如皋某中学2024年中考二模数学试题（含解析）

如皋实验初中2024年中考二模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个

圆锥容器的底面半径为（）

A.10cmB.30cmC.45cmD.300cm

[2（x-l）>4

2.关于x的不等式一八的解集为x>3,那么a的取值范围为（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

3.如图1,E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC

运动到点C时停止，它们运动的速度都是lcm/s.若P,Q同时开始运动，设运动时间为t（s）MBPQ的面积为ylcn?）.已

知y与t的函数图象如图2,则下列结论错误的是（）

Hfit

Bj----->'c。「10i4vs

卤1图2

4

A.AE=6cmB.sinNEBC=

-5

2

C.当ovtwio时，y=-t2D.当t=12s时,△PBQ是等腰三角形

4.如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E,且CD=4",连接AC,OD,若NA与NDOB互余，则EB的长

是（）

1/1

A.273B.4C.布D.2

5.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1,这个多边形的边数是（）

A.8B.9C.10D.12

6.如图，在边长为.~的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交NABC的平分线于点P,则点P到边AB所

在直线的距离为（）

A

DC

与

A.9B.C.BD.1

7.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-l=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（）,

A.m>—l且m邦B.m<l且m邦C.m<-lD.m>l

8.下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）

x>2fx<2fx>2x<2

A.<B.<C.<D.

x>—3x<—3x<—3x>—3

。产平分NAO5,PCLQ4于C,点。是05上的动点，若PC=6cm,则尸。的长可以是（

一

A.7cmB.4cmC・5cmD.3cm

10.在RtAABC中，ZC=90°,如果sinA=L,

那么sinB的值是（）

2

A-TB-1。.V2D.正

2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分,共18分）

11.计算：圭-4的结果是____.

12.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点Bi在y轴上，顶点Ci,Ei,E2,C2,E3,E4,C3……在x轴上，

已知正方形AiBiCiDi的顶点Ci的坐标是（--,0）,NBiGO=60°,BiG〃B2c2〃B3c3……则正方形A2018B2018c2018D2018

2

的顶点D2018纵坐标是.

14.如图，边长为4的正方形ABCD内接于OO,点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的

一点，连接OE,OF,分别与交AB,BC于点G,H,且NEOF=90。，连接GH,有下列结论：

①弧AE=MBF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④46811周长

的最小值为4+20.

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

15.分解因式：x2y-4xy+4y=.

16.分解因式：a3b+2a2b2+ab3=.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4,OC=3,

若抛物线经过O,A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；

（3）是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,Q的坐标；若不存在，请说

明理由.

18.（8分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水

果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比

前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为j〃（20＜；＜30x为整数）且第

12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元

（利润=销售收入-成本）.m=,n=；求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？在销

售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

19.（8分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4个班（用A,B,C,D表

示），对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图.请根据相关信息，回答下列问题：

（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了件作品；

（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者

中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率.

20.（8分）如图，一次函数丫=1^+1）的图象分别与反比例函数y=3的图象在第一象限交于点A（4,3）,与y轴的负

x

半轴交于点B,且OA=OB.

（1）求函数y=kx+b和y=@的表达式；

X

（2）已知点C（0,8）,试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.

|1一x

21.(8分)(1)解方程：-----------=-3

x—22—x

(2)解不等式组：J2

2x+l>5(x-l)

22.(10分)在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了

如图所示的两幅不完整的统计图：

3条

25%

求该班团员在这一个月内所发箴言的平

1条2条3条4条5条条数

所发力条数期形统计图所发簸才条数条形统计图

均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三

位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表

法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.

23.(12分)某种型号油电混合动力汽车，从A地到5地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到5地用电行驶需纯

用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元.求每行驶1千米纯用电的费用；若要使从A

地到5地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？

24.(1)问题：如图1,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，ZDPC=ZA=ZB=90°.求证：ADBC=APBP.

(2)探究：如图2,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当NDPC=NA=NB=8时，上述结论是否依然成立.说

明理由.

