2023-2024学年9上数学期末考点（北师大版）期末压轴专题分类01（必刷60题15种题型专项训练）解析版

期末压轴专题分类01（必刷60题15种题型专项训练）一．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）1．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝3或﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案为：3或﹣3．二．根与系数的关系（共1小题）2．设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0 B．1 C．2000 D．4000000【答案】D【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣9，α•β＝1．（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）又∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，∴α2+9α+1＝0，β2+9β+1＝0．∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝2000α•2000β＝2000×2000αβ，而α•β＝1，∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4000000．故选：D．三．一元二次方程的应用（共3小题）3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，解之得x＝5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE＝AD＝6，PQ＝10，∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，解得t1＝4.8，t2＝1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．4．阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△＝＝﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0，∵x为实数，∴△＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0，∴y≥，因此y的最小值为．5．某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出100x÷0.1＝1000x张．（0.3﹣x）（500+1000x）＝120，解得x1＝﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2＝0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）6．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象如图所示，当P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：由于P点在y＝上，则S□PCOD＝2，A、B两点在y＝上，则S△DBO＝S△ACO＝×1＝．∴S四边形PAOB＝S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO＝2﹣﹣＝1．∴四边形PAOB的面积为1．故答案为：1．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）7．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤【答案】A【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y＝，∴k≥2．随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，，得x2﹣7x+k＝0根据△≥0，得k≤综上可知2≤k≤．故选：A．8．如图，点A1，A2依次在y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（6，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：作A1C⊥OB1，垂足为C，∵△A1OB1为等边三角形，∴∠A1OB1＝60°，∴tan60°＝＝，∴A1C＝OC，设A1的坐标为（m，m），∵点A1在y＝（x＞0）的图象上，∴m＝9，解得m＝3，∴OC＝3，∴OB1＝6，作A2D⊥B1B2，垂足为D．设B1D＝a，则OD＝6+a，A2D＝a，∴A2（6+a，a）．∵A2（6+a，a）在反比例函数的图象上，∴代入y＝，得（6+a）•a＝9，化简得a2+6a﹣9＝0解得：a＝﹣3±3．∵a＞0，∴a＝﹣3+3．∴B1B2＝﹣6+6，∴OB2＝OB1+B1B2＝6，所以点B2的坐标为（6，0）．故答案为：（6，0）．9．如图，若双曲线y＝（k＞0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC＝2BD，则k的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC＝2x，则BD＝x，在Rt△OCE中，∠COE＝60°，则OE＝x，CE＝x，则点C坐标为（x，x），在Rt△BDF中，BD＝x，∠DBF＝60°，则BF＝x，DF＝x，则点D的坐标为（3﹣x，x），将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k＝x2，将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k＝x﹣x2，则x2＝x﹣x2，解得：x1＝，x2＝0（舍去），故k＝x2＝．故答案为：．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）10．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【解答】解：作FG⊥x轴，∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN＝1﹣，在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°，∴三角形OAB是等腰直角三角形，∴OB＝OA＝1，∴NF＝BN＝1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2＝（1﹣1+）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，∴AF2•BE2＝•2a2＝1，即AF•BE＝1．故选：C．11．如图，反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝x+b（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为12，则b的值为3．