初中数学中考复习讲义练习：归纳推理

归纳推理

【规律总结】

归纳推理是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围

较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。自然界和社会中的一

般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中，

因此，只有通过认识个别，才能认识一般。人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的

事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出

发，再得出关于个别事物的结论。这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上

升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律性的认识。例如，根据各个地

区、各个历史时期生产力不发展所导致的社会生活面貌落后，可以得出结论说，生产力发

展是社会进步的动力，这正是从对于个别事物的研究得出一般性结论的推理过程，即归纳

推理。显然，归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进

行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。在人们的解释思

维中，归纳和演绎是互相联系、互相补充、不可分割的。

【典例分析】

份！J1、等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A,C对应的数分别为。和-1,若△ABC绕

着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点8所对应的数为1；则翻转2019次

后，点B所对应的数是（）

B

___________iiiiCI/\A।।।।।.

-5-4-3-2-1012345

A.2018B,2019C.2018.5D.2021

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关

键.是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的

规律解决问题.注意翻折的时候，点8对应的数字的规律：只要是3n+l和3几+2次翻折的

对应的数字是3n+2.结合数轴发现根据翻折的次数，发现对应的数字依次是：1,1,2.5；

4,4,5,5；7,7,8,5…即第1次和第二次对应的都是1,第四次和第五次对应的都是4,第

7次和第8次对应的都是7.根据这一规律：因为2019=673x3,所以翻转2019次后，点2

所对应的数是2.5+(673-1)x3,求出即可.

【解答】

解：因为2019=673X3,

2.5+(673-1)x3=2018.5,

所以2019次翻折后B点对应的数字是2018.5,

故选C.

彳列2、有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动

【答案】2.

【解析】

【分析】

观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案。

【解答】

观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，

•••20174-4=504...1,

二滚动第2017次后与第一次相同，

二朝下的点数为2,

故答案为2.

伤。3、棱长为“的小正方体，按照如图所示的方法一直维续摆放，自上而下分别叫第1层、

第2层、...第?1(71>0)层，第〃层的小正方体的个数记为S.

(1)完成下表:

n1234

S13——

(2)通过上表可以发现S随〃的变化而变化，且有一定的规律，请你用式子来表示S与〃

的关系，并计算当几=10时S的值.

【答案】解：(1)6；10；

(2)S随力的变化而变化，〃是自变量，S是因变量第"层时，

S=l+2+3+—\-n—|n(n+1),

当n=10时，S=jx10x11-55.

【解析】

【分析】

本题考查图形规律性的变化；得到第”层正方体的个数的规律是解决本题的关键.

(1)第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2,根

据相应规律可得第3层，第4层正方体的个数；

(2)根据自变量与因变量的意义，可得答案；

(3)依据(1)得到的规律可得第〃层正方体的个数，进而得到n=10时S的值.

【解答】

解：(1)、・第1个图有1层，共1个小正方体，

第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2=3,

第3个图有3层，第3层正方体的个数为1+2+3=6,

n=4时，即第4层正方体的个数为：1+2+3+4=10,

故答案为：6,10；

(2)S随〃的变化而变化，〃是自变量，S是因变量

第w层时，S=l+2+3+---+n=|n(n+1),

当ri=10时，S=|x10x11=55.

【好题演练】

一、选择题

1.设S]=1,52=1+3,S3=1+3+5,…，Sn=1+3+5+—F(2n—1),S=+

店十…+店，其中”为正整数，用含〃的代数式表示5为()

A.nB.C.n2D.

22

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式的化简求值，求出X，S2,S3,...的值，代入后根据二次根式的性质求

出每一部分的值，再求出最后结果即可

【解答】

解：•・,Si=1,S2=1+3=4=2z,S3=1+3+5=9=3?,S九=1+3+5+—F(2n—

1)=[1+(2；-1)忱=几2,九为正整数，

・•.S=+--F

=V1+V2^+V3^+—F

=1+2+3…+九，

n(n+l)

=-----,

2

故选D

2.观察如图，寻找规律，在“？”处应填上的数字是

A.128

B.136L

C.164

D.188

【答案】C

【解析】

【分析】

本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的

规律解决问题.主要是能够认真观察发现圆圈中数字之间的规律.观察发现：第〃个圆圈里

的数正好是前面3个圆圈中的数字的和.

【解答】

解：27+49+88=164.

故选C.

3.下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，第一个图案需8根火柴，第二个图

案需15根火柴，…，按此规律，第九个图案需几根火柴棒（）

O8CDO…

A.2+7nB.8+7nC.4+7nD.7n+1

【答案】D

【解析】

【分析】

此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结

出规律，再利用规律解决问题.根据第1个图案需8根火柴，8=7x1+1,第2个图案需

15根火柴，15=7x2+1,第3个图案需22根火柴，22=7x3+1,…得出规律第〃个

图案需7九+1根火柴，求出答案.

