初中数学中考复习讲义练习：裁剪与拼接

裁剪与拼接

【典例分析】

彳列1、将一个四边形截去一个角后，它不可能是()

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了多边形，能够得出一个四边形截去一个角后得到的图形有三种情形，是解决本题

的关键.根据一个四边形截去一个角后得到的多边形的边数即可得出结果.

【解答】

解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形,

但不可能是六边形.

故选：A.

伤！J2、如图所示，三种不同类型地被，若现在A类4块，B类4块，C类2块，要拼成一

个正方形，则应多余出1块________型地砖；这样地砖拼法表示了两数和的平方几何意义,

n

这个两数和的平方是

【答案】C；(2m+n)2=4m2+4mn+n2

【解析】

【分析】

本题考查了完全平方公式的几何意义，立意较新颖，注意面积的不同求解是解题的关键，对

此类问题的要深入理解.

分别计算出4块A的面积和4块B的面积、2块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积,

用完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地病.

【解答】

解：4块A的面积为：4xmxm=4m2；

4块3的面积为：4xmxn=4mn；

2块C的面积为2xnxn=2n2；

那么这三种类型的砖的总面积应该是：

47n2+4mn+2n2=4m2+477m+n2+n2=(2m+n)2+n2，

因此，多出了一块C型地砖，拼成的正方形，如图，

拼成的正方形的面积为(2m+n)2=4m2+4mn+n2.

m11nl

mAB)mA

BCnB

nm

ll

AA

mBm

mm

故答案为C；(2m+n)2=4m2+4mn+n2.

｛列3.如图，某数学兴趣小组用四块长方形纸板和一块小正方形纸板恰好拼成一个大正方

形纸板，其中一块长方形纸板的长为8c如宽为2cm,另一块长方形纸板的长为10。办宽

为4cm,求大正方形纸板的面积.

【答案】解：如图，设小正方纸板的边长为比加,

所以2+汽+4=10+8-x,

解方程，得尤=6,

所以大正方形纸板边长=10+8-6=12(cm),

所以大正方形纸板的面积为122=144(cm2).

【解析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用等量关系列出方程是解决问题的关

键.设小正方形的边长为尤,依据小正方形的边长的表达式，可得方程2+*+4=10+8-x,

进而得出大正方形的边长及面积.

【好题演练】

一、选择题

1.如图，将边长为«的正方形剪去两个小长方形得到S图案，再将这两个小长方形拼成一

【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

根据图形列出算式，计算即可得到结果.

【解答】

解：根据题意得：2[a—b+2x—36)]=4a—86,

故选8.

2.如图1,分别沿长方形纸片ABC。和正方形纸片EFG”的对角线AC,EG剪开，拼成如

图2所示的团KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且团KLMN的面积

为50,则正方形EFG71的面积为（）

C.26D.27

【答案】B

【解析】解：如图，设PM=PL=NR=KR=a,正方形ORQP的边长为江

由题意：a?+匕2+缶+b）（a—6）=50,

a2=25,

正方形EFGH的面积=a2=25,

故选：B.

如图，设PM=PL=NR=KR=a,正方形ORQP的边长为b,构建方程即可解决问题；

本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平方差公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建

方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题.

3.现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a,宽为b.用3个如图②的图

形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30cm,则图

③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（）.

ba

aa

b

图①图②图③

4.:C.7

【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了图形的拼接、二元一次方程组的应用、长方形形和正方形的性质等知识，解题的

关键是：结合图形列出二元一次方程组.

由图③大长方形的宽为30%可得一个a,6的关系式；再由图③可知小长方形的4个长

等于小长方形的3个长和3个宽，列出算式得出a,6的另一个关系式；联立两个关系式可

求出a,b的值，进而可求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比.

【解答】

解：由图③大长方形的宽为30cMI,可得a+3b=30----①，

由图③可知小长方形的4个长等于小长方形的3个长和3个宽，可得4a=3a+3b——②,

联上①②可得=3a+3—工

解得忆7

图③中阴影部分的面积为：3(a-6)2=3X(15-5)2=300(cm2),

图③整个图形的面积为：30x4a=30x4x15=1800(cm2),

.•・图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比就=也

故选B.