【答案】见试题解答内容【解答】解：过B作BD⊥OE于D，过A作AH⊥y轴于H，设AC交OB于G，如图：设M为AB的中点，A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2+2bx+24＝0，∴x1+x2＝﹣2b，y1+y2＝（x1+b）+（x2+b）＝（x1+x2）+2b＝b，∴M（﹣b，），而直线y＝x+b（b＞0）交于坐标轴于E、F，∴E（﹣2b，0），F（0，b），∴EF的中点为（﹣b，），即EF的中点也为M，∴EM＝FM，BM＝AM，∴EB＝FA，又∠FAH＝∠BED，∠AHF＝∠EDB，∴△EDB≌△AHF（AAS），∴AH＝ED＝OC，∵（S△AGO+S△GCO）+（S△GCO+S四边形GCDB）＝|k|+|k|＝12，且图中阴影部分的面积为12，∴S△BDE＝2S△GCO∴ED•BD＝2×OC•GC，∴BD＝2GC，∴OD＝2OC，即x2＝2x1设x1＝m，则x2＝2m，∴A（m，﹣），B（2m，﹣），将A（m，﹣），B（2m，﹣）代入y＝x+b得：，解得m＝2（舍去）或m＝﹣2，∴b＝﹣﹣×（﹣2）＝3．故答案为：3．12．如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1﹣y2＞0？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当y1﹣y2＞0，即：y1＞y2，∴一次函数y1＝ax+b的图象在反比例函数y2＝图象的上面，∵A（﹣4，），B（﹣1，2）∴当﹣4＜x＜﹣1时，y1﹣y2＞0；（2）∵y2＝图象过B（﹣1，2），∴m＝﹣1×2＝﹣2，∵y1＝ax+b过A（﹣4，），B（﹣1，2），∴，解得，∴一次函数解析式为；y＝x+，（3）设P（m，m+），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴PM＝m+，PN＝﹣m，∵△PCA和△PDB面积相等，∴BD•DN，即；，解得m＝﹣，∴P（﹣，）．七．反比例函数综合题（共8小题）13．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵AC＝CB，∴OD＝OE，设A（﹣a，），则B（a，），故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，故选：C．14．如图，梯形AOBC中，对角线交于点E，双曲线（k＞0）经过A、E两点，若AC：OB＝1：3，梯形AOBC面积为24，则k＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：过点E作EF⊥OB于点F，过点A作AM⊥OB于点M，∵四边形AOBC是梯形，AC∥OB，AC：OB＝1：3，∴CE：EO＝1：3，AE：EB＝1：3，设△ACE的面积为S，则可得出△BOE的面积为9S，△AOE的面积为3S，△CEB的面积为3S，又∵梯形AOBC面积为24，∴S+9S+3S+3S＝24，解得：S＝，设△OAM的面积为a，则△OEF的面积也为a，故可得△AMB的面积＝18﹣a，△EFB的面积＝﹣a，从而可得＝（）2，即＝，解得：a＝，即S△AOM＝S△OEF＝，故可得k＝2×＝．故选：A．15．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：设M点坐标为（a，b），则k＝ab，即y＝，∵点M为矩形OABC对角线的交点，∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，又∵点D、点E在反比例函数y＝的图象上，∴D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，∵S矩形OABC＝S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，∴2a•2b＝•2a•b+•2b•a+6，∴ab＝2，∴k＝2．故答案为2．16．如图，已知反比例函数的图象与直线y＝k2x+b将于交于A（﹣1，6）、B（﹣6，m）两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，（1）求反比例函数及直线AB的解析式；（2）若S△ABC＝25，求点C的坐标；（3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣，y＝x+7；（2）C（3，0）；（3）存在．点E的坐标为或或．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝，得6＝，解得：k1＝﹣6，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；将B（﹣6，m）代入y＝﹣，得m＝1，∴B（﹣6，1），∵直线y＝k2x+b经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+7；（2）在y＝x+7中，令y＝0，得x＝﹣7，∴M（﹣7，0），∵点C是x轴正半轴上的一点，∴设C（x，0）（x＞0），∴MC＝x﹣（﹣7）＝x+7，∵S△ABC＝S△AMC﹣S△BMC＝25，∴MC•（6﹣1）＝25，即（x+7）＝25，解得：x＝3；∴点C的坐标为（3，0）；（3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）存在．点E的坐标为或或．设直线AC的解析式为y＝ax+c，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3；设D（t，0）、E（n，﹣3n+3），又A（﹣1，6）、B（﹣6，1），当AB、DE为平行四边形的对角线时，AB、DE的中点重合，∴，解得：，∴；当AD、BE为平行四边形的对角线时，AD、BE的中点重合，∴解得∴；当AE、BD为平行四边形的对角线时，AE、BD的中点重合，∴解得∴．综上所述，点E的坐标为或或．17．已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若＝，求△ABC的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．解方程组，得或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴＝，∴＝，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴＝．∵＝，∴＝＝．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，∴＝，即b＝a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y＝的图象上，∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）＝a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10＝（﹣2×a+10），解得：a＝3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．设直线BC的解析式为y＝px+q，则有，解得：，∴直线BC的解析式为y＝2x+2．当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，∴S△COB＝S△ODC+S△ODB＝OD•CT+OD•BS＝×2×3+×2×2＝5．