2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习 导数与函数的极值 教案

4.3导数与函数的极值

课标要求考情分析核心素养

新高考3年考题题号考点

借助函数的图象，了解函数在某点取得极值数学运算

推断三次

的必要条件和充分条件；能利用导数求某些

2022(I)卷10函数极值点规律推理

函数的极大值、微小值以及给定闭区间上不

个数

超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体直观想象

推断正弦

会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

2022(II)卷9型函数极值

点个数

回归教材

函数的极值

(1)函数的微小值：

函数y=/(%)在点％=。的函数值/(a)比它在点％=a四周其它点的函数值都小，//(a)=0,而且在点第=。四周

的左侧/'(%)<0,右侧广(%)>0,则点a叫做函数y=/(%)的微小值点，/(a)叫做函数y=/(%)的微小值.

(2)函数的极大值：

函数y=/(%)在点久=b的函数值/(b)比它在点久=b四周的其他点的函数值都大，/'(b)=0,而且在点％=b四

周的左侧/'(%)>0,右侧广(%)<0,则点Z?叫做函数y=/(%)的极大值点，/(b)叫做函数y=/(%)的极大值.

微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值.

1.若函数/(久)在定义域范围内存在极大(小)值，其极大(小)值未必唯一，可能有多个极大(小)值，且极大值

与微小值之间没有必定的大小关系.

2.函数的极值刻画的是函数的局部性质，极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.

■教材改编

L【P92练1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为［。)，且函数((久)的图象如图所示，则下列结论中肯定成立

的是()

y

A.函数有微小值/（l）B.函数有极大值/（-2）

C.函数有微小值/（-2）D.函数有微小值f（2）

2.［P104T9］已知x=。是函数/（无）=eax-InQ+a）的极值点，则a=（）

A.1B.2C.eD.±1

根据函数图像判断极值

求函数的极值或极值点个数

已知极值（点）求参数的值或取值范围

考点探究

考点一依据函数图像推断极值

【方法储备】

函数极值的辨析:

1.利用图象争辩函数性质：①利用/（久）的图象，找出/（%）的单调区间及极（最）值点；②［的图象，位于久轴

上方的自变量”的区间是原函数的单调增区间，位于工轴下方的自变量工的区间是原函数的单调减区间，导函数的

变号零点才是极值点.

2.可导函数/（X）在x=x（）处取得极值=广（尤0）=0,且/（X）在x=x（）两侧异号.

【典例精讲】

例1.（2022•湖南省娄底市期中.多选）已知定义在R上的函数/（久），其导函数（（%）的大致图象如图所示，则下列

叙述不正确的是（）

A.f（a）>/（e）>/（d）

B.函数fO）在［a,加上递增，在也d］上递减

C.函数/0）的极值点为c,e

D.函数f（x）的极大值为/（6）

【名师点睛】

利用导函数的图象可以形象地描述原函数的单调、极值状况，由导函数的函数符号看原函数的单调性，由导函数

的零点看原函数的极值点，但要留意变号零点才是原函数的极值点，导函数图象从上轴方过渡到下方的零点为原

函数的极大值点，从轴下方过渡到上方的零点为原函数的微小值点.

【靶向训练】

练1-1(2022•浙江省金华市月考)设三次函数f(x)的导函数为「(X),函数丫=久"'(久)的P'

部分图像如图所示，则下列说法正确的是()\

A./(%)的极大值为/(遥)，微小值为/(—b)迎\

B./(久)的极大值为/'(-8)，微小值为f(遍)

C.f(x)的极大值为f(3),微小值为f(-3)

D./(x)的极大值为/(-3),微小值为/(3)

练1-2(2022•江苏省泰州市月考)已知函数/(久)=a/+6/+”，其导函数y=，(K)的尸

图象经过点(1,0)、(2,0),如图所示，则下列命题正确的是()

A.当X=|时函数取得微小值o\A一B

B.f(x)有两个极大值点

C./(I)<0

D.abc<0

Il考点二求函数的极值或极值点个数

【方法储备】

函数极值求解的步骤：

①确定函数的定义域；②求导数f'(x)；

③解方程尸O)=o,求出函数定义域内的全部根；

④检验尸(久)在尸(X)=0的根3左右两侧值的符号，假如左正右负，那么f(x)在久。处取极大值，假如左负右正,

那么/(%)在沏处取微小值.

【典例精讲】

例2.(2022•山东省临沂市月考)已知函数f(x)=久一(a+2)lnx-y,且/(x)在点(1,/(1))处的切线/与

2%+y+1=0平行.

(1)求切线，的方程；

(2)求函数/(%)的极值.

32

例3.(2022•辽宁省大连市月考)已知函数/(久)=号一字a

(1)若a=1,求函数/(%)在［-1,2］上的最大值和最小值;

(2)求函数f(x)的极值点.

