中学考试数学综合训练：几何综合题

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析

在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角

的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，

将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问

题得到解决。

在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根

据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联

系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，

注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题

目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及

相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析

讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求

图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。

图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、

等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱

形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与

直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与

切线有关的问题。

图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。

二.基本图形及辅助线

解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累

的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，

找至U“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解

决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。

举例：

3、基本辅助线

（1）角平分线一一过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；

（2）与中点相关一一倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；

（3）共端点的等线段一一旋转基本图形（60。，90。），构造圆；垂直平分线，角平分线

——翻折；转移线段一一平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；

（4）特殊图形的辅助线及甚迂移一一梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等

作双高一一上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数

平移腰一一上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形一一三角形

平移对角线一一上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。

注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

三题目举例

（一）基本图形与辅助线的添加

例1、已知：AC平分/MAN

（1）在图1中，若ZMAN=120P,ZABC-ZADC-9CP,AB+ADAC（填写

“〉”或“〈”或“=”）

（2）在图2中，若/MAN=120P,ZABC+ZADC=18（F,则（i）中结论是否仍然成

立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）在图3中：

①若NMAN=60P,ZABC+ZADC=1S（T,判断AB+4O与AC的数量关系，并说明

理由；

②若ZAMNMaCOOvavIgCF）,Z4BC+Z4DC=18CP,则A8+AO=AC（用

含a的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

解：(1)AB+AD—=_AC.---------------------------------------

⑵仍然成立.

证明：如图2过C作CE_LAM于E,CF，AN于F,

贝UNCEA=NCFA=90°.

；AC平分NMAN,ZMAN=120°,

ZMAC=ZNAC=60°.

XVAC=AC,Z.AAEC^AAFC,

/.AE=AF,CE=CF.

,/在Rt^CEA中，ZEAC=60°,

/.ZECA=30°,AC=2AE.

AE+AF=2AE=AC.ED+DA+AF二AC.

,/ZABC+ZADC=180°,ZCDE+ZADC=180°,

ZCDE=ZCBF.

XVCE=CF,ZCED=ZCFB,/.ACED^ACFB.

ED=FB,.•・FB+DA+AF=AC.

，AB+AD=AC.------------------------------------------------4分

⑶①AB+AD二百AC.

证明：如图3,方法同⑵可证△AGC^^AHC.

AAG=AH.

ZMAN=60°,ZGAC=ZHAC=30°.

.,.AG=AH=AC./.AG+AH=v'3AC.

2

.•.GD+DA+AH=X5AC.

方法同(2)可证△GDCgZXHBC.

AGD=HB,HB+DA+AH=V'3AC.

JAD+AB=6AC.-----------------------------------------------------・6分

AC--------------------------------------------------------------------------------7分

②AB+AD=2COS---

2

例2、已知：AA05中，AB=OB=2,△COD中，CD=OC=3,/ABO=/DCO.

连接AD、BC,点、M、N、P分别为。4、OD、BC的中点.

图1图2

(1)如图1,若A、0、0三点在同一直线上，且ZABO=60,则ZWW的形状是

„^AD

,止匕时-----；

一BC

(2)如图2,若4、°、C三点在同一直线上，且NABO=2a,证明△PMAS/340,

AT)

并计算力7的值(用含。的式子表示)；

BC

(3)在图2中，固定”08,将△C0D绕点0旋转，直接写出的最大值.

例3、在RtZ^ABC中，ZACB=90°,七011/8404.点口在边人(：上(不与A,C重合)，连结

2

BD,F为BD中点.

(1)若过点口作口£，人8于£,连结CF、EF、CE,如图L设CF=kEF,贝I]k=；

(2)若将图1中的AADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如

图2所示.求证:BE-DE=2CF；

(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点,

求线段CF长度的最大值.

AAA

备图

解：⑴k=l；分>2

(2)如图2,过点C作CE的垂线交8。于点G,设8。与AC的交点为Q

1BCDE1

由题意，tanZBAC=~,~=~=~■

2ACAE2

。、E、8三点共线，AE±DB.