∵OA＝OC，∴S△AOB＝S△COB，∴S△ABC＝2S△COB＝10．18．如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数解析式为y＝，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴a＝，∴点P1的坐标为（，0）；②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，∴△BON∽△P2OB，∴＝，即＝，∴b＝，∴点P2的坐标为（0，）；综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）．19．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝4﹣（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．【答案】（1）AE＝4﹣；（2）CE＝2；（3）所求D点坐标为（，）或（，）．【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），∴AC＝4，OC＝3，∵点E在反比例函数y＝上，∴E（，3），∴CE＝，∴AE＝4﹣；故答案为：4﹣；（2）如图2，∵A（4，3），∴AC＝4，AB＝3，∴，∴点F在y＝上，∴F（4，），∴＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠FED＝∠CDE，连接AD交EF于M点，∴△AEF≌△DEF，∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；（3）过D点作DN⊥AB，①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，∴∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠DAN+∠AFM＝90°，∴∠ADN＝∠AFM，∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，∴，∵AN＝，∴DN＝，∴D（4﹣，），即D（，）；②当AB＝AD＝3时，如图4，在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，∴，∴AN＝AD＝＝，∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，∵DN＝AN＝＝，∴D（4﹣，），即D（，）；③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，∴DF＝AF，∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，∴DF+BF＝BD，此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，∴AB≠BD，综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．20．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．（1）求k的值和点G的坐标；（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴点F的坐标为（1，2），∵y＝（x＞0）的图象经过点F，∴2＝，得k＝2，∵点G在AB上，∴点G的横坐标为4，对于y＝，当x＝4，得y＝，∴点G的坐标为（4，）；（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．下面对△OAB∽△BFG进行证明：∵点G的坐标为（4，），∴AG＝，∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，∴BF＝BC﹣CF＝3，BG＝AB﹣AG＝．∴，＝．∴，∵∠OAB＝∠FBG＝90°，∴△OAB∽△FBG．（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；当PF＝PG时，同理可得：m＝；当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0）．八．菱形的性质（共3小题）21．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠GCP＝60°，∴＝；故选：B．22．如图，已知边长为4的菱形ABCD中，AC＝BC，E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD与点M，N，给出下列结论：①∠AFC＝∠AGE；②△ECF面积的最小值为3；③若AF＝2，则BM＝MN＝DN；④若AF＝1，则EF＝3FG；其中所有正确结论的序号是①②③．【答案】①②③【解答】解：①∵四边形ABCD为菱形．∴AB＝BC＝CD＝AD．∵AC＝BC．∴AC＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°．∠CAD＝∠ACD＝∠ADC＝60°．∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝30°．∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBA，AF＝BE．∴△ACF≌△BCE（SAS）∴FC＝EC，∠FCA＝∠ECB．∴∠FCE+∠ACE＝∠ECB+∠ACE．∴∠FCE＝∠ACB＝60°．∴△ECF为等边三角形．∴∠CEF＝60°．∴∠BEC+∠AEG＝120°．∴∠AGE＝∠BEC．∵△ACF≌△BCE．∴∠AFC＝∠BEC．∴∠AFC＝∠AGE．故①正确．②由①知，△ECF是等边三角形．∴当CE最小时，△ECF的面积最小．当CE⊥AB时，CE＝4×＝2．∴△CEF面积的最小值为3，故②正确．③∵AB＝AD＝4，当AF＝BE＝2时，CF⊥AD，CE⊥AB，DF＝2．∵∠ABD＝∠ADB＝30°，DF＝BE＝2．∴DN＝BM＝．∵AB＝AD＝4，∠BAD＝120°．∴BD＝4．∴MN＝BD﹣DN﹣BM＝．∴BM＝MN＝DN＝．故③正确．④∵∠BAC＝∠EFC＝60°．∠EGA＝∠CGF．∴△AEG∽△FCG．∴＝．同理：△ACF～FCG．∴．∴．∵AF＝1．∴BE＝1．∴AE＝3．∴＝．∴＝．∴GE＝3GF．EF＝GE+GF＝4GF．故④错误．故答案为①②③．23．二次函数y＝x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接BC交OA于D，如图，∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA＝120°，∴∠OBD＝60°，∴OD＝BD，设BD＝t，则OD＝t，∴B（t，t），把B（t，t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝1，∴BD＝1，OD＝，∴BC＝2BD＝2，OA＝2OD＝2，∴菱形OBAC的面积＝×2×2＝2．故答案为2．九．矩形的性质（共3小题）24．