C.5种

D.6种

【答案】D

【解析】解：共有6种拼接法，如图所示.

故选：D.

根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解.

本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画出图形是解题的关键.

5.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数学活

动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,

并设计了下列四幅作品-“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cM2

【答案】。

【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积="卜42=1（皿2）,平行四边形面积为2c―,

oZ

中等的等腰直角三角形的面积为2CM2,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,则

A、阴影部分的面积为2+2=4（＜:巾2）,不符合题意;

B、阴影部分的面积为1+2=3（。小2）,不符合题意;

C、阴影部分的面积为4+2=6（c?n2）,不符合题意;

D、阴影部分的面积为4+l=5（cm2）,符合题意.

故选：D.

先求出最小的等腰直角三角形的面积=；*；义42=1cm2,可得平行四边形面积为2cm2,

o2.

中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,最大的等腰直角三角形的面积为4cM2,再根据阴影

部分的组成求出相应的面积即可求解.

本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用

分割法求阴影部分的面积.

6.如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线

又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）

a

X

B.a+6C.2a+3D.2a+6

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键.

根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解.

【解答】

解：拼成的长方形的面积=9+3)2—32,

=(ci+3+3)(a+3—3),

=a(a+6),

•••拼成的长方形一边长为a,

另一边长是a+6.

故选艮

二、填空题

7.在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的

两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图

所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为

10c〃z、6cm,一条对角线的长为8c»i；则原三角形纸片的周长是.

【答案】48或(32+8V13)cm

【解析】解：如图1：

如图2：

图2

A

•••BD=6,BC=8,CD=10,

•••BD2+BC2=CD2,

・•.ABCD是直角三角形，

•••AC=12,

AB=yjAC2+BC2=4V13)

周长为2x(10+4V13+6)=(324-8V13)(cm);

综上所述：原三角形纸片的周长是48或(32+8g)cni.

故答案为：48或(32+8Vn)cm.

首先补全三角形进而利用平行四边形的性质得出各边长进而得出答案.

此题主要考查了图形的剪拼，利用勾股定理求出AB的长是解题关键.

【答案】(20-。产

【解析】

【分析】

解决本题的关键是把所求部分的面积整理为一个规则图形的面积.把阴影部分分别向下，向

右平移，可得空白部分的面积等于边长为(20-a)的正方形的面积.

【解答】

解：把阴影部分进行平移后，空白部分是边长为(20-a)的正方形，面积为：(20-a)2.

故答案为(20-a)2

9.如图所示，将一个长方形A3C。分割成4个小长方形，其中②与③的大小形状都相同,

已知大长方形ABC。的边BC=5cm,则①与④两个小长方形的周长之和为

________cm.

【答案】20

【解析】

【分析】

本题主要考查计算图形周长的知识，关键是知道正方形、长方形周长的计算方法.

【解答】

解：把④的其中两条边往外移动，①与④两个小长方形的周长之和刚好是边长为5cm的正

方形的周长.

5x4=20(cm)

故答案为20.

10.如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则NABC的

度数为.

【答案】45°

【解析】

【分析】

此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出AC、BC、48的长,

判断出△ABC是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般.设小正方形的边长为1,连

接AC,利用勾股定理求出AC、BC、A3的长，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直

角三角形，继而得出NABC的度数.

【解答】

解：如图，设小正方形的边长为1,连接AC.

则AB=5/32+1.2=AC=Vl2+22-V5>BC=Vl2+22=V5>

•••AC=BC,5.AC2+BC2=AB2,

.•.△ABC是等腰直角三角形，

•••ZABC=45°.

故答案为45。.

11.在关于“折纸问题”的数学活动课中，小刚沿菱形纸片438各边中点的连线裁剪得

到四边形纸片EFG”，再将纸片EFGH按如图所示分别沿MN、PQ折叠，使点E,G

落在线段PN上点E',G'处，当PN〃EF时，若阴影部分的周长之和为16,AEH,△CFG

的面积之和为12,则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为

【答案】12

【解析】解：连接2。，如图所示:

.•四边形ABCO是菱形，

C

AB=AD,AC与垂直平分，

•••E是AB的中点，H是A。的中点，

：.AE=AH,EH是△ABD的中位线,

•••EN=HN,BD=2EH=4HN,

由题意可以设AN=PC=x,EN=HN=PF=PG=y.