丁ZBQC=ZAQD,ZACB=90°,：.ZQBC=ZEAQ.

ZECA+ZACG=90°,ZBCG+ZACG=90°f

ZECA=ZBCG.：.ABCG^AACE.

BCGB1

,~AC=~AE=2'**GB=DE.

图2

F是BD中点，F是EG中点.

在RtZXECG中，CF=*G,BE-DE=EG=2CF.

5分

（3）情况1：如图，当时，取AB的中点M,连结/WF和C/W,

1

,?ZACB=90°,tanZBAC=-,且BC=6,

：.AC=12,AB=6\l5.

为28中点，:・CM=3后,

1…

•：AD=-^C,

:.AD=4.

为A8中点，F为BD中点,

：.FM=^-AD=2.

2

・•・当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+3\/?.6分

2

情况2：如图，当AO=§AC时，取八8的中点M,

连结MF和CM,

类似于情况1,可知CF的最大值为4+3石.-7分

综合情况1与情况2,可知当点D在靠近点C的

三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+38分

（二）直角三角形斜边中线+四点共圆

例4、已知：在△ABC中，ZABC=90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直，垂足为D,且

点M为EC中点，连接BM,。机

(1)如图1,若点E在线段AB上，探究线段BM与。M及/B/WD与/BCD所满足

的数量关系，并直接写出你得到的结论；

(2)如图2,若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出

你的猜想并加以证明；

(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段

与及/BM。与NBC。所满足的数量关系.

（三）倍长过中点的线段

例5、请阅读下列材料：

问题:如图1,在菱形ABCO和菱形BEbG中，点4B,E在同一条直线上，P是线段。下

的中点，连结PG,PC.若NABC=NBEF=60,探究PG与PC的位置关系及一的

"PC

值.

构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

图1

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及上的值；

PC

（2）将图1中的菱形3EFG绕点5顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线5尸恰好与菱形

ABCD的边A3在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到

的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

（3）若图1中ZABC=NBEF=2a（0<a<90）,将菱形BENG绕点§顺时针旋转任

A&

意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出头的值（用含a的式子表示）.

PC

PG

解：（1）线段PG与PC的位置关系是.

；PC

（四）共端点的等线段，旋转

例6、如图1,在口ABC。中，AE_LBC于E,E恰为BC的中点，tanB=2.

（1）求证：AD=AE；

（2）如图2,点P在BE上，作EF_LOP于点F,连结AF.

求证：DF-EF=/2AF;

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作

EFLDP于点F,连结AF,线段。F、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你

的结论.

图1图2图3

证明：(1)在RtZ\A8E中，ZAEB=90°,

八AE.

tanB=*'=2

BE

：.AE=2BE..….

•・•£为BC的中点,

...BC=2BE.

：.AE=BC.

•・N8C。是平行四边形,

：.AD=BC.

：.AE=AD..................

(2)在DP上截取OH=EF(如图8).

•・•四边形A8c。是平行四边形，AELBC,

：.ZEAD=90°.

VEF1PD,Z1=Z2,

Z.ZADH=ZAEF.

,：AD=AE,

：.AADH^AAEF....................................4分

:・/HAD=/FAE,AH=AF.

：.ZFAH==90°.

在RtAM/-/中，AH=AF,FH=2AF-

AFH=FD-HD=FD-EF=^2AF.即一石尸二匹4尸.图'5分

(3)按题目要求所画图形见图9,线段。F、EF、AF之间的数量关系为：DF+EF=^2AF.

(五)利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线

例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四

边形。请解答下列问题：

(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

(2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两

边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

利用平移变换转移线段+作图8、(2011西城一模，25)在RtZk4BC中，ZC=90°,D,E分

别为CB,C八延长线上的点，8E与4?的交点为2

(1)若BD二AC,AE=CD,在图1中画出符合题意的图形，并直接写出NZPE的度数;

(2)若AC=&D,CD=y/3AE,求/APE的度数.