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：连接OP，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD，∠ADC＝90°∴OA＝OD，由勾股定理得：AC＝＝5，∵S△ADC＝×3×4＝×5×DM，∴DM＝，∵S△AOD＝S△APO+S△DPO，∴（AO×DM）＝（AO×PE）+（DO×PF），即PE+PF＝DM＝，故选：B．25．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（）A．108° B．114° C．126° D．129°【答案】C【解答】解：展开如图：五角星的每个角的度数是：＝36°，∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°．故选：C．26．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A（7，0），C（0，4），∴AB＝OC＝4OA＝7，∵D的坐标为（5，0），∴OD＝5，∴AD＝2，∵四边形OABC是矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝＜5＝OD，有三种情况：OD＝PD或OD＝OP或者OP＝PD，当OD＝PD时，p（2，4），当OD＝OP时：OP＝＝5，CP＝＝＝3，∴P点坐标是（3，4），当OP＝PD时：P应在OD的垂直平分线上，∴CP＝＝，∴P点坐标是（，4），（不合题意舍去）；当DP＝OD时，P（8，4），（不合题意舍去）．故答案为：（2，4）或（3，4）．一十．矩形的判定（共1小题）27．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．一十一．矩形的判定与性质（共1小题）28．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案为：．一十二．正方形的性质（共11小题）29．如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，∴S△ABE＝S△ADP，∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；∴④正确；故选：A．30．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，∴∠PAF＝∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．31．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014【答案】D【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形AnBn∁nDn的边长是：（）n﹣1．则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．方法二：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，∴D1E1＝B2E2＝，∵B1C1∥B2C2∥B3C3…∴∠E2B2C2＝60°，∴B2C2＝，同理：B3C3＝×＝…∴a1＝1，q＝，∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长＝1×．故选：D．32．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝＝2，∴EC2＝22+22，＝8，∴S2的面积为EC2＝8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故选：B．33．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是①③⑤．【答案】见试题解答内容【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，故此选项不正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此选项不正确．⑤∵EF＝BF＝，AE＝1，∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，∴S正方形ABCD＝AB2＝4+，故此选项正确．故答案为：①③⑤．34．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为EF2＝AE2+CF2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN在△DAN和△DCF中；∴△DAN≌△DCF（SAS）∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°又∵∠DAC＝45°∴∠NAE＝90°∴AN2+AE2＝NE2∵∠GDH＝45°，∴∠NDE＝45°在△DNE和△DFE中∴△DNE≌△DFE∴NE＝EF又∵AN＝CF∴CF2+AE2＝EF2故答案为：EF2＝AE2+CF2．35．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E、F分别是BC、CD边上点，若CE＝CB，CF＝CD，则图中阴影部分的面积是．【答案】见试题解答内容【解答】解：延长GE到M，使GE＝EM，连接CG、CM、BM，过C作CN⊥DE于N，∵E为BC中点，∴BE＝EC＝，在△BEG和△CEM中∴△BEG≌△CEM（SAS），∴S△BEG＝S△CEM，∵E、F分别为BC、CD中点，∴DG：EG＝2：1，∴GM＝DG＝2EG，∴S△MGC＝S△DGC，∴S△DMC＝2S△DGC＝2×S△DEC，∵S△DEC＝×1×＝，∴S△DMC＝，∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣S△DMC＝1×1﹣＝，故答案为：．36．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD…（2分）故答案为：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF在△BAD与△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD…（7分）（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G…（9分）则∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）∴∠ACF＝∠AGD＝45°∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°∴CF⊥BC…（12分）37．