(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3,在AABD中，AB=6,AD=BD=1.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且

满足NDPC=NA.设点P的运动时间为t(秒)，当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

根据已知得出直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120。半径是30cm的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底

面圆的周长即可得出答案。

【详解】

直径是60cm的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120。半径是30cm的扇形

假设每个圆锥容器的地面半径为rem

120°义乃义30c

-------------------=2兀Y

180°

解得r=10（cm）

故答案选A.

【点睛】

本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。

2、D

【解析】

分析：先解第一个不等式得到x>3,由于不等式组的解集为x>3,则利用同大取大可得到a的范围.

详解：解不等式2（x-1）>4,得：x>3,

解不等式a-xVO,得：x>a,

•.•不等式组的解集为x>3,

故选D.

点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集

的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大

小小找不到.

3、D

【解析】

(1)结论A正确，理由如下：

解析函数图象可知，BC=10cm,ED=4cm,

故AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm.

(2)结论B正确，理由如下：

如图，连接EC,过点E作EFLBC于点F,

由函数图象可知，BC=BE=10cm,SABEC=40=­BC-EF=-10-EF=5EF,

EF84

EF=1..IsinNEBC==—=—.

BE105

(3)结论C正确，理由如下：

如图，过点P作PGLBQ于点G,

BGQ—

2

；BQ=BP=t,y=SABPQ=1-BQPG=|BQBPsinZEBC=|tt-|=|t.

(4)结论D错误，理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，

设为N,如图，连接NB,NC.

D

此时AN=LND=2,由勾股定理求得：NB=8。NC=2^/17.

VBC=10,

ABCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形.

故选D.

4、D

【解析】

连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知NCOB=NDOB,则NA与NCOB互余，由圆周角定理知NA=30。,

ZCOE=60°,则NOCE=30。，设OE=x，则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.

【详解】

连接CO,；AB平分CD,

/.ZCOB=ZDOB,AB±CD,CE=DE=26

与NDOB互余，

,,.ZA+ZCOB=90°,

又NCOB=2NA,

.•.NA=30。，NCOE=60。，

/.ZOCE=30°,

设OE=x，则CO=2x,

/.CO2=OE2+CE2

即(2x)2=x2+(2豆)2

解得x=2,

/.BO=CO=4,

/.BE=CO-OE=2.

故选D.

【点睛】

此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.

5、A

【解析】

试题分析：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180,解可

得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数.

解：设这个多边形的外角为x。，则内角为3x。，

由题意得：x+3x=180,

解得x=45,

这个多边形的边数：360。+45。=8,

故选A.

考点：多边形内角与外角.

6、D

【解析】

试题分析：ABC为等边三角形，BP平分/ABC,.•.NPBC==NABC=30。，TPUBC,.\NPCB=90。，在RtAPCB

.

中，PC=BC・tanNPBC=\；x」=1,...点P到边AB所在直线的距离为1,故选D.

J

考点：L角平分线的性质；2.等边三角形的性质；3.含30度角的直角三角形；4.勾股定理.

7、A

【解析】

•.•一元二次方程1=0有两个不相等的实数根，

...mW0，且22-4X/MX(-1)>0,

解得：m>-1且，”声0.

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程。/+打+，=0(。彳0)根的判别式：

(1)当△=廿-4讹>0时，方程有两个不相等的实数根；

(2)当A=b2-4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；

(3)当A="-4acV0时，方程没有实数根.

8、D

【解析】

此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案.

【详解】

fx<2

由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为°,

x--3

故选D.

【点睛】

本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题

关键.

9、A

【解析】

过点尸作尸于。，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得尸C=PZ>,再根据垂线段最短解答即可.

【详解】

解：作尸£>_L05于O,

产平分NA03,PC±OA,PDLOA,

：.PD=PC=f>cm,

则PD的最小值是6cm,

故选A.

【点睛】

考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键.

10、A

【解析】

占1

YRtAABC中，ZC=90°,sinA=一，

2

:.NA+NB=90°,

故选A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、V2

【解析】

试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可,

考点：二次根式的加减

【解析】

利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案.

【详解】

解：VZBiCiO=60°,CiO=-,

2

.,.BiCi=l,ZDiCiEi=30°,

g1

VsinZDiCiEi=-^=-,

1

=

••DiEi—9

2

•・•BiG〃B2c2〃B3c3〃…

・・・600=NBiCiO=NB2c2O=NB3c3。=・・.