则有I2x9x2yxx=12,

14y+4(2%—y)=16

解得,C,

AN=2,HN=3,

•••BD=4HN=12；

故答案为：12.

证出EH是AaB。的中位线，得出80=2EH=4HN,由题意可以设AN=PC=x,EN=

HN=PF=PG=y,构建方程组求出无，y即可解决问题.

本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质、三角形中位线定理、方程组的解法等知识，解

题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

12.如图，将一段标有0〜60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部

分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为A、8、C三段，若这三段

的长度由短到长的比为1：2：3,则折痕对应的刻度可能是.

【答案】20或25或35或40

【解析】解：设折痕对应的刻度为尤c巾，依题意有

绳子被剪为10。"，20cm,30aw的三段，

①％=g+10=20,

②%=弓+10=25

@x=y+20=35,

@x=/+20=25

⑤x=/+30=35

@x=g+30=40

综上所述，折痕对应的刻度可能为20、25、35,40.

故答案为20或25或35或40.

可设折痕对应的刻度为尤52,根据折叠的性质和三段长度由短到长的比为1：2：3,长为6052

的卷尺，列出方程求解即可.

本题考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.注意分类思想的运用.

三、解答题

13.我们经常利用图形描述问题和分析问题.借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象,

有助于探索解决问题的思路.

(1)小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为。的大正方形剪

去一个边长为6的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2,显然图1中的图

形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式.则小明验证的公式是.

(2)计算：(x+a)(x+b)=；请画图说明这个等式.

图1图2

Xa

【答案】(l)(a+b)(a-b)=a2-b2(2)x2+ax+bx+ab

【解析】

解：(1)由图1可得，图形面积=十一炉，

由图2可得，图形面积=(Q+b)(a-b),

(a+h)(a—b)=a2—b2

故答案为：(a+b)(a-6)=a2-h2；

(2)(%+a)(x+&)=x2+ax+fox+ab,

证明：如图所示，图形面积=(%+a)(%+b),

图形面积=x2+ax+bx+ab,

•••(x+a)(%+b)=/+0%++。力，

故答案为：x2+ax+bx+ab.

【分析】

(1)依据图形面积=a2-b2,图形面积=(a+6)(a-b),即可得到(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)依据图形面积=(x+a)(x+b),图形面积=x2+ax+bx+ab,即可得出(％+a)(%+

b)="+。％+b%+ab.

本题考查了平方差公式的几何背景,把阴影部分的面积用不同的方法表示是解答此类题目的

关键.

14.问题提出：某段楼梯共有10个台阶，如果某同学在上台阶时，可以一步1个台阶，也

可以一步2个台阶.那么该同学从该段楼梯底部上到顶部共有多少种不同的走法？

问题探究：

为解决上述实际问题，我们先建立如下数学模型：

如图①，用若干个边长都为1的正方形（记为1x1矩形）和若干个边长分别为1和2的

矩形（记为1X2矩形），要拼成一个如图②中边长分别为1和n的矩形（记为1Xn矩形），

有多少种不同的拼法？（设&Xn表示不同拼法的个数）

为解决上述数学模型问题，我们采取的策略和方法是：一般问题特殊化.

探究一：先从最特殊的情形入手，即要拼成一个1x1矩形，有多少种不同拼法？

显然，只有1种拼法，如图③，即4乂1=1种・

探究二：要拼成一个lx2矩形，有多少种不同拼法？

可以看出，有2种拼法，如图④，即力m2=2种.

探究三：要拼成一个lx3矩形，有多少种不同拼法？

拼图方法可分为两类：一类是在图④这2种lx2矩形上方，各拼上一个1x1矩形，即

这类拼法共有&X2=2种；另一类是在图③这1种1x1矩形上方拼上一个1x2矩形，

即这类拼法有4X1=1种.如图⑤,即441x3=4x2+4x1=2+1=3（种）.

探究四：仿照上述探究过程，要拼成一个lx4矩形，有多少种不同拼法？请画示意图

说明并求出结果.