如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF＝90°∴∠FEC+∠AEB＝90°又∵∠EAM+∠AEB＝90°∴∠EAM＝∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM＝EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME＝135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF＝135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE＝EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（2）探究2，证明：在AB上截取AM＝EC，连接ME，由（1）知∠EAM＝∠FEC，∵AM＝EC，AB＝BC，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，又∵∠EAM+∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE＝EF；（3）探究3：成立，证明：延长BA到M，使AM＝CE，连接ME，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝45°，又∵∠B＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠FET＝90°，∴∠BAE＝∠FET，∴∠MAE＝∠CEF，在△MAE和△CEF中，，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF．38．如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）PQ＝PB，（1分）过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，在正方形ABCD中，AC为对角线，∴AM＝PM，又∵AB＝MN，∴MB＝PN，∵∠BPQ＝90°，∴∠BPM+∠NPQ＝90°；又∵∠MBP+∠BPM＝90°，∴∠MBP＝∠NPQ，在Rt△MBP与Rt△NPQ中，∵∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）∴PB＝PQ．（2）∵S四边形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ，∵AP＝x，∴AM＝x，∴CQ＝CD﹣2NQ＝1﹣x，又∵S△PBC＝BC•BM＝•1•（1﹣x）＝﹣x，S△PCQ＝CQ•PN＝（1﹣x）•（1﹣x），＝﹣+，∴S四边形PBCQ＝﹣x+1．（0≤x≤）．（4分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ＝QC，此时，x＝0．（5分）②当点Q在DC的延长线上，且CP＝CQ时，（6分）有：QN＝AM＝PM＝x，CP＝﹣x，CN＝CP＝1﹣x，CQ＝QN﹣CN＝x﹣（1﹣x）＝x﹣1，∴当﹣x＝x﹣1时，x＝1．（7分）．39．如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交FE于点N，且AD＝NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF＝2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：关系是：MD＝MF，MD⊥MF如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD＝DC，∴∠1＝∠2又∵AM＝EM，∠3＝∠4∴△ADM≌△ENM∴AD＝EN，MD＝MN∵AD＝DC，∴DC＝NE又∵正方形CGEF，∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°．∴∠DCF＝∠NEF＝45°∴△FDC≌△FNE∴FD＝FN，∠5＝∠6∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°又∵DM＝MN＝DN，∴M为DN的中点，∴FM＝DN，∴MD＝MF，DM⊥MF思路一：∵四边形ABCD、CGEF是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°CF＝EF＝EG＝CG，∠G＝∠GEF＝∠EFC＝∠FCG＝90°，∠FCE＝∠FEC＝45°∴∠DCF＝∠FEC思路二：延长DM交CE于N，∵四边形ABCD、CGEF是正方形∴AD∥CE，∴∠DAM＝∠NEM又∵∠DMA＝∠NME，AM＝EM，∴△ADM≌△ENM思路三：∵正方形CGEF，∴∠FCE＝∠FEC＝45°又∵正方形ABCD，∴∠DCB＝90°．∴∠DCF＝180°﹣∠DCB﹣∠FCE＝45°，∠DCF＝∠FEC＝45°选取条件①证明：如图∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD＝DC，∴∠1＝∠2∵AD＝NE，∠3＝∠4，∴△ADM≌△ENM∴MD＝MN又∵AD＝DC，∴DC＝NE又∵正方形CGEF，∴FC＝FE，∠FCE＝∠FEN＝45°．∴∠FCD＝∠FEN＝45°∴△FDC≌△FNE∴FD＝FN，∠5＝∠6，∴∠DFN＝∠CFE＝90°∴MD＝MF，MD⊥MF选取条件②证明：如图，延长DM交FE于N∵正方形ABCD、CGEF∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE．∴∠1＝∠2又∵MA＝ME，∠3＝∠4，∴△AMD≌△EMN∴MD＝MN，AD＝EN．∵AD＝DC，∴DC＝NE又∵FC＝FE，∴FD＝FN又∵∠DFN＝90°，∴FM⊥MD，MF＝MD．选取条件③证明：如图，延长DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE∴∠1＝∠2又∵MA＝ME，∠3＝∠4，∴△AMD≌△EMN∴AD＝EN，MD＝MN．∵CF＝2AD，EF＝2EN∴FD＝FN．又∵∠DFN＝90°，∴MD＝MF，MD⊥MF附加题：证明：如图过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN则∠ADC＝∠H，∠3＝∠4．∵AM＝ME，∠1＝∠2，∴△ADM≌△ENM∴DM＝NM，AD＝EN．∵正方形ABCD、CGEF∴AD＝DC，FC＝FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CG∥FE∴∠H＝90°，∠5＝∠NEF，DC＝NE∴∠DCF+∠7＝∠5+∠7＝90°∴∠DCF＝∠5＝∠NEF∵FC＝FE，∴△DCF≌△NEF∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．∵∠CFE＝90°∴∠DFN＝90°．∴DM＝FM，DM⊥FM．一十三．相似三角形的判定与性质（共17小题）40．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，∴BE＝EF＝FC＝BC，BF＝BC，CG＝CD＝BC，∴BF＝CG，在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG（SAS），∴∠AFB＝∠BGC，∵∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠AFB+∠CBG＝90°，∴∠BNF＝90°，∴AF⊥BG；故结论①正确．∵∠BNF＝∠C，∠FBN＝∠GBC，∴△BFN∽△BGC，∴＝＝＝，∴BN＝NF，故结论②错误；∵△ABF≌△BCG，∴S△ABF＝S△BCG，即：S△ABN+S△BNF＝S△BNF+S四边形CGNF，∴S四边形CGNF＝S△ABN，故结论③正确；延长AD、BG交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，CG＝2GD，BE＝BC，∴△HDG∽△HAB，△BEM∽△HAM，∴＝＝＝，＝，∴HG＝BH，AH＝AD＝BC，∴＝＝＝，∴＝，∴BM＝BH，∴MG＝BH﹣BM﹣HG＝BH﹣BH﹣BH＝BH，∴＝＝．