【解答】

解：第1个图案需8根火柴，8=7x1+1,

第2个图案需15根火柴，15=7x2+1,

第3个图案需22根火柴，22=7x3+1,

得出规律第n个图案需7n+1根火柴，

故选D.

4.如图，圆周上均匀分布着5个分点，将圆周分成5份，每份为

一个单位.现有两颗棋子，甲棋子从A处起跳沿逆时针方向跳

动，每秒跳2个单位，乙棋子从E处起跳沿顺时针方向跳动，

每秒跳1个单位，若甲、乙同时起跳，则经过2018秒，它们

在分点上相遇（）

A.401次B.402次C.403次D.404次

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查归纳推理找出规律，解题时要审题，仔细求解.

根据题意，通过分析可得规律：两颗棋子五秒一个循环，其中一个循环里有一次相遇，即可

求出经过2018秒，它们在分点上相遇多少次.

【解答】

由题意知，

第1秒甲跳到C处，乙跳到。处;

第2秒甲跳到E处，乙跳到C处;

第3秒甲跳到2处，乙跳到8处，相遇；

第4秒甲跳到。处，乙跳到A处；

第5秒甲跳到A处，乙跳到E处，回到出发点;

依此类推可得两颗棋子5秒一个循环，其中一个循环里在第3秒时有一次相遇,

故经过2018秒即2018s=403X5s+3s,则它们在分点上相遇了404次.

故选D

5.如图，AaBC中，Z4CB=90°,Z5=30°,AC=1,过

点C作CD114B于。1，过点。1作心。218c于。2，过点

。2作。2。314B于4,这样继续作下去，线段DnDn+iO为

正整数）等于（）

A.(|)n+1B.(|严1C.弓尸D.(当n+1

【答案】D

【解析】

【分析】

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些

部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

在本题中，大大小小的三角形全部是30。、60。、90。的特殊三角形.因为ac=l,在直角

三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可解答.

【解答】

解：根据题意得：在AABC中，/.ACB=90°,ZB=30°,贝宽5=3；

12

进而在△皿外中，有。也=yCOi=（y）2>

进而可得：D2D3=（当下，…；

则线段=（f）n+1-

故选D

6.一个点在数轴上移动时，它所对应的数，也会相应的变化.若点A先从原点开始，第

一次向右移动3个单位长度，第二次向左移动5个单位长度，第三次向右移动3个单位

长度，第四次向左移动5个单位长度，如此往复，经过2019次运动后点A所对应的实

数为（）

A.-2015B.-2017C.-2019D.-2021

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是数轴，首先根据题意找出第一次到第六次所对应的数，找到规律，得到

第2018次到达-2018,那么第2019次应向右移动3个单位，即可得到答案.

【解答】

解：依题意得，点A每两次移动的结果是向左移动两个单位，

而2019除以2得1009余数是1,

则此时点A对应的实数为：

1009x（-2）+3=-2015,

故选A.

二、填空题

7.如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，

【答案】672

【解析】

【分析】

本题考查图形规律问题.解题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系，得出规律.观

察图形，发现：白色纸片个数的规律，用字母表示即可；再根据其中的规律，再由第"个图

案中有2017个白色纸片，列方程求解即可.

【解答】

解：第1个图案中有白色纸片3xl+l=4=3xl+1（张）,

第2个图案中有白色纸片3x2+l=7=3x2+1（张），

第3图案中有白色纸片3X3+1=1O=3X3+1（张）,

第4图案中有白色纸片3x4+l=13=3x4+1（张）,

第n个图案中有白色纸片=（3n+1）张.

3n+1—2017,

解得：n=672.

故答案为672.

8.观察下列一组由团排列的“星阵”，按图中规律，第"个“星阵”中的团的个数是

★★

★•★・♦金•

***********

**************

**♦♦*****•♦・••

(1)⑵(3)(4)

【答案】n2+n+2

【解析】

【分析】

本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻

找它们之间的相互联系，探寻其规律.排列组成的图形都是三角形.第一个图形中有2+1x

2=4个团，第二个图形中有2+2x3=8个团，第三个图形中有2+3x4=14个团，…，继

而可求出第w个图形中12的个数.

【解答】

解：••・第一个图形有2+1x2=4个，

第二个图形有2+2x3=8个，

第三个图形有2+3X4=14个，

第四个图形有2+4x5=22个，

.•.第"个图形共有：2+nx(?i+l)=n2+n+2.

故答案为：n2+n+2.