探究五：要拼成一个1x5矩形，仿照上述探究过程，得出&xs=种不同拼法.（

直接写出结果，不需画图）.

问题解决：请你根据上述中的数学模型，解答“问题提出”中的实际问题.（写出解答

过程，不需画图）.

【答案】8

一A11

【解析】解：探究四：拼图方法可分为两1

二2

1

1

类：一类是在图④这2种lx2矩形上方，

二1

1

各拼上一个lx2矩形，即这类拼法共有1

A11

4x2=2种；另一类是在图⑤这3种1x3

图

矩形上方，各拼上一个1x1矩形，即这类

拼法共有4x3=3种.如图6,即4X4=&x3+&X2=3+2=5（种）.

探究五：4x5=5+3=8种不同拼法.

故答案为：8.

问题解决：••・楼梯共有10个台阶，如果某同学在上台阶时，可以一步1个台阶，也可以一步

2个台阶二Aixl=1种,即&X3=41X2+4x1=2+1=3（种），41X4=41X3+41X2=3+

2=5（种），4*5=8（种），

'1"41X6=41X4+&X5=5+8=13,41X7=&X6+4x5=13+8=21,

"4x8=4x6+41x7=13+21=34,

41x9=&x7+&X8=21+34=55,

4ixio="1x8+41x9=34+55=89.

答：该同学从该段楼梯底部上到顶部共有89种不同的走法.

根据图形中矩形组合规律得出力1X5=4*3+&X4，^ixn=^lx（n-l）+^lx（n-2）.进而求出

即可，再利用这一规律分别求出4x6,4x7得出答案即可.

本题主要考查了计数方法，培养学生根据已知的两组数据间的关系，进行分析推断，得出一

般化关系式的能力.

15.阅读下列材料，并解决问题:

【实验操作】如图1,若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片，拼成如图所示的大长

方形，并用不同的方法计算它的面积，回答下列问题：

图1

①这个拼成的大长方形的面积可表示为多项式为,也可以表示成因式积

的形式为___________;

②试借助拼图的方法，把二次三项式+3b2+4ab因式分解为

【研究发现】如图2,两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c

的等腰直角三角形拼成如图。试用不同的方法计算这个图形的面积解决下列问题：

①若a=3,b=4,则这个两条直角边都是c的等腰直角三角形的面积为;

②你能发现相关a,b,c的等式吗，试说明道理；

【问题解决】

有一纸板如图3,AABC中，乙4c8=90。，量得BC=9cm,AB=15cm,如图中宽为

2.5an的尺子一顶点与三角形在C处重合，尺子在移动过程中，一边B与斜边A8的

交点记作点尸，通过度量比较，你会发现CP的长度不断变化，过尸截得长方形。QH

分别截取出面积最大的长方形与面积最小的长方形，试直接写出它们的面积和为

cm2.

liE

图3

【答案】解：【实验操作】

@a2+2b2+3ab；(a+26)(a+b)；

②(a+b)(a+3b)；

【研究发现】

①今

2

②。2+b=c2，理由如下，

如图2,这个两条直角边都是C的等腰直角三角形的面积为直角梯形的面积，减去两个边长

分别为a,6,c的直角三角形的面积，

111r

--(a+/?)•(a+ft)—--ab-2=--c2,

化简得：a2+b2=c2,

故相关a,b,c的等式为a?+炉=©2；

【问题解决】

48.

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的应用，利用因式分解来解决求值问题;利用因式分解来解决证明问题;

利用因式分解来简化计算问题.