故结论④正确．故选：D．41．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；其中正确结论的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解答】解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC＝∠ECD＝90°，∴BC＝CD，∠BCN+∠GCD＝90°，∵CG⊥DE，∴∠CDG+∠GCD＝90°，∴∠BCN＝∠CDG，∴△NBC≌△ECD（ASA），∴DE＝CN，故①正确；②∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△NBH∽△CDH，∴＝，∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴NB＝BC＝CD，∴＝＝，故②正确；③如图所示，过H点作IJ∥AD，∵△NBH∽△CDH，∴③IJ＝HJ，∴HI＝IJ＝DC，∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），∴S△DEC＝3S△BNH，故③正确；④过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，∴四边形PBQG是矩形，∴∠PBQ＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBP＝∠QBE，由①得△NBC≌△ECD，∴EC＝BN，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∴BE＝BN，∵∠BPN＝∠BQE＝90°，∴△BPN≌△BQE（AAS），∴BP＝BQ，∴四边形PBQG是正方形，∴∠BGE＝45°，故④正确；⑤如图所示，连接N，E，设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，∴CN＝＝＝，EN＝＝＝，由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，∴GE＝，∴GN＝＝，∴GN+GE＝+＝，∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，∴，∴BG＝FG，∴BG＝BF，FC＝BN＝x，∴BG＝×＝，∴GN+GE＝BG，故⑤正确；综上所述，故选：D．42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．现在Rt△ABC内叠放边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（）A．16个 B．13个 C．14个 D．15个【答案】A【解答】解：作CF⊥AB于点F．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则由勾股定理，得AB＝＝10．∵S△ABC＝AB•CF＝AC•BC∴CF＝4.8．则小正方形可以排4排．最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E．∵DE∥AB，∴＝，则＝，解得：DE＝整数部分是7．则最下边一排是7个正方形．第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．则＝，解得GH＝，整数部分是5，则第二排是5个正方形；同理：第三排是：3个；第四排是：1个．则正方形的个数是：7+5+3+1＝16．故选：A．43．如图，在正方形ABCD中有一个面积为的小正方形EFGH，其中点E、F、G分别在AB、BC、DF上，若BF＝1，则正方形ABCD的边长为4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小正方形EFGH的面积为∴EFGH的边长为∴EF＝∵BF＝1∴在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+1＝∴BE＝∵在正方形ABCD和小正方形EFGH中∠B＝∠C＝∠EFG＝90°∴∠BEF+∠BFE＝90°，∠CFD+∠BFE＝90°∴∠BEF＝∠CFD∴△BEF∽∠CFD∴＝∴＝∴CD＝4即正方形ABCD的边长为4．故答案为：4．44．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴＝，设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，∴＝，解得：x＝，则EH＝．故答案为：．45．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC＝a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，∴CE＝，AE＝，∴＝，∵△CEF∽△AEB，∴＝（）2＝，故答案为：．46．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝Rt∠，AC＝BC＝2．要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形（剪法如图1所示），图1中剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照图1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2＝；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取后，S10＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ECFD是正方形，∴DE＝EC＝CF＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴AE＝DE＝EC＝DF＝BF＝EC＝CF，∵AC＝BC＝2，∴DE＝DF＝1，∴S△AED+S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1；同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2﹣S1＝1＝S1，第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1﹣S2＝1﹣＝＝S2，第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2﹣S3＝﹣＝＝S3，…第十次剪取后剩余三角形面积和为：S9﹣S10＝S10＝．故答案为：，．47．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是①②③④．