J1A/3

B2E2B耳_2'片_（百）2

A/33'33sin/B3c3OQ3

sinZ.B2C2E2

TT

旦）

故正方形AnBnCnDn的边长=（

3

；・B2018c2018=()2.

3

1J3

•e•D2018E2018=—X()2,

23

；.D的纵坐标为Lx(1)2,

23

故答案为Lx(且)2.

23

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键

13、360°

【解析】

根据多边形的外角和等于360度即可求解.

【详解】

解：七边形的外角和等于360。.

故答案为360°

【点睛】

本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360。.

14、①②④

【解析】

①根据ASA可证△BOEgACOF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,根据等弦对等弧得到的=3尸，可以判断

①；

②根据SAS可证△BOG丝△COH,根据全等三角形的性质得到NGOH=90。，OG=OH,根据等腰直角三角形的判定

得到AOGH是等腰直角三角形，可以判断②；

③通过证明△HOM^AGON,可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；

④根据ABOG之△COH可知BG=CH,贝BG+BH=BC=4,设BG=x,贝!|BH=4-x,根据勾股定理得到

GH川BG2+BH?=次+(4-，可以求得其最小值，可以判断④•

【详解】

解：①如图所示，

VZBOE+ZBOF=90°,ZCOF+ZBOF=90°,

，ZBOE=ZCOF,

在小BOE^ACOF中，

OB=OC

<ZBOE=ZCOF,

OE=OF

/.△BOE^ACOF,

/.BE=CF,

AE=BF，①正确;

@VOC=OB,ZCOH=ZBOG,ZOCH=ZOBG=45°,

/.△BOG^ACOH；

/.OG=OH,VZGOH=90°,

...△OGH是等腰直角三角形，②正确.

③如图所示，

VAHOM^AGON,

四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误;

④,.•△BOG丝△COH,

/.BG=CH,

；.BG+BH=BC=4,

设BG=x,则BH=4-x,

贝！IGH=《BG?+BH?=+(4_力2,

其最小值为4+2y/2，④正确.

故答案为：①②④

【点睛】

考查了圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面

积的计算，综合性较强.

15、j(x-2)2

【解析】

先提取公因式y,再根据完全平方公式分解即可得.

【详解】

原式=y(x2-4x+4)=y(x-2)2,

故答案为y(x-2)2.

16、ab(a+b)

【解析】

a^+la^1+ab3=ab(a'+lab+b1)=ab(a+b)L

故答案为ab(a+b)i.

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.

三、解答题(共8题，共72分)

33

17、(1)y=——x2+3x；(2)当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,-)；(3)存在，具体见解析.

42

【解析】

⑴由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)D与P重合时有最小值，求出点D的坐标即可；

(3)存在，分别根据①AC为对角线，②AC为边，两种情况，分别求解即可.

【详解】

(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=3,

AA(4,0),C(0,3),

•.•抛物线经过O、A两点，且顶点在BC边上，

二抛物线顶点坐标为(2,3),

二可设抛物线解析式为y=a(x-2>+3,

3

把A点坐标代入可得0=a(4-2A+3,解得a=-7，

33

2

.•.抛物线解析式为y=-：(x-2产+3,即y=--x+3x;

(2)•.•点P在抛物线对称轴上，/.PA=PO,/.PO+PC=PA+PC.

二当点P与点D重合时，PA+PC=AC；当点P不与点D重合时，PA+POAC；

当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b,

rr3

4k+b=0,k=—,

根据题意，得,°解得4

[b=3,

3

...直线AC的解析式为y=-=x+3,

4

33

当x=2时，y=—x+3=—,

42

3

.,.当PO+PC的值最小时，点P的坐标为(2,-)；

2

(3)存在.