【名师点睛】

求函数极值的过程是模式化的，正确推断导数在各个区间内的符号是确定函数极值点的重要依据，当方程

=0的实数根大小不能确定时，应对变量进行分类争辩.

【靶向训练】

练2-1(2022•广东省茂名市月考)已知函数/(*)=吧则其极大值与微小值的和为.

练2-2(2022•河北省张家口市期末)已知函数f(x)=ex+e-x-ax2-2.

(1)当a=l时，证明：函数/(%)在区间(0,+8)上单调递增；

(2)若g(%)=/(x)-e~x,争辩函数g(%)的极值点的个数.

考点三已知极值(点)求参数的值或取值范围

【方法储备】

已知函数极值(个数)，求参数时，留意以下两点：

(1)依据极值点的导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)由于导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必需验证充分性.

【典例精讲】

例4.(2022•江苏省南通市模拟)已知函数/(x)=(x-a)(x-6)蜡在x=a处取微小值，且/(乃的极大值为4,

则b=()

A.-1B.2C.-3D.4

例5.(2022•浙江省绍兴市模拟)已知函数/⑺=+"/有两个极值点，则实数小的取值范围为.

【名师点睛】

已知函数极值点个数问题，转化为导函数零点个数问题,如例5中，除了转化为y=g(x)与y=-m的图象有2个交

点以外，也可以转化为丫=11«与丫=一1!«-1的图象有2个交点，借助结论丫=11«的图象在点(1,0)处的切线方

程为y=x-1,可快速得出范围，也可利用零点存在性定理，争辩导函数f'(x)的零点问题.

【靶向训练】

练3-1(2022•山东省东营市月考)若函数〃>)=(7+a%+2)•靖在R上无极值，则实数a的取值范围是()

A.(-2,2)B.(-2V3,2V3)C.[-2V3,2A/3]D.[-2,2]

练3-2(2022•陕西省西安市期中)函数/㈤=\nx+lx2-ax(x>0)在区间曰3]上有且仅有一个极值点，则实数

a的取值范围是()

A.(|,3]B.[涔C(涔D.[2,y]

易错点归纳

易错点1误会“导数为0”与“有极值”的规律关系

例6.(2022•江苏省无锡市月考)已知定义在(a,b)上的函数/(*)和g(x)的导函数

[。)、“(久)的图像如图所示，“(久)图像在冷处与「(久)的图像相切，则关于函数

h(x)=/(x)-g(x)的推断正确的是()

A.在区间01，久2)上先增后减B.久2为微小值点

C.在区间(修,%)上单调递减D.有1个极大值点，1个微小值点

答案解析

【教材改编】

1•【解析】由题中图象知，/'(—2)=/(1)=((2)=0,

在x=-2四周/(久)左正右负，即/(久)左增右减，〃-2)为极大值；

在％=1四周10)左正右负，即/。)左增右减，〃1)为极大值；

在x=2四周f'(x)左负右正，即f(x)左减右增，f(2)为微小值，故选80.

2.【解析】由于f(x)=e。*一ln(x+a),所以「(久)=ae。”一吉.

又％=0是/(久)的极值点，所以/'(0)=a-［=0,解得a=+1,

当a=1时，/(久)="—W，

当一1<x<0时,g'(x)<0,则g(x)单调递减，

当%>0时，。'(久)>0,则g(x)单调递增,

所以x=0是函数g(K)的极值点.

当a=-l时，函数/'(久)的定义域为(1,+8),

而x=0不在定义域内，故不符合条件.故选A.

【考点探究】

例1.【解析】由题图知可，当％6(—8,C)时，f(X)>0,

当x€(c,e)时，尸(久)<0,当x€(e,+oo)时，f'(x)>0,

所以/(x)在(-8,C)上单调递增，在(c,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

对于4/(d)>/(e),故A错误；

对于B,函数/(*))在［a,b］上递增，在［瓦c］上单调递增，在匕码上单调递减，故2错误;

对于C,函数/(久)的极值点为c,e,故C正确；

对于D,函数/O)的极大值为/(c),故。错误.

故选：ABD.

练1-L【解析】观看图象知，当％<-3时，y=x-f'(x)>0,f'(x)<0.

当—3<x<0时，y=x-fz(x)<0,f'(x)>0.

由此知微小值为f(-3).

当0<x<3时,y=x-f'(x)>0,,t.f'(x)>0.

当x>3时，y=x-/z(x)<0,f'(x)<0.

由此知极大值为f(3).故选C.

练1-2.【解析】函数/'(x)=ax3+bx2+ex,其导函数y=/'(x)=3ax2+2bx+c,

由函数的图象可知，a>0,f(l)=0,1(2)=0,

x=l,久=2是函数的两个极值点，/(I)是极大值，/(2)是微小值，所以4,B不正确；

/'(%)=3ax2+2bx+c,

由图象可得对称轴-在>0,b<0,两根之积F>0,

6a3a

所以c>0,可得abcV0,所以。正确；

由((1)=0,广(2)=0,

(3a+2b+C=079a/

得仆,b=~—c=6a

112a+4b+c=02ff

f(1)=a+b+c=a——+6a=5a>0,C错误.

