-8a212k24左2-2-12k

3.己知点尸、Q证明：直线尸。经过x轴上的定点.

4J12+3,4F+3nk2+]'nk2+i

2.对称韦达式整理专练

22

①.（axx+b\•（ax2+b}=axxx2+ab（xx+x2）+Z?；

aX

计算公式②.（%玉+4），（22+b2）+（4%2+4）•（“2%+d）=24%•XxX2+2Z?也

J_/

+（〃也+）（石+%2）

适用情况①.向量数量积展开；②.斜率的和积商差

ULLUUL

egl：PA=（玉一2,近1+上），P8二（%2一2,近2+%）.

UUUUL

PA-PB=（再_2）•-2）+（%+k）-（H2+k）

=（左2+1）FW+（左2_2）（%］+/）+左2+4.

eg2：—一…,心5-仁+1）.

计算示范

12

石-2X2-2

Z-----------X

［点］—（左+1）1（%2—2）+［辰2-（k+1）}（占—2）

H7------------（^-2）U-2）

2kxxx2_（3左+1）（再+%2）+4（后+1）

xxx2_2（x+x2）+4

【例5】

22

1.直线/经过点尸（1,0）与椭圆E：\+、=1交于A、B两点，点C（2,o）,请将

UULULIULIULIU

QVCB+O4OB写成/（西与为+工2）的形式.

2.已知/过点尸（1,0）交椭圆氏1+,2=1于43两点,，记船网分别为直

线K4、PB的斜率，请将《+/写成/（%1%2，%+々）的形式•

fv2

3.已知直线/：y=Ax+机与椭圆E：—+上■=1交于45两点，点C是E上与点A关于工

43

轴的对称点，若4c交工轴点。（4,0）,运用kBD=kCD的方法得出方程f（xlx2,xl+%2）=。•

练习5：

22

1.直线/经过点P（2,0）与椭圆E：5~+?=1相交于43两点，点Q（m,0）在x轴上，请

UULIU1

将PA•尸5写成/（%%，%+%）的形式.

22

2.直线/经过点（0,1）与椭圆E：?+q_=i相交于A、3两点，点P（0,〃z）在y轴上，请将

UULUULULIUUU

PA-PB+OAOB写成了（不%2,西+九2）的形式.

3.已知直线经过定点尸（0,1）与椭圆E：,+丁=1交于45两点，点Q（O/）,记匕、总分

别为直线出、的斜率，请将匕+%2写成了（%%2，%+%2）的形式.

4.已知直线/：y=fcv+根与椭圆_E：工+y2=i交于A、5两点，点记K、&分

4

别为直线24、PB的斜率，请将勺+%2写成/（%々，%1+%2）的形式•

22

5.已知直线/：y=fcv+机与椭圆E：亍+(=1交于A、3两点，点。为坐标原点，记船k2

分别是直线OP、OQ的斜率，请根据尢、K卜成等比数列得出方程/,再+々)=0.

【例6】

%%=恭〉|AB|=7TW-|^-^|,|AF|=71+m2-|^|,

2

\BF\=^l+m-|y2|,若|A同=川/回.忸刊，则;1=.

练习6：

33

-6m-9-22-m

1.已知％+%=%%=&2।/•且K=k?=-k.若

23

3m+43m+4myx根火2m

k1+k2=Ak3,则2=

-9-6my「3拒%-3百

2.已知%%=-5，X+%=9.若左二，k?,证明：k1+k2

2122

3m+43m+4myi-3my2-3

为定值.

4.分式函数求最值问题.

I.单调性法：一般是针对于形如y=£±l（acwO）的函数；

ax+b

这类函数在竖渐近线单侧是单调函数，我们只需判断渐近线，代入区间端点即可求解,需

要特别注意的是，当区间端点包含8,即X-00时，y^-.

a

如：keR,求丁=—上——的取值范围.

2k2+1

k2G[0,+CO）,竖渐近线为一工e[0,+oo）,则y