备用图

解：(1)如图9,/APE=45

图1

(2)解法一：如图10,将八E平移至IjDF,连接8F,EF.

则四边形AEFD是平行四边形.

AD//EF,AD=EF.

AC=>/3BD,CD=y/3AE,

CD

AE图9

E

ACCD

4分

BDDF

ZC=90°，

ZBDF=180°-ZC=90°

ZC=ZBDF.

△ACDS^BDF.5分

AD

江Z1=Z2.

BFBD

区="=不

BFBF.图10

Zl+Z3=90°,

Z2+Z3=90°.

BF±AD.

BF±EF.6分

BFJ3

在RtABFF中，tan/BEF=——

EF3

ZAPE=ZBEF=30°.7分

解法二：如图11,将CA平移到OF,连接ZF,BF,EF.3分

则四边形ACDF是平行四边形.

•.・ZC=90°，

：.四边形ACDF是矩形，ZAFD=ZCAF=90°，Zl+Z2=90°.

八AEAEO

*/在中，tanZ3=——

AFCD3

八BDBD5/3

在RtZXBDF中，tanZ1=---

DFAC3

•Z3=Zl=30°

Z3+Z2=Z1+Z2=9O°，即NEF8=90°.

ZAFD=ZEFB.4分

DFAFy/3

又・・♦

BFEF2

/.AADFsAEBF.....................................................................................5分

/.Z4=Z5........................................................................................................6分

NAPE+N4=/3+/5,

ZAPE=Z3=3Q°......................................................................................7分

（六）翻折全等+等腰（与角平分线类比）

例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类

似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四

边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图

形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点。，E分别在AB,AC上，设

CD,BE相交于点。，若/A=60°,请你写出图中一个与NA

2

相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC中，如果N4是不等于60°的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且

ZDCB=ZEBC=-ZA.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明

2

你的结论.

.解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。

（2）答：与NA相等的角是NBOD（或NCOE）,四边形DBCE是等对边四边形；

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。

证法一：如图1,作CG_LBE于G点，作BF_LCD交CD延长线于F点。

1

因为NDCB=NEBC=]NA,BC为公共边，

所以4BCF且ZXCBG,

所以BF=CG,j.c

因为ZBDF=ZABE+ZEBC+ZDCB,ZBEC=ZABE+ZA,

所以NBDF:NBEC,图1

可证4BDF且ACEG,

所以BD=CE

所以四边形DBCE是等边四边形。

证法二：如图2,以C为顶点作NFCB二NDBC,CF交BE于F点。

1

因为NDCB=NEBC=]NA,BC为公共边，

所以△BDCgZkCFB,

所以BD=CF,ZBDC=ZCFB,

所以NADONCFE,

因为/ADC=/DCB+NEBC+NABE,ZFEC=ZA+ZABE,

所以NADC=NFEC,

所以NFEC=NCFE,

所以CF=CE,

所以BD=CE,

所以四边形DBCE是等边四边形。

说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。

二、从题目中获得方法的启发，类比解决问题

（一）由角平分线启发翻折，垂线

例1、如图①，0P是NMON的平分线，请你利用该图形画一对以。P所在直线为对称轴的

全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，/ACB是直角，ZB=60°,AD,CE分别是/BAC、ZBCA

的平分线，AD.CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果/ACB不是直角，而⑴中的其它条件不变，请问，你

在⑴中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：图略（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD。

（2）答：（1）中的结论FE=FD仍然成立。

证法一：如下图，在AC上截取AG=AE,连结FG

因为N1=N2,AF为公共边可证AAEF之4AGF所以ZAFE=Z

AFG,FE=FG

由NB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线

可得N2+N3=60。

所以NAFE=NCFD=NAFG=60°所以NCFG=60°

由N3=/4及FC为公共边，可得4CFG之ACFD所以FG=FD所以FE=FD

证法二：如下图，过点F分别作FG_LAB于点G,FHLBC于点H

因为NB=60°,且AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,

所以可得N2+N3=60°,F是4ABC的内心

所以ZGEF=60°+Z1,FG=FH

又因为ZHDF=ZB+Z1所以ZGEF=ZHDF

因此可证△EGF/Z\DHF所以FE=FD

（-）启发利用重心分中线，中点相关内容

例2、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具

备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1.请你用此

性质解决下面的问题.

已知：如图，点0为等腰直角三角形ABC的重心，ZCAB=90,直线加过点O,过

A、B、C三点分别作直线机的垂线，垂足分别为点0、E、F.

⑴当直线机与8C平行时（如图1）,请你猜想线段B区Cb和AD三者之间的数量

关系并证明；

（2）当直线机绕点°旋转到与不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，

上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段A。、BE、C产三者之间

又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明.

解（1）猜想：BE+CF=AD.......................................................1分

证明：如图，延长A0交BC于M点，

V点0为等腰直角三角形ABC的重心

.♦.A0=20M且AMLBC

又,.・EF〃BC/.AM±EF

VBE±EF/CF±EF

・・・EB〃0M〃CF

.\EB=0M=CF图1

.\EB+CF=20M=AD3分

(2)图2结论:BE+CF=AD

证明：联结A0并延长交BC于点G,

过G做GHLEF于H

由重心性质可得A0=20G图2

VZADO=ZOHG=90°,ZAOD=ZHOG

/.△AOD^AGOH

.\AD=2HG.............5分

•・・o为重心

AG为BC中点

・.・GH_LEF,BE_LEF,CF_LEF

・・.EB〃HG〃CF

・・・H为EF中点

1

.\HG=­(EB+CF)

AEB+CF=AD...............................................................7分

⑶CF-BE=AD...........................................................8分

（三）由特殊形解题启发构造哪些相等的角

例3、如图①，P为△ABC内一点，连接以、PB、PC,在△PAB、ZkPBC和△R4C中，如果存

在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为二ABC的自相似点.

（1）图②，已知RtZkABC中，ZACB=90°,ZABOZA,CO是AB上的中线，过点

B作BE_LCD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.

⑵在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如图③，利用尺规作出ZMBC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若AABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.

（三）一题多解与题目的变式及类题

1、点M为正方形ABCD的边AB（或延长线上）任一点（不修，B重合）,

ZDMN=90°,射线MN与443C的外角平分线交于点N,求证:

DM=MN.

【变式】

A、方法类比，改变图形

（1）等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不与A,B重合），作

ZADE=60°,DE交/C的外角平分线于E,判断MDE的形状，并证明。

若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立

（2）（2008西城一模，25）如图，正六边形ABCDEF,点M在AB边上，

ZFA/77=120°,MH与六边形NA3C外角的平分线BQ交于H点.

①当点M不与点A、B重合时，求证：ZAFM=ZBMH;

②当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B

猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.

B、改变背景

（3）（20U密云一模，24）如图，边长为5的正方形048C的顶点

°在坐标原点处，点A、C分别在X轴、y轴的正半轴上,点E是0A

边上的点（不与点4重合），EF±CE,且与正方形外角平分线AC

交于点P.

（1）当点£坐标为（3,0）时，试证明CE=E?；

（2）如果将上述条件“点E坐标为（3,0）”改为“点E坐标为。，0）（方>0）”，结论

CEE?是否仍然成立，请说明理由；

(3)在y轴上是否存在点"，使得四边形5MEP是平行四边形？若存在，请证明；若不

存在，请说明理由.

2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且NEAF

=45°,求证：EF=BE+FD.

【变式】方法类比，特殊到一般

削J弱题目条件(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

E、F分别是BC、CD上的点，且/EAF是/BAD的一半，那么结论EF=BEB

+FD是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系,并

证明.