9.在平面直角坐标系中，直线Z：y=尤-1与x轴交于点

如图所示依次作正方形为B1Q。、正方形力2鸟2c26，…、

正方形4rBnCnCn_「使得点&、&、4，…在直线I

上，点Q、。2、。3…在y轴正半轴上，则点分的坐标

是.

【答案】（2nT,2n—1）

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变

化找出变化规律“4„（2方1,2吁1-l）（n为正整数）”是解题的关键.根据一次函数图象上点

的坐标特征找出4、4、&、4的坐标，结合图形即可得知点々是线段Cn^n+l的中点，由

此即可得出点扁的坐标.

【解答】

解：当y=0时，x=1,••.41(1,0),易知/与y轴成45。夹角,

22

•••B2(2,2+1),B3(2,2+2+1),…，

1

Bn(2"T,2"T+2n-2+.••+2+1),

设S=1+2]+22+…+2nT+2n-1,

贝I]2s=21+22+…+2n-1+2n,S=2n-1,

n1n

Bn=(2-,2-1).

10.如图(1),(2),(3),(4),…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照

这种规律，第〃个“广”字中的棋子个数是个.

(1)C2)(3)(4)

【答案】(5+2n)

【解析】略

【答案】n(n+1)

【解析】

【分析】

本题考查的是点坐标，归纳推理有关知识，归纳走到(n,n)处时，移动的长度单位及方向.

【解答】

解：质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2；

质点到达(2,2)处，走过的长度单位是6=2+4；

质点到达(3,3)处，走过的长度单位是12=2+4+6；

质点到达(4,4)处，走过的长度单位是20=2+4+6+8；

猜想：质点到达(71,几)处，走过的长度单位是2+4+6H---\-2n-n(n+1).

故答案为n(n+1)

12.将1、&、V3＞乃按下图所示的方式排列，若规定(zn,n)表示第m排从左到右第〃个

数，则(4,2)与(21,2)表示的两数的积是

知推

傩

翼3排

管」摊

第5排

【答案】6

【解析】

【分析】

此题主要考查了数字的变化规律以及二次根式的乘除，对于找规律的题目找准变化规律是关

键.

根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数.第三排3个数，第四排4个数，…第

m-1排有(爪一1)个数，从第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+…+(m-1)个数，根

据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第w个数到底是哪个数后

再计算.

【解答】

解：由题意可知，每4个数一个轮回，(21,2)表示第21排从左向右第2个数,

因为第1排到第20排的数的总数为1+2+3+……+20=210,

再加上第21排第2个数，共有210+2=212个数,

因为212+4=53,

所以(21,2)表本的数是

同理，可求得(4,2)表示的数为几,

所以表不(4,2)和(21,2)的数的乘积为迎xV6=6.

故答案为6.

三、解答题

13.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

*

第1个第2个第3个第4个

(1)第5个图形有颗黑色棋子，第w个图形有颗黑色棋子;

(2)是否存在第"个图形有2018颗黑色棋子？若存在，求出〃的值；若不存在，请说明

理由.

【答案】解：(1)18；3n+3；

(2)解：不存在第"个图形有2018颗黑色棋子.

理由如下：

假设第n个图形有2017颗黑色棋子，

根据题意，得3(n+1)=2018,

解得几=672|,

・••n的值不是整数，

・•・不存在第n个图形有2018颗黑色棋子.

【解析】

【分析】

本题考查了列代数式以及图形规律问题，一元一次方程的应用的有关知识.

(1)观察图形不难发现，每个图形中的黑色棋子的个数都是3的倍数，进而得到第5个图形

的黑色棋子的个数，再根据找到的规律可得第n的图形的黑色棋子的个数为3(n+1)；

(2)可令3(n+1)=2017,解这个方程即可.

【解答】

解：(1)第1个图形需棋子6颗,

第2个图形需棋子9颗，

第3个图形需棋子12颗,

第4个图形需棋子15颗,

第5个图形需棋子18颗.

第n个图形需棋子(3n+3)颗.

故答案为18；3n+3；

(2)见答案.

14.观察如图所示的图形，并阅读相关文字信息后回答下列问题:

②

2条直线相交，最多有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多

有6个交点.

(1)8条直线相交，最多有几个交点？

(2)设有〃条直线相交，最多有y个交点，请用含"的代数式表示》并指出这个代数式

中的常量和变量.

(3)当最多交点个数为4950时，此时直线有几条？

【答案】解：(1)2条直线相交有1个交点；

3条直线相交有1+2个交点；

4条直线相交有14-2+3个交点；

5条直线相交有1+2+3+4个交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；

7条直线相交有1+2+3+44-5+6=21个交点，

8条直线相交有1+2+3+4+5+6+7=28个交点.

(2)根据题意可得y=-[n,在这个代数式中，常量是|,变量是y和”.