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；故②正确；在HD上截取HK＝AH，连接AK，∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，∴△AHK是等边三角形，∴AK＝AH，∠AKH＝60°，∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，，∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH＝DK，∴DH＝HK+DK＝AH+CH；故③正确；∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH＝OD：AD，∴AD2＝OD•DH．故④正确．故答案为：①②③④．48．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，∴△ADG∽△EBG．∴＝．又∵△AGF∽△EGD，∴＝．∴＝．∴DG2＝FG•BG．（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，∴DH＝DC＝AB＝．∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2∴AH＝．又∵△ADG∽△EBG，∴＝＝．∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．49．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE＝∠BDE．（1）如图1，当DE＝DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE＝kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A＝90°，AF＝m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，连接AE．∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∵∠ADF+∠DEC＝180°，∴∠ADF＝∠DEB．∵∠AFE＝∠BDE，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE＝∠DFE＝∠DEF，∠ADF＝∠AEF．∵∠ADF＝∠DEB＝∠AEF，∴∠AEF+∠AED＝∠DEB+∠AED，∴∠AEB＝∠DEF＝∠DFE＝∠BAE，∴AB＝BE；（2）如图2，连接AE．∵∠AFE＝∠BDE，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF＝∠AEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∵∠ADF+∠DEC＝180°，∴∠ADF＝∠DEB．∵∠ADF＝∠AEF，∴∠DEB＝∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴＝．在直角△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝kDF，∴EF＝＝DF，∴＝＝，∴BD＝．50．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．②∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF＝12（2）①如图1所示：当AE＝CF时，点P的路径是一段弧．由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝6，∴OA＝2．∴点P的路径是l＝＝＝．②如图2所示，当AF＝BE时，过点C作CH⊥AB垂足为H．点P的路径就是过点C向AB作的垂线段HC的长度．∵等边三角形ABC的边长为6，CH⊥AB．∴BH＝3．∴点P的路径CH＝＝＝3．③当F从C出发到达BC中点然后返回C，此时点P的运动路径＝+2，④当F从B出发到达BC中点后再返回B，此时点P的运动路径＝+综上所述，点P经过的运动轨迹的长度为或3或+2或+．51．已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD＝1时，直接写出OP的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）PC与PD的数量关系是相等．证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．∵∠AOB＝90°，易得∠HPN＝90度．∴∠1+∠CPN＝90°，而∠2+∠CPN＝90°，∴∠1＝∠2．∵OM是∠AOB的平分线，∴PH＝PN，又∵∠PHC＝∠PND＝90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC＝PD．（2）∵PC＝PD，∠CPD＝90°，∴∠3＝45°，∵∠POD＝45°，∴∠3＝∠POD．又∵∠GPD＝∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP＝1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP＝﹣1．52．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝（8﹣2t）cm，BA＝＝10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t＝；当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t＝，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM＝BMsinB＝3t＝（cm），BD＝BMcosB＝3t＝t（cm），BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴CD＝（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴＝，解得t＝或t＝0（舍弃）．∴t＝．53．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，又∵AB＝AD，∴＝；（2）设AE＝x，∵AE：EC＝1：2，∴EC＝2x，由（1）得：AB2＝AE•AC，即AB2＝x•3x∴AB＝x，又∵BA⊥AC，∴BC＝2x，∴∠ACB＝30°，∵F是BC中点，∴BF＝x，∴BF＝AB＝AD，连接AF，则AF＝BF＝CF，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，又∵∠ABD＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝∠ACB＝30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形ABFD是菱形．54．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA，∵ED为⊙C直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝＝5k，∵AD•EF＝AE•DM，∴DM＝＝＝k，∴ME＝＝k，∴cos∠AED＝＝；（3）解：∵∠B＝∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE＝CE：AE，∴AE2＝CE•BE，∴（5k）2＝k