①AC为对角线，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q(2,3),则P(2,0)；

②AC为边，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P,则点A向右平移2个单位得到点Q,则

3

Q点的横坐标为6,当x=6时，y=—%+3=-9,此时Q(6,-9),则点A(4,0)向右平移2个单位，向下平移

4

9个单位得到点Q,所以点C(0,3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P,则P(2,-6)；

当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P,则点C向左平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐

3

标为-2,当x=-2时，y=-一x+3=—9,此时Q(-2,-9),则点C(0,3)向左平移2个单位，向下平移12个单

-4

位得到点Q,所以点A(4,0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P,则P(2,-12)；

综上所述，P(2,0),Q(2,3)或P(2,-6),Q(6,-9)或P(2,-12),Q(-2,-9).

【点睛】

二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.

18、(1)m=--,n=25；(2)18,W最大=968；(3)12天.

2

【解析】

【分析】(1)根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；

(2)在(1)的基础上分段表示利润，讨论最值；

(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数.

【详解】(1)当第12天的售价为32元/件，代入y=mx-76m得

32=12m-76m,

解得m=--,

2

当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n,

则n=25,

故答案为111=-工，n=25；

2

(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x-1)=4x+16,

当l<x<20时，

W=(4x+16)(--x+38-18)=-2X2+72X+320=-2(x-18)2+968,

2

.•.当x=18时，W**=968,

当20<x<30时，W=(4x+16)(25-18)=28x+112,

V28>0,

，W随x的增大而增大，

.,.当x=30时，W最大=952,

V968>952,

.,.当x=18时，W最大=968；

(3)当l<x<20时，令-2x2+72x+320=870,

解得xi=25,X2=ll>

•抛物线W=-2X2+72X+320的开口向下，

；.UWxW25时，W>870,

.,.ll<x<20,

为正整数，

,有9天利润不低于870元，

当20<x<30时，令28x+112>870,

解得它27」，

14

.1

27—<x<30

14

•••x为正整数，

•••有3天利润不低于870元，

，综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题

的关键.

19、(1)图形见解析，216件；(2)-

2

【解析】

(1)由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数，再求得D班级的数量，可补全条形图，再用36

乘四个班的平均数即估计全校的作品数；

(2)列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得.

【详解】

120

(1)4个班作品总数为：12+工=36件，所以D班级作品数量为：36-6-12-10=8;

360

估计全校共征集作品—x36=324件.

4

条形图如图所示，

作品数量条形统计图

(2)男生有3名，分别记为Ai,A2,A3,女生记为B,

列表如下：

AiA2A3B

Ai(Ai,A2)(Ai,A3)(Ai,B)

A2(Az,Ai)(A2,A3)(A2,B)

As(A3,Ai)(A3,A2)(A3,B)

B(B,Ai)(B,A2)(B,A3)

由列表可知，共有12种等可能情况，其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种.

所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为4=1.

【点睛】

考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【解析】

(1)利用待定系数法即可解答；

(2)作MD，y轴，交y轴于点D,设点M的坐标为(x,2x-l),根据MB=MC,得到CD=BD,再列方程可求得x的

值，得到点M的坐标

【详解】

解：(1)把点A(4,3)代入函数丁=三得：a=3x4=12,

X

.12

••y——.

x

VA(4,3)

.*.OA=1,

VOA=OB,

・••点B的坐标为(0,-1)

把B(0,-1),A(4,3)代入y=kx+b得：

:.y=2x-1.

(2)作MD，y轴于点D.

点M在一次函数y=2x-1上，

，设点M的坐标为(x,2x-1)则点D(0,2x-l)

VMB=MC,

ACD=BD

.,.8-(2x-l)=2x-l+l

13

解得:x=­

4

3

1=-

2

，点M的坐标为

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式.

21、(1)无解；(1)-1<X<1.

【解析】

(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解;

(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

【详解】

(1)去分母得：1-x+l=-3x+6,

解得：x=L

经检验x=l是增根，分式方程无解；

立。-1①

⑴《2

2x+l>5(x-l)®

由①得：x>-1,

由②得：烂1,

则不等式组的解集为-1VXSL

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

7

22、(1)3,补图详见解析；(2)—

12

【解析】

⑴总人数=3+它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数

⑵列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可

【详解】

由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%,

故该班团员人数为:

3:25%=12（人）,

则发4条箴言的人数为：12-2-2-3-1=4(人),

所以本月该班团员所发的箴言共2x1