(3)当交点为4950时，贝IJ有4950=1足—1小

解得九=100或n=-99(舍去)，

此时直线有100条.

【解析】本题主要考查了规律型的问题与函数、方程的综合，关键是根据所给的直线条数与

交点个数总结出规律.

(1)分析数据的交点与直线的关系进行归纳；

(2)由(1)进行归纳规律，利用函数中的量进行判断即可；

(3)根据(2)中的代数式可得关于n的方程，解方程得出满足要求的解即可.

15.阅读下面一段话：

关于X的方程X+—=C+匚的解是X=C或尤=—;

XCC

111

%+-=C+-的解是久=C或％=

XCC

X+~=C+々的解是久=C或％=-；

XCC

X+~=C+2的解是久=C或久=-；

XCC

(1)写出方程X+§=|的解为.

(2)猜想方程"+£=C+：(M丰0)的解，并将所得的解代入方程中检验.

(3)由上述的观察、比较、猜想、验证，请用这个结论解关于x的方程：乂+三=a+三.

【答案】解：(l)x=2或x=，

(2)猜想x+?=c+：(m70)的解是勺=c,%2=p

验证：当x=c时，方程左边=。+"，方程右边=c+N

CC

•••方程成立；

当x时，方程左边=：+。，方程右边=0+失

二方程成立；

,m,mzXLATII=Im

•1•%+-=c+-(m0)的解是=c,X2=-；

⑶由％+六=。+六得%T+六=a-l+W，

x—Y1=a—Y1,x—Y1=—2,

a-l

a+1

・•・x-i1=az,孙a=-l—•

【解析】

【分析】

本题主要考查了分式方程的解法，分式方程的解，归纳推理，正确理解题意，能够把X-1当

作一个整体并能归纳推理是关键.

(l)x+i=1=2+1，据此即可写出该方程的解.

(2)根据已知方程的特点与解的关系即可写出方程的解，然后将每个解分别代入原方程检验

即可；

(3)原方程可以变形为：x-l+^^a-l+^,把当作一个整体，即可求解.

【解答】

(1)%+i=|=2+|,

所以方程的解为％=2或x=/

故答案为久=2或x=|；

(2)见答案；

(3)见答案.

16.阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知

识.下面是他从网络上搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相

加,满十进一”.例如:①24xll=264.计算过程:24两数分开，中间相加,即2+4=6,

最后结果为264；②68x11=748.计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8=14,

满十进一，最后结果为748.

(1)计算：①32x11=,

②78x11=；

(2)若某一个两位数十位数是°,个位数是b(a+6<10),将这个两位数乘11,得到一

个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数的百位数字是,十位数字是，个

位数字是;(用含。，b的式子表示)

(3)请你结合(2)利用所学的知识解释其中原理.

【答案】解：(1)①352,②858；

(2)a,a+b,b.

(3)两位数乘11可以看成这个两位数乘以10再加上这个数，

若两位数十位数为。，个位数为b,

则ll(10a+b)

=10(10。+b)+(10a+b)

=lOOcz+10b+lOci+b

=100a+10(a+b)+b

根据上述代数式，可以总结出规律口诀为：

“头尾一拉，中间相加，满十进一”.

【解析】

【分析】

本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是理解阅读材料的口诀，并运用.

(1)根据口诀：“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；

(2)由(1)两位数十位数字是m个位数字是b,将这个两位数乘11,得到一个三位数即可得

结果；

(3)结合(2)可得ll(10a+b)=10(10a+b)+(10a+b)=100a+10b+10a+b^

100a4-10(a+&)+6-

【解答】

解：⑴①:3+2=5

•••32x11=352

@•.-7+8=15

•••78x11=858

(2)两位数十位数字是a,个位数字是b(a+b<10),这个两位数乘11,

三位数百位数字是a,十位数字是a+6,个位数字是从

(3)见答案.

故答案为：(1)①352,②858；(2)a,a+b,b.

17.用棋子摆成的“T”字形图如图所示:

(2)直接写出第〃个T字形图案中棋子的个数(用含”的代数式表示);

(3)计算第20个“V字形图案共有棋子多少个？

(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.

【答案】解：(1)由图可得：

摆成第一个“T”字需要5个棋子；

第二个图案需8个棋子；

第三个图案需11个棋子;

第四个图案需14个棋子;

第十个图案需32个棋子.

表格如下：

图形序号①②③④⑩

32

每个图案中棋子的个数581114

(2)由⑴得：

摆成第1个“T”字需要5个棋子；

摆成第2个“T”字需要8个棋子，8-5=3；

摆成第3个“T”字需要11个棋子，11一8=3；

摆成第4个“T”字需要1