【实验操作】

①这个拼成的大长方形的面积为：一个边长为。的正方形的面积，2个边长为6的正方形面

积和3个长为6,宽为a的长方形面积的三者之和，可列出多项式；根据长方形的面积计算

公式，可化为积的形式；

②二次三项式a2+3F+4ab：可以看成是一个边长为〃的正方形的面积，3个边长为b的

正方形面积和4个长为b,宽为a的长方形面积的三者之和，可以拼成宽为(a+b),长为(a+

3b)的长方形，即a?+3b2+4ab=(a+b)(a+3b)；

【研究发现】

①这个两条直角边都是c的等腰直角三角形的面积为直角梯形的面积，减去两个边长分别

为a,b,c的直角三角形的面积，进而算出所求面积；

②根据这3个直角三角形和拼成的直角梯形的面积关系列出等式，进行化简可得到结论；

【问题解决】

根据勾股定理可得AC的长，和进行比较，得到截取的面积最大的长方形C。。尸的尸

的位置，进而算出长方形CDQP面积最大时的面积，当CP14B时，可得截取出面积最小的

长方形，用等面积法可得此时CP的长，进而算出长方形CDQP面积最小时的面积，两者作

和即可得出答案.

【解答】

【实验操作】

①解：这个拼成的大长方形的面积为：一个边长为。的正方形的面积，2个边长为b的正方

形面积和3个长为6,宽为。的长方形面积的三者之和，所以这个拼成的大长方形的面积可

表示为多项式为a2+262+3ab；拼成后的根据长方形的面积公式可得：(a+b)(a+36)；

故答案为a?+2。2+3ab；(a+2b)(a+b)；

②a?+3b2+4ab=(a+ft)(a+3b),

故答案为(a+b)(a+3b)；

【研究发现】

①解：••・如图2的图形是由两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c

的等腰直角三角形拼成的直角梯形，

这个两条直角边都是c的等腰直角三角形的面积为：直角梯形的面积，减去两个边长分别为

a,b,c的直角三角形的面积，且a=3,b=4,

故这个两条直角边都是c的等腰直角三角形的面积为：9(a+6)•(a+b)-[•ab•2=g,

故答案为

②见答案；

【问题解决】

解：由题意可得，在Rt△力BC中，BC=9cm,AB=15cm,

故AC=7AB2-BC?=12cm）

因为BC<4C,

过P截得长方形CDQP,

①当尸与点A重合时，可得截取出面积最大的长方形，

此时截取的长方形面积为：4Cx0C=12x2.5=30cm2；

②当CP148时，可得截取出面积最小的长方形，

-S^ABC=1-BC-AC=^-AB-CP,

|x9xl2=|xl5xCP,解得CP=7.2cm,

此时截取的长方形面积为：CPXDC=7.2X2.5=18cm.

故分别截取出面积最大的长方形与面积最小的长方形的面积之和为18+30=48cm2,

故答案为48.

16.如图，把边长为2的正方形剪成四个完全一样的直角三角形，在下面对应的正方形网格

（每个小正方形的边长均为1）中画出用这四个直角三角形按要求分别拼成的新的多边

形.（要求全部用上，互不重叠，互不留隙）.

（1）长方形（非正方形）；

（2）平行四边形；

（3）四边形（非平行四边形）.

⑵(3)

【答案】解：（1）如图（1）所示;

(2)如图(2)所示:

(3)如图(3)所示.

【解析】此题主要考查了图形的剪拼，正确利用基本图形进行拼凑是解题关键.

(1)利用长方形的性质结合基本图形进而拼凑即可；

(2)利用平行四边形的性质结合基本图形进而拼凑即可；

(3)结合基本图形进而拼凑出符合题意的四边形即可.

17.阅读下列文字：利用图①中的三种材料各若干可以拼成一些图形来解释某些等式，比

如图②可以解释为(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

(1)图③可以解释为等式：;

(2)在虚线框中用图①中的基本图形若干块(每种至少用一次)拼成一个长方形，使拼出

的长方形面积为2a2+7ab+3b2,并标出此长方形的长和宽；

(3)用四个图①中长、宽分别为b、。的长方形拼成如图④所示的图形，图④中大正

方形的边长为加，小正方形的边长为W,观察图形，指出以下关系中正确的有.(将

正确答案的序号填在横线上)

①b+a=m;@b—a=n;@ba——--;@b2—a2—mn.

【答案】解：(l)(a+2b)(2a+b)=2a2+Sab+2b2

(2)此长方形的长和宽分别为a+3b和2a+b.如图：

abbb

⑶①②③④

【解析】

【分析】

本题主要考查多项式乘以多项式的法则，用到的知识点是多项式的乘法法则、长方形正方形

的面积公式，注意不要漏项，漏