改变图形Q)在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,延长BC到

点E,延长CD至！J点F,使得/EAF仍然是ZBAD的一半，则结论EF=BE+FD

是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关;

并证明.

3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小(求最值2011房山一模，25)已知：等边三角形

ABC

(1)如图1,P为等边△ABC外一点，且NBPC=120°试猜想线段BP、PC、AP之间的

数量关系，并证明你的猜想;

(2)如图2,P为等边^ABC内一点，且NAPD=120°.求证：PA+PD+POBD

【类题】1、已知:在AABC中，BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:

(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且ZACB=60°,则CD=；

(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且ZACB=90°,则CD=；

(3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的

ZACB的度数.

图1图2图3

解：⑴3昭■...............................1'

(2)3、/6-3-^2；.......................2'

(3)以点D为中心，将ADBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.联结AE,CE,

.,.CD=ED,ZCDE=60°,AE=CB=a,

.,.△CDE为等边三角形，

.•.CE=CD................................4'

当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE〈AE+AC=a+b；

当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；

此时NCED=NBCD=NECD=60°,/.ZACB=120°,...............7,

因此当NACB=120°时，CD有最大值是a+b.

(三)启发构造三角形转移线段

例2、已知：PA=42,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D

D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图，当NAPB=45°时，求AB及PD的长；/

(2)当/APB变化，且其它条件不变时，求PD的\/

最大值，及相应/APB的大小.

例3、如图1,在梯形ABCD中，AD〃BC,/C=90°,点E为CD的中点，点F在底边BC上，

且/FAE=NDAE.

(1)请你通过观察、测量、猜想，得出/AEF的度数；(1)的方法多样(垂线段，倍长，

中位线)但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取

(2)若梯形ABCD中，AD〃BC,/C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图

3,其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、

【类题】已知点A,B分别是两条平行线机，”上任意两点，C是直线”上一点，且/

ABC=9O°,点E在AC的延长线上,BC=kAB(kW0).

(1)当左=1时，在图(1)中，作NBEF=NABC,EF交直线加于点F.,写出线段EF与EB

的数量关系，并加以证明；

（2）若卜丰1,如图⑵，NBEF=NABC,其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系,

并说明理由.

（四）方法的综合应用

1、如图，已知△ABC.

（1）请你在边上分别取两点D,E（BC的中点除外），连结

AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并

表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明++.

2、问题：已知"BC中，ZBAC=2ZACB,点。是△ABC内的一点，且AO=CO,BD=BA。探究

NDBC与/ABC度数的比值。

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

（1）当/BAC=90。时，依问题中的条件补全右图。

观察图形，AB与AC的数量关系为；

当推出/DAC=15。时，可进一步推出/D8C的度数为；

可得到/D8C与/A8C度数的比值为:

（2）当NBACW90。时，请你画出图形，研究NDBC与NABC度数的比

值是否与⑴中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

3、在△ABC中，点P为BC的中点.

图3

（2）延长AB至ljD,使得BD=AC,延长AC至UE,使得CE=AB,连结DE.

①如图2,连结BE,若NBAC=60°,请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你

的结论，并加以证明;

1

②请在图3中证明：8C2,0E.

4、在□ABC。中，/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线。C于点F。

（1）在图1中证明C£=Cb；

（2）若/ABCngO9,G是EF的中点（如图2）,直接写出NBDG的度数；

（3）若/ABC=12OP,FG//CE,FG=CE,分别连结。8、OG（如图3）,求NBDG的度

（五）动点问题与分类讨论

不确定性引发分类讨论

（1）等腰三角形顶角顶点；

⑵相似三角形对应点；

⑶已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）；

注意：分类不重不漏；动点问题定界点。

由位置的不确定引发的分类讨论

1、在Rt^ABC中，ZACB=9O°,BC=30,AB=5O.点P是AB边上任意一点，直线PEL4B,

与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN,sinZEMP=—.