故选D

例2.【解析】(I)函数/(%)的定义域为(0,+8),

由/(%)=%-(a+2)ln%-4，贝，(X)=1-+

由于/(%)在点(L/(l))处的切线，与2%+y+1=0平行，

所以尸(1)=一2,即l—(a+2)+2a=—2,解得a=-1,

所以/(%)=%-In%+：,所以/(I)=3,

所以/(%)在点(1,/(1))处的切线/的方程为y=-2(%-1)+3,

即2%+y—5=0；

2

(II)/(%)=x—Inx+

得/(x)=1---4==(*+。厂2),xe(0,+8),

XX2-X2-X2-

由/'(%)>。得久>2；由/'(%)<。得0<%<2；

所以函数/(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上递增；

故f微小值(%)=/(2)=3-ln2,无极大值.

例3.【解析】(1)当a=1时，f(x)=:—三，xe[-1,2],f(x)=x2-x=x(x-1),

当F(x)=0时，解得x=0或x=1,

则当x变化时，F(x),f(x)的变化状况如下表所示：

X-1(-1.0)0(0,1)1(1,2)2

f'(x)+0—0+

52

f(x)7极大值0微小值-17

-6O3

所以，函数f(x)在[-1,2]上的最大值为|,最小值为-3

3o

(2)当a=0时，f(x)=—J,(xeR),易知函数f(x)存在唯一极大值点x=0,无微小值点;

当a>0时，f(x)=f-9,(xeR),f(x)=ax2-x=ax(x-|),

由f'(x)=0解得x=0或x=%

所以当xe(—8,0)时,f(x)>0,函数f(x)在(一8,0)上单调递增，

当x6(0,今时，f(x)<0,函数f(x)在(0,》上单调递减，

当xe(1,+8)时，F(x)>o,函数f(x)在C，+8)上单调递增，

所以，f(x)的极大值点x=0,微小值点x=：,

综上：当a=0时，f(x)存在唯一极大值点x=0,无微小值点；

当a>0时，f(x)的极大值点为x=0,微小值点为x=£

练2T.【解析】由题意得f'(x)=-(lnx+4^lnx-2)(x>0),

由F(x)>0=>e-4<x<e2,

由F(x)<0n0Vx<e14或x>e2,

•••f(x)在(0,eT)上单调递减，(eT,e2)上单调递增，(e2,+8)上单调递减，

所以f(x)极大值=f(e2)=*f(x)微小值=f(e-4)=-4e4.

所以f(x)的极大值与微小值的和为趣-4e,

故答案为：-7—4e4.

e2

练2-2.【解析】(1)证明：当a=l时，f(x)=ex+e-x-x2-2,f/(x)=ex-e-x-2x,

当x>0时，设g(x)=ex—e-x—2x,

gz(x)=ex+e-x-2>0,

所以函数f'(x)在区间(0,+8)上单调递增，故F(x)>f(0)=0,

故函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增.

(2)解：当a=0时，g(x)=eX—2单调递增，无极值点，

当aW0时，g'(x)=ex-2ax,令e*—2ax=002a=(，

令h(x)=4,则11'仍)=与9，

当x<0时，h(x)<0,且h'(x)<0,当a<0时，方程2a=?有唯一小于零的零点，

故函数g(x)存在一个极值点；

当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时，h，(x)>0,

故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，h(l)=e为函数h(x)微小值，

所以当OVa时，方程2a=?无解，函数g(x)无极值点；

当a=:时，方程2a=?有一个解，

但当0<x<1时,>2a,g'(x)=ex—2ax>0,当x>1时，?>2a,g'(x)=ex—2ax>0,

故函数g(x)无极值点.

当a>|时，方程2a有两解，函数g(x)存在一个极大值点和一个微小值点.

综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，

当0<a4|时，函数g(x)无极值点，

当a>/寸，函数g(x)存在一个极大值点和一个微小值点.

例4.【解析】由于f(x)=(x-a)(x-b)eX,

所以F(x)=(2x—a—b)ex+(x2—ax—bx+ab)ex=

[x2—(a+b—2)x—a—b+ab]ex,

由于函数f(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a处取微小值，

所以F(a)=0,即F(a)=[a2—(a+b—2)a—a—b+ab]ea=0,

整理得a=b,

所以F(x)=[x2—2(a—l)x+a2-2a]ex=

(x—a)[x—(a—2)]ex,

令F(x)=0得x=a或x=a—2,

由于函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取微小值，且f(x)的极大值为4,

所以f(a-2)=4ea-2=4,解得a=2,

又由于a=b,所以b=2,故选B.

例5.【解析】f(x)=xlnx+[nix?有两个极值点，则？(x)=1